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Colégio
PARA QUEM CURSA A 1.a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2013
Disciplina:
Prova:
MaTeMÁTiCa
desafio
nota:
QUESTÃO 16
(OBMEP) – Se dividirmos um cubo de 1 m de aresta em cubinhos de 1 mm de aresta, que
altura terá uma coluna formada por todos os cubinhos, dispostos sucessivamente um em cima
do outro?
a) 1 m
b) 1 km
c) 10 km
d) 100 km
e) 1000 km
RESOLUÇÃO
Convertendo metros em milímetros, temos que 1m = 1000 mm.
Assim, o cubo ficou dividido em 1000 x 1000 x 1000 = 109 cubinhos de lado 1 mm de
altura cada um. Colocando-se um sobre o outro os 109 cubinhos, teremos uma coluna de
comprimento, igual a
1000 x 1000 x 1000 = 109 mm = 109 x 10–3 m = 106 m = 103 km = 1000 km
Resposta: E
QUESTÃO 17
Observe o paralelepípedo reto retângulo representado na figura:
Sendo V(x) o polinômio que representa o volume do paralelepípedo , o resto da divisão de V (x)
por x2 + 2x + 1 é igual a:
a) zero
b) 24x + 12
c) 12
d) 24x
e) 12x + 12
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
O volume do paralelepípedo é dado pelo produto do comprimento (a), pela altura (b),
pela largura (c), ou seja, V = a . b. c
Assim,
V(x) = (2x + 6) . (2x + 2) . (x + 1)
V(x) = (4x2 + 4x + 12x + 12) (x + 1)
V(x) = 4x3 + 4x2 + 4x2 + 4x + 12x2 + 12x + 12x + 12
V(x) = 4x3 + 20x2 + 28x + 12
Dividindo-se V(x) por x2 + 2x + 1, obteremos:
4x3 + 20x2 + 28x + 12
x2 + 2x + 1
– 4x3 – 8x – 4x
––––––––––––––––––––––––
12x2 + 24x + 12
– 12x2 – 24x – 12
–––––––––––––––––
0
Resposta: A
4x + 12
QUESTÃO 18
Observe o paralelepípedo reto retângulo representado na figura:
Qual a distância de A até B?
2
a) –––– m
4
OBJETIVO
3
b) –––– m
2
c) 3 m
2
2
d) –––– m
2
e) 2 m
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
Podemos dividir o quadrilátero ABCD em duas figuras, o retângulo BCDE e o triângulo
ABE.
^
^
O triângulo A EB é retângulo em E. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
1 2
1 2
x2 = ––– + –––
2
2
1 + 1
x2 = –––
–––
4
4
2
2 , pois x > 0
x2 = ––– fi x = –––
4
2
Resposta: D
QUESTÃO 19
Resolvendo a equação x2 + 5x – 24 = 0, em ⺢, obtêm-se as raízes x’ e x”.
Podemos afirmar que:
[(x’ + x”) : (x’ . x”)]–1 é igual a:
a) 0,208333...
b) 4,8
c) 3,444...
d) 208,333...
e) 48
RESOLUÇÃO
1.a solução:
Lembrando que as raízes x’ e x”, da equação do 2 o. grau ax2 + bx + c = 0 (a 0) são tais
– b e x’ . x” = P = c , temos:
que x’ + x” = S = –––
–––
a
a
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
x2 + 5x – 24 = 0 fi
– (+ 5)
x’ + x” = ––––––– = – 5
1
– 24
x’ + x” = ––––– = – 24
1
Então
5
[(x’ + x”) : (x’ . x”)]–1 = [(– 5) : (– 24)]–1 = –––
24
–1
24
= ––– = 4,8
5
2.a solução:
Aplicando Bháskara, temos:
D
– b ± x = –––––––––
2.a
– (+ 5) ± 52 – 4 .1 . (– 24)
x = –––––––––––––––––––––––––––
2.1
121
– 5 ± x = ––––––––––––
2
– 5 ± 11
x = ––––––––
2
x’ = 3
x” = – 8
Dessa forma, [(x’ + x”) : (x’ . x”)]–1 = {[3 + (– 8)] : [3 . (– 8)]}–1 = [(– 5) : (– 24)]–1 =
5
= –––
24
–1
24
= ––– = 4,8
5
Resposta: B
QUESTÃO 20
2x2 + x
(UFF-RJ – ADAPTADO) – As soluções inteira da equação ––––––– = 2x + 1 não é um número:
11
3
a) igual a
1331
d) Divisível por 1
OBJETIVO
b) Divisor de zero
c) Múltiplo de zero
e) Primo
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
Resolvendo a equação do 2.o grau, aplicando a fórmula de Bháskara, temos:
2x2 + x
2
2
––––––––– = 2x + 1 € 2x + x = 22x + 11 € 2x – 21x – 11 = 0
11
b2 – 4ac , temos:
– b + Lembrando que x = –––––––––––––––––
2.a
(– 21)2 – 4 . 2 . (– 11)
– (– 21) ± x = –––––––––––––––––––––––––––––––––
2.2
441 + 88
21 ± x = –––––––––––––––––
4
529
21 ± x = –––––––––––––––––
4
21 ± 23
x = ––––––––
4
11
–1
–––
2
O número 11 é primo, é divisível por 1 (como todo número inteiro), é tal que
3
3
1331 = 113 = 11 e, é divisor de zero (como todo número inteiro) só não é múltiplo de
zero, pois o único múltiplo de zero é zero.
Resposta: C
QUESTÃO 21
(UFPA) – Observe a figura:
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
A parte hachurada da figura, onde ⺥ é o conjunto universo, e A, B, C são conjuntos
representa:
a) A B C
b) A B C
c) (A B) (A C)
d) (A B) (A C)
e) (A B C) – (A B C)
RESOLUÇÃO
A única parte não hachurada é a intersecção entre os conjuntos A, B, C. Assim temos
a união entre os três conjuntos menos a intersecção entre os três conjuntos.
Resposta: E
QUESTÃO 22
ABCDEF é um polígono regular:
^
Podemos afirmar que o suplemento de x é igual a:
a) (2 . 52) graus
b) (22 . 3 . 5) graus
d) (24 . 5) graus
e) (2 . 32 . 5) graus
c) (2 . 5 . 7) graus
RESOLUÇÃO
^
^
Sendo r // s // t, então o ângulo x e a são congruentes, por serem correspondentes.
Sendo a^ um ângulo interno do hexágono regular ABCDEF, tem-se:
Soma dos ângulos internos:
Si = (n – 2) . 180°
Si = (6 – 2) . 180°
Si = 4 . 180°
Si = 720°
Valor de cada ângulo interno:
720°
Ai = –––––
6
Ai = 120° \ x = 120°. O suplemento de 120° é igual a
180° – 120° = 60°, que é igual a (22 . 3 . 5)
Resposta: B
OBJETIVO
6
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 23
(OBMEP-2009) – Sofia foi levar uns docinhos para sua avó; são 7 docinhos de amora, 6 de
coco e 3 de chocolate. Durante o caminho, a gulosa Sofia come 2 docinhos. Qual das situações abaixo é possível?
a) Vovó não recebeu docinhos de chocolate.
b) Vovó recebeu menos docinhos de coco do que de chocolate.
c) Vovó recebeu o mesmo número de docinhos de cada uma das três variedades.
d) Existem duas variedades de docinhos das quais vovó recebeu o mesmo número.
e) O número de docinhos de amora que vovó recebeu é maior que o dos outros 2 somados.
RESOLUÇÃO
a) Falsa, pois mesmo que os dois docinhos comidos por Sofia fossem de chocolate, a
vovó teria recebido 3 – 2 = 1 docinho de chocolate.
b) Falsa, pois mesmo que os dois docinhos comidos por Sofia fossem de coco, a vovó
teria recebido 6 – 2 = 4 doces de coco. Mais do que os 3 de chocolate.
c) Falsa, pois o total de doces que a vovó recebeu 7 + 6 + 3 – 2 = 14 e 14 doces não
podem ser dividido em 3 partes iguais.
d) É possível. Bastaria Sofia comer um doce de amora e um de chocolate. A vovó teria
recebido 6 de amora e 6 de coco.
e) Falsa, pois mesmo que os dois doces que Sofia comeu não fossem de amora
restariam 6 + 3 – 2 = 7 doces de sabores diferente de amora e sete não é maior que
sete.
Resposta: D
QUESTÃO 24
(OBMEP-adaptado) – Um tabuleiro quadrado de 3 linhas por 3 colunas contém 9 casas. De
quantos modos diferentes podemos escrever as três letras A, B e C em três casas diferentes,
de modo que em cada linha esteja escrita exatamente uma letra?
a) 162
b) 168
c) 170
d) 176
e) 180
RESOLUÇÃO
Começando com a letra A, ela pode ser escrita em qualquer uma das 9 casas do
tabuleiro. Uma vez escrita a letra A, sobram 6 casas onde a letra B pode ser escrita.
Uma vez escrita a letra B e A no tabuleiro, sobram 3 casas para a letra C ser escrita.
Assim, pelo princípio multiplicativo, existem 9 . 6 . 3 = 162 maneiras diferentes das
letras A, B e C serem escritas no tabuleiro, tendo uma letra em cada linha.
Obs.: Podem existir duas, ou até três letras na mesma coluna.
Resposta: A
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 25
(OBMEP-adaptado) – Observe o desenho que segue:
O quadrado ABCD tem área de 30 cm2 e o quadrado FHIJ têm área de 20 cm2. Os vértices
A, D, E, H e I dos três quadrados pertencem a uma mesma reta. Qual a área do quadrado
BEFG, em cm2?
a) 25
b) 30
c) 40
d) 50
e) 70
RESOLUÇÃO
^
^
^
Sejam x = ABE e y = A EB. No triângulo BAE retângulo, temos:
^
x + y = 90°. Seja agora F EH = a.
^
No vértice E, temos: y + B EF + a = 180° € y + 90° + a = 180° fi
fi y + a = 90° = x + y € a = x
^
Como o triângulo EFH é retângulo, segue que EFH = y. Desta forma, os triângulos AEB
e EFH são congruentes, pois têm os 3 ângulos congruentes e um lado congruente
(BE = EF). Em particular, AE = FH.
Podemos agora calcular a área do quadrado BEFG usando o Teorema de Pitágoras:
área de BEFG = BE2 = AB2 + AE2 = AB2 + FH2 = área do ABCD + área do FHIJ =
= 30 + 20 = 50
Resposta: D
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 26
Quantos dos números abaixo são maiores que 10?
3 11,
4 7, 5 5, 6 6, 7 2
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
RESOLUÇÃO
Observemos que 10 = 100.
Escrevendo os números dados na forma de um único radical, teremos:
3 11 = 32 . 11 = 99
7 = 42 . 7 = 112
4 5 = 52 . 5 = 125
5 3 = 62 . 3 = 108
6
2 = 72 . 2 = 98
7 Se 100 = 10, são maiores que 10 os números 112, 125, 108, num total de três.
Resposta: C
QUESTÃO 27
(PUC-SP – 2004) – Pretende-se dividir um salão de forma retangular em quatro salas,
também retangulares, como mostra a figura abaixo:
Se A1, A2, A3 e A4 são as áreas das salas pretendidas e considerando que A1 + A2 + A3 = 36 m2,
A1 – A2 = 12 m2 e A3 = 2 . A2, a área da quarta sala, em metros quadrados, é:
a) 4
b) 4,5
c) 4,8
d) 5
e) 5,5
RESOLUÇÃO
Em metros quadrados, temos:
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
1) A partir da figura, temos:
A1
A2
A3
A4
=
=
=
=
a.c
a.d
€
b.c
b.d
A
A1 . A4 = a . b . c . d
2 . A3 = a . b . c . d
Portanto:
A1 . A4 = A2 . A3 €
A2 . A3
A4 = –––––––
A1
(I)
2) Das equações dadas, tem-se:
A1 + A2 + A3 = 36
A1 – A2 = 12
€
A3 = 2 . A2
€
4 . A2 = 24
A1 = 12 + A2 €
A3 = 2A2
A1 + A2 + A3 = 36
A1 = 12 + A2
A3 = 2A2
(II)
€
(12 + A2) + A2 + 2A2 = 36
A1 = 12 + A2
€
A3 = 2 A2
A1 = 18
A2 = 6
A3 = 12
3) Substituindo na igualdade (I), vem:
6 . 12
A4 = –––––– = 4
18
Resposta: A
QUESTÃO 28
(FGV-SP) – Seja n o resultado da operação 3752 – 3742. A soma dos algarismos de n é:
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
RESOLUÇÃO
Fatorando a diferença de dois quadrados temos que:
3752 – 3742 = (375 + 374) . (375 – 374) = 749 . 1 = 749
Assim, n = 749, e a soma de seus algarismos é 7 + 4 + 9 = 20
Resposta: C
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 29
O resultado da expressão:
1
––
5
2
3 . 81
pode ser representado por:
–––––––
1
––
3
243
17
17
a) 3 3
15
b) 315
15
c) 3 9
17
d) 314
e) 3 34
RESOLUÇÃO
Resolvendo a expressão, temos que:
1
––
5
32
32
1
––
5
4
(3 )
32
4
––
35
4
2 + ––
5
14
14
5
17
––– 15
––– – –––
––– ––
.
.
15
. 81
3 5
15
5
3
3
5
17 = 3 3
9
=
=
=
=
3
:
3
=
3
=
3
=
–––––––
–––––––––––
–––––––––
–––––––––
1
5
1
5
––
3
––
(35)3
243
––
3
––
33
3
Resposta: C
QUESTÃO 30
Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia abriram um canal de 238 metros de
comprimento em 17 dias, quantos operários serão necessários para abrir 686 metros do mesmo
canal em 25 dias de 7 horas de trabalho?
a) 60 operários
b) 70 operários
c) 80 operários
d) 90 operários
e) 100 operários
RESOLUÇÃO
Pela técnica operatória da regra de três composta e comparando a grandeza número
de operários com as demais, temos:
Número de
operários
Número de horas
por dia
Comprimento
Número de dias
25
10
238
17
x
7
686
25
GDP
GIP
OBJETIVO
11
GIP
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
A grandeza “número de operários” é diretamente proporcional ao comprimento e
inversamente proporcional ao número de dias e ao número de horas por dia.
Assim, sendo:
1
25
25
238
10 . 686 . 17
238
7
7
25
25
––– = ––– . –––– . ––– € –––– = ––– . –––– . –––– € x = ––––––––––––– € x = 70
17
17
686
7 . 238
686
10
10
x
x
Resposta: B
OBJETIVO
12
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE