Exame de Análise de Estruturas II
Mestrado Integrado em Engenharia Civil
Responsável: JA Teixeira de Freitas
Duração de três horas
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Problema 1 (Justifique adequadamente todas as respostas: xx valores.)
Considere a estrutura e o carregamento representados na Figura 1. Usando a discretização com dois
elementos finitos definida na Figura 2 (aproximação linear do campo de deslocamentos):
5kN/m
D = EA = const.
c
d 2
2
10kN
4m
Figura 1
Figura 2
a) Identifique os deslocamentos independentes e defina a aproximação para o campo de
deslocamentos em cada elemento;
b) Obtenha a equação resolvente e defina a solução encontrada para os campos de deslocamentos,
deformações e esforços e verifique se a solução é exacta ou aproximada.
Problema 2 (Justifique adequadamente todas as respostas: xx valores.)
Considere a análise da estrutura representada na Figura 1 usando apenas um elemento com uma
aproximação quadrática para o campo de deslocamentos:
a) Identifique os deslocamentos independentes e defina as funções de aproximação
correspondentes;
b) Determine um dos coeficientes da matriz de rigidez e do vector das forças nodais equivalentes;
c) Represente o significado físico dos coeficientes determinados na alínea anterior;
d) Demonstre que a seria exacta a solução obtida com esta aproximação quadrática;
e) Discuta se os deslocamentos nodais obtidos com esta aproximação seriam idênticos aos
calculados no Problema 1.
Problema 3 (Justifique adequadamente todas as respostas: xx valores.)
Pretende-se analisar a viga contínua representada na
x2
x1
10kN
Figura 3a), com EI = const. (kNm 2 ) , usando o modelo
de viga fina (teoria de Euler-Bernoulli) e o Método dos
1
2m
Elementos Finitos:
Figura 3a)
a) Defina as vantagens e as desvantagens da utilização
c
das malhas representadas nas Figuras 3b) e 3c) para
obter a solução exacta e escolha a malha que utilizaria;
c) Sem recorrer ao formulário, mostre que a contribuição
do elemento 2 para a matriz de rigidez da malha definida
d1
2
Figura 3b)
d2
d3
d1
c
1
d2
d 2
b) Determine a equação resolvente para a malha definida
na Figura 3b);
1
d 5 d 1
na Figura 3b) é K12 = EI .
e 1
d4
d6 f
1
Figura 3c)
d) Admita que d1 = − 1.0714 EI rad e d 2 = 1.7857 EI rad é a solução encontrada para a
discretização definida na Figura 3b):
d1) Trace a deformada aproximada da estrutura;
d2) Determine a aproximação para os campos de esforços no elemento 1 e discuta se essa solução é
exacta.
Problema 4 (Justifique adequadamente todas as respostas: xx valores.)
Considere a análise da estrutura definida na Figura 3a) usando o modelo de viga espessa (teoria de
Timoshenko) e a malha representada na Figura 3c), para a qual se obteve a seguinte solução (em
rad e m, respectivamente), considerando GAc = 4EI :
d T = 1 EI {0.0646 0.9039 −0.0511 −1.6195 −0.9039 1.6195}
a) Exprima os coeficientes da segunda coluna da matriz de rigidez da estrutura em função dos
coeficientes das matrizes de rigidez elementares;
b) Calcule a contribuição do elemento 1 para a matriz de rigidez da estrutura;
c) Defina a aproximação do campo de esforços no elemento no elemento 4 e justifique se essa
solução é exacta para os deslocamentos nodais anteriormente definidos;
d) Esses deslocamentos definem a solução exacta do problema?
e) Que tipo de problema pode surgir quando se utilizam modelos de elementos finitos baseados na
teoria de vigas de Timoshenko? Em que situação pode surgir esta situação, em que consiste e como
pode ser evitado o seu aparecimento?
Problema 5 (Justifique adequadamente todas as respostas: xx valores.)
Considere que a estrutura representada na Figura 4 está sujeita a um estado plano e que se escolhe
como primeira discretização a malha de elementos isoparamétricos de 4 nós aí definida:
y
1
p
D
D′
2
C
C ′
p = 1 kNm −2
B′
E = const. (kNm −2 )
ν =0
1
A′
1
A
B
1
2,5m
2
h
c
x
Figura 4a)
g
f
b
d
a e Figura 4b)
a) Defina em que condições analisaria a estrutura como estando em estado plano de tensão ou em
estado plano de deformação;
b) Para cada caso, indique quais seriam os graus de liberdade (deslocamentos e rotações) de um nó
livre da malha dada e qual seria o grau da aproximação que se obteria para os campos de
deslocamento e de tensão;
c) Justifique porque deve o ponto 1 corresponder a um nó da malha de discretização e porque é
conveniente (mas não necessário) que também se coloque um nó no ponto 2;
d) Indique as zonas em que deve ser refinada essa malha e represente um primeiro refinamento;
e) Admitindo que a malha fora adequadamente refinada e utilizada para obter a solução para um
estado plano de deformação, descreva as verificações que faria para assegurar que não havia erros
na entrada de dados e que a solução obtida era aceitável para fins de dimensionamento.
Problema 6 (Justifique adequadamente todas as respostas: xx valores.)
Considere a análise da estrutura representada na Figura 4a) admitindo um estado plano de tensão e a
malha de discretização em elementos isoparamétricos de 4 nós representada na Figura 4b):
a) Identifique e numere os deslocamentos independentes;
b) Defina os coeficientes não nulos do vector das forças nodais;
c) Exprima o coeficiente K ab da matriz de rigidez da estrutura em função dos coeficientes das
matrizes de rigidez elementares;
d) Defina a mudança de coordenadas para o elemento 3;
e) Para esse elemento, defina os campos de deslocamento e de tensão devidos ao deslocamento no
nó 1 e trace a deformada correspondente.
Problema 7 (Justifique adequadamente todas as respostas: xx valores.)
Considere a laje espessa (teoria de Reissner-Mindlin) homogénea, isótropa e com espessura
constante, h, representada na Figura 5 e a malha de elementos isoparamétricos de 4 nós aí definida:
3
1
1kNm−2
1
d3
d2
c ⊗
d1
2
Figura 5a)
4m
1
Figura 5b)
1
a) Critique a malha adoptada;
b) Identifique os deslocamentos independentes e defina a aproximação para o campo de
deslocamentos no elemento 1 em função desses deslocamentos;
c) Exprima os coeficientes K11 , K 12 e K 23 da matriz de rigidez da estrutura em função dos
coeficientes das matrizes de rigidez elementares;
d) Calcule o vector das forças nodais equivalentes;
e) Calcule a contribuição do elemento 1 para o coeficiente K 23 da matriz de rigidez da estrutura;
f) Calcule os campos de esforços no elemento 1 devidos aos deslocamentos E d1 = 1.0 m e
E d 2 = 2.0 rad e verifique as condições de equilíbrio na fronteira;
g) Proponha uma malha não uniforme adequada para a análise da estrutura.
Problema 7 (Justifique adequadamente todas as respostas: xx valores.)
Considere a laje representada na Figura 5 é modelada como uma laje fina e que se utiliza a mesma
malha de elementos finitos:
a) Identifique os deslocamentos independentes;
b) Se a espessura da laje for a adequada para o modelo de laje fina, obtém-se a mesma solução
aproximada usando elementos de laje espessa com a mesma malha e os mesmos graus de liberdade?
c) Identifique as componentes de deslocamento que devem ser aproximadas num elemento de laje
fina e os cuidados que é necessário ter na definição dessa aproximação.