Fundamentos de Matemática Elementar
Aula 02
Prof. Dr. José Carlos de Souza Junior
Universidade Federal de Alfenas
25 de fevereiro de 2011
Aula 02
Fundamentos de Matemática Elementar
Casos de Fatoração
4o Caso: Trinômio do segundo grau.
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
onde x1 e x2 são as raízes da equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0.
√
√
Demonstração: Sejam x1 = −b−2a ∆ e x2 = −b+2a
ax2 + bx + c = 0, lembrando que ∆ = b2 − 4ac.
∆
, as raízes da equação
Observe que:
√
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−b − ∆ −b + ∆
−2b
b
+
=
= − .
x1 + x2 =
2a
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a
Também temos que
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Casos de Fatoração
4o Caso: Trinômio do segundo grau.
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
onde x1 e x2 são as raízes da equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0.
√
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Demonstração: Sejam x1 = −b−2a ∆ e x2 = −b+2a
ax2 + bx + c = 0, lembrando que ∆ = b2 − 4ac.
∆
, as raízes da equação
Observe que:
√
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−b − ∆ −b + ∆
−2b
b
+
=
= − .
x1 + x2 =
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4o Caso: Trinômio do segundo grau.
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
onde x1 e x2 são as raízes da equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0.
√
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Demonstração: Sejam x1 = −b−2a ∆ e x2 = −b+2a
ax2 + bx + c = 0, lembrando que ∆ = b2 − 4ac.
∆
, as raízes da equação
Observe que:
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−b − ∆ −b + ∆
−2b
b
x1 + x2 =
+
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= − .
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4o Caso: Trinômio do segundo grau.
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
onde x1 e x2 são as raízes da equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0.
√
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Demonstração: Sejam x1 = −b−2a ∆ e x2 = −b+2a
ax2 + bx + c = 0, lembrando que ∆ = b2 − 4ac.
∆
, as raízes da equação
Observe que:
√
√
−b − ∆ −b + ∆
−2b
b
+
=
= − .
x1 + x2 =
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4o Caso: Trinômio do segundo grau.
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
onde x1 e x2 são as raízes da equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0.
√
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Demonstração: Sejam x1 = −b−2a ∆ e x2 = −b+2a
ax2 + bx + c = 0, lembrando que ∆ = b2 − 4ac.
∆
, as raízes da equação
Observe que:
√
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−b − ∆ −b + ∆
−2b
b
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= − .
x1 + x2 =
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4o Caso: Trinômio do segundo grau.
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
onde x1 e x2 são as raízes da equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0.
√
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Demonstração: Sejam x1 = −b−2a ∆ e x2 = −b+2a
ax2 + bx + c = 0, lembrando que ∆ = b2 − 4ac.
∆
, as raízes da equação
Observe que:
√
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−b − ∆ −b + ∆
−2b
b
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= − .
x1 + x2 =
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ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
onde x1 e x2 são as raízes da equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0.
√
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Demonstração: Sejam x1 = −b−2a ∆ e x2 = −b+2a
ax2 + bx + c = 0, lembrando que ∆ = b2 − 4ac.
∆
, as raízes da equação
Observe que:
√
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−b − ∆ −b + ∆
−2b
b
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= − .
x1 + x2 =
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ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
onde x1 e x2 são as raízes da equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0.
√
√
Demonstração: Sejam x1 = −b−2a ∆ e x2 = −b+2a
ax2 + bx + c = 0, lembrando que ∆ = b2 − 4ac.
∆
, as raízes da equação
Observe que:
√
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−b − ∆ −b + ∆
−2b
b
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= − .
x1 + x2 =
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x1 · x2
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x1 · x2
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x1 · x2
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a
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Assim,
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Assim,
a(x − x1 )(x − x2 )
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Assim,
a(x − x1 )(x − x2 )
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=
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Assim,
a(x − x1 )(x − x2 )
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= a x2 − (x1 + x2 )x + x1 · x2
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Assim,
a(x − x1 )(x − x2 )
= a x2 − (x1 + x2 )x + x1 · x2
=
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Assim,
a(x − x1 )(x − x2 )
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= a x2 − (x1 + x2 )x + x1 · x2
c
b
2
= a x + x+
a
a
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Assim,
a(x − x1 )(x − x2 )
= a x2 − (x1 + x2 )x + x1 · x2
c
b
2
= a x + x+
a
a
=
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Assim,
a(x − x1 )(x − x2 )
= a x2 − (x1 + x2 )x + x1 · x2
c
b
2
= a x + x+
a
a
= ax2 + bx + c.
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Assim,
a(x − x1 )(x − x2 )
= a x2 − (x1 + x2 )x + x1 · x2
c
b
2
= a x + x+
a
a
= ax2 + bx + c.
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Assim,
a(x − x1 )(x − x2 )
= a x2 − (x1 + x2 )x + x1 · x2
c
b
2
= a x + x+
a
a
= ax2 + bx + c.
Observação:
Se ∆ < 0, então o trinômio do segundo grau não se fatora!
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Exemplo 1
Fatorar: x2 − 3x − 4.
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Exemplo 1
Fatorar: x2 − 3x − 4.
Resolvendo a equação do segundo grau x2 − 3x − 4 = 0, temos:
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Exemplo 1
Fatorar: x2 − 3x − 4.
Resolvendo a equação do segundo grau x2 − 3x − 4 = 0, temos:
a = 1, b = −3, c = −4
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Exemplo 1
Fatorar: x2 − 3x − 4.
Resolvendo a equação do segundo grau x2 − 3x − 4 = 0, temos:
a = 1, b = −3, c = −4
∆ = b2 − 4ac
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Exemplo 1
Fatorar: x2 − 3x − 4.
Resolvendo a equação do segundo grau x2 − 3x − 4 = 0, temos:
a = 1, b = −3, c = −4
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(1)(−4)
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Exemplo 1
Fatorar: x2 − 3x − 4.
Resolvendo a equação do segundo grau x2 − 3x − 4 = 0, temos:
a = 1, b = −3, c = −4
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(1)(−4) = 9 + 16
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Exemplo 1
Fatorar: x2 − 3x − 4.
Resolvendo a equação do segundo grau x2 − 3x − 4 = 0, temos:
a = 1, b = −3, c = −4
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(1)(−4) = 9 + 16 = 25
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Casos de Fatoração
Exemplo 1
Fatorar: x2 − 3x − 4.
Resolvendo a equação do segundo grau x2 − 3x − 4 = 0, temos:
a = 1, b = −3, c = −4
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(1)(−4) = 9 + 16 = 25
√
−b ± ∆
x=
2a
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Casos de Fatoração
Exemplo 1
Fatorar: x2 − 3x − 4.
Resolvendo a equação do segundo grau x2 − 3x − 4 = 0, temos:
a = 1, b = −3, c = −4
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(1)(−4) = 9 + 16 = 25
√
−b ± ∆
3±5
x=
=
2a
2
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Casos de Fatoração
Exemplo 1
Fatorar: x2 − 3x − 4.
Resolvendo a equação do segundo grau x2 − 3x − 4 = 0, temos:
a = 1, b = −3, c = −4
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(1)(−4) = 9 + 16 = 25
√
−b ± ∆
3±5
x=
=
⇒ x1 = −1 ou x2 = 4.
2a
2
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Casos de Fatoração
Exemplo 1
Fatorar: x2 − 3x − 4.
Resolvendo a equação do segundo grau x2 − 3x − 4 = 0, temos:
a = 1, b = −3, c = −4
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(1)(−4) = 9 + 16 = 25
√
−b ± ∆
3±5
x=
=
⇒ x1 = −1 ou x2 = 4.
2a
2
Assim, x3 − 3x − 4 =
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Casos de Fatoração
Exemplo 1
Fatorar: x2 − 3x − 4.
Resolvendo a equação do segundo grau x2 − 3x − 4 = 0, temos:
a = 1, b = −3, c = −4
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(1)(−4) = 9 + 16 = 25
√
−b ± ∆
3±5
x=
=
⇒ x1 = −1 ou x2 = 4.
2a
2
Assim, x3 − 3x − 4 = a(x − x1 )(x − x2 ) =
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Casos de Fatoração
Exemplo 1
Fatorar: x2 − 3x − 4.
Resolvendo a equação do segundo grau x2 − 3x − 4 = 0, temos:
a = 1, b = −3, c = −4
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(1)(−4) = 9 + 16 = 25
√
−b ± ∆
3±5
x=
=
⇒ x1 = −1 ou x2 = 4.
2a
2
Assim, x3 − 3x − 4 = a(x − x1 )(x − x2 ) = (x + 1)(x − 4).
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Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
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Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 − 3x + 1 = 0, temos:
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Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 − 3x + 1 = 0, temos:
a = 2, b = −3, c = 1
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Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 − 3x + 1 = 0, temos:
a = 2, b = −3, c = 1
∆ = b2 − 4ac
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Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 − 3x + 1 = 0, temos:
a = 2, b = −3, c = 1
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(2)(1)
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Fundamentos de Matemática Elementar
Casos de Fatoração
Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 − 3x + 1 = 0, temos:
a = 2, b = −3, c = 1
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(2)(1) = 9 − 8
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Casos de Fatoração
Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 − 3x + 1 = 0, temos:
a = 2, b = −3, c = 1
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(2)(1) = 9 − 8 = 1
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Casos de Fatoração
Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 − 3x + 1 = 0, temos:
a = 2, b = −3, c = 1
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(2)(1) = 9 − 8 = 1
√
−b ± ∆
x=
2a
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Casos de Fatoração
Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 − 3x + 1 = 0, temos:
a = 2, b = −3, c = 1
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(2)(1) = 9 − 8 = 1
√
−b ± ∆
3±1
x=
=
2a
4
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Casos de Fatoração
Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 − 3x + 1 = 0, temos:
a = 2, b = −3, c = 1
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(2)(1) = 9 − 8 = 1
√
−b ± ∆
3±1
1
x=
=
⇒ x1 = ou x2 = 1.
2a
4
2
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Casos de Fatoração
Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 − 3x + 1 = 0, temos:
a = 2, b = −3, c = 1
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(2)(1) = 9 − 8 = 1
√
−b ± ∆
3±1
1
x=
=
⇒ x1 = ou x2 = 1.
2a
4
2
Assim,
2x2 − 3x + 1 =
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Casos de Fatoração
Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 − 3x + 1 = 0, temos:
a = 2, b = −3, c = 1
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(2)(1) = 9 − 8 = 1
√
−b ± ∆
3±1
1
x=
=
⇒ x1 = ou x2 = 1.
2a
4
2
Assim,
2x2 − 3x + 1 = a(x − x1 )(x − x2 ) =
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Casos de Fatoração
Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 − 3x + 1 = 0, temos:
a = 2, b = −3, c = 1
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(2)(1) = 9 − 8 = 1
√
−b ± ∆
3±1
1
x=
=
⇒ x1 = ou x2 = 1.
2a
4
2
Assim,
2x2 − 3x + 1 = a(x − x1 )(x − x2 ) = 2 x − 12 (x − 1) =
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Casos de Fatoração
Exemplo 2
Fatorar: 2x2 − 3x + 1.
Resolvendo a equação do segundo grau 2x2 − 3x + 1 = 0, temos:
a = 2, b = −3, c = 1
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(2)(1) = 9 − 8 = 1
√
−b ± ∆
3±1
1
x=
=
⇒ x1 = ou x2 = 1.
2a
4
2
Assim,
2x2 − 3x + 1 = a(x − x1 )(x − x2 ) = 2 x − 12 (x − 1) = (2x − 1)(x − 1).
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Casos de Fatoração
Exercício:
Simplificar:
x2 − 5x + 6
, sendo x 6= 2.
x2 − 4x + 4
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Casos de Fatoração
Exercício:
Simplificar:
x2 − 5x + 6
, sendo x 6= 2.
x2 − 4x + 4
Resposta:
x−3
x−2 .
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Casos de Fatoração
5o Caso: Soma e diferença de cubos.
(1) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
(2) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Exemplo 3
Fatorar:
(a) x3 + 27
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Casos de Fatoração
5o Caso: Soma e diferença de cubos.
(1) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
(2) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Exemplo 3
Fatorar:
(a) x3 + 27 = (x + 3)(x2 − 3x + 9).
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Casos de Fatoração
5o Caso: Soma e diferença de cubos.
(1) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
(2) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Exemplo 3
Fatorar:
(a) x3 + 27 = (x + 3)(x2 − 3x + 9).
(b) 2x3 − 54
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Casos de Fatoração
5o Caso: Soma e diferença de cubos.
(1) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
(2) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Exemplo 3
Fatorar:
(a) x3 + 27 = (x + 3)(x2 − 3x + 9).
(b) 2x3 − 54 = 2(x3 − 27)
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Casos de Fatoração
5o Caso: Soma e diferença de cubos.
(1) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
(2) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Exemplo 3
Fatorar:
(a) x3 + 27 = (x + 3)(x2 − 3x + 9).
(b) 2x3 − 54 = 2(x3 − 27) = 2(x − 3)(x2 + 3x + 9).
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Casos de Fatoração
5o Caso: Soma e diferença de cubos.
(1) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
(2) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Exemplo 3
Fatorar:
(a) x3 + 27 = (x + 3)(x2 − 3x + 9).
(b) 2x3 − 54 = 2(x3 − 27) = 2(x − 3)(x2 + 3x + 9).
(c) x9 + 1
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Casos de Fatoração
5o Caso: Soma e diferença de cubos.
(1) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
(2) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Exemplo 3
Fatorar:
(a) x3 + 27 = (x + 3)(x2 − 3x + 9).
(b) 2x3 − 54 = 2(x3 − 27) = 2(x − 3)(x2 + 3x + 9).
(c) x9 + 1 = (x3 + 1)(x6 − x3 + 1)
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Casos de Fatoração
5o Caso: Soma e diferença de cubos.
(1) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
(2) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Exemplo 3
Fatorar:
(a) x3 + 27 = (x + 3)(x2 − 3x + 9).
(b) 2x3 − 54 = 2(x3 − 27) = 2(x − 3)(x2 + 3x + 9).
(c) x9 + 1 = (x3 + 1)(x6 − x3 + 1) = (x + 1)(x2 − x + 1)(x6 − x3 + 1).
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Briot-Ruffini
Definição 1
Um polinômio de grau n na variável x com coeficientes reais é uma
expressão do tipo:
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , onde:
x é uma variável real,
a0 , a1 , . . . , an são constantes reais chamadas de coeficientes e
n é un número natural (n ∈ N) chamado de grau.
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Briot-Ruffini
Definição 1
Um polinômio de grau n na variável x com coeficientes reais é uma
expressão do tipo:
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , onde:
x é uma variável real,
a0 , a1 , . . . , an são constantes reais chamadas de coeficientes e
n é un número natural (n ∈ N) chamado de grau.
Exemplo 4
Alguns exemplos de polinômios:
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Fundamentos de Matemática Elementar
Briot-Ruffini
Definição 1
Um polinômio de grau n na variável x com coeficientes reais é uma
expressão do tipo:
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , onde:
x é uma variável real,
a0 , a1 , . . . , an são constantes reais chamadas de coeficientes e
n é un número natural (n ∈ N) chamado de grau.
Exemplo 4
Alguns exemplos de polinômios:
1
p(x) = 4x3 − 2x2 + x − 7.
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Briot-Ruffini
Definição 1
Um polinômio de grau n na variável x com coeficientes reais é uma
expressão do tipo:
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , onde:
x é uma variável real,
a0 , a1 , . . . , an são constantes reais chamadas de coeficientes e
n é un número natural (n ∈ N) chamado de grau.
Exemplo 4
Alguns exemplos de polinômios:
1
p(x) = 4x3 − 2x2 + x − 7.
2
q(x) = −x4 + 8x.
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Briot-Ruffini
Definição 1
Um polinômio de grau n na variável x com coeficientes reais é uma
expressão do tipo:
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , onde:
x é uma variável real,
a0 , a1 , . . . , an são constantes reais chamadas de coeficientes e
n é un número natural (n ∈ N) chamado de grau.
Exemplo 4
Alguns exemplos de polinômios:
1
p(x) = 4x3 − 2x2 + x − 7.
2
q(x) = −x4 + 8x.
3
r(x) = 4x.
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Briot-Ruffini
Definição 1
Um polinômio de grau n na variável x com coeficientes reais é uma
expressão do tipo:
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , onde:
x é uma variável real,
a0 , a1 , . . . , an são constantes reais chamadas de coeficientes e
n é un número natural (n ∈ N) chamado de grau.
Exemplo 4
Alguns exemplos de polinômios:
1
p(x) = 4x3 − 2x2 + x − 7.
2
q(x) = −x4 + 8x.
3
r(x) = 4x.
4
s(x) = 2x5 −
√
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2x2 + π.
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Briot-Ruffini
Observação:
Expressões do tipo s(x) = x2 +
são polinômios!
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√
x, q(x) = x2 + x + 1x , r(x) =
√
x2 + 1 não
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Briot-Ruffini
Observação:
Expressões do tipo s(x) = x2 +
são polinômios!
√
x, q(x) = x2 + x + 1x , r(x) =
√
x2 + 1 não
Definição 2 (Valor Numérico de um Polinômio)
Seja p(x) um polinômio. O valor que obtemos quando substituímos x por um
número a, chamamos de valor numérico de p(x) e indicamos por p(a).
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Briot-Ruffini
Observação:
Expressões do tipo s(x) = x2 +
são polinômios!
√
x, q(x) = x2 + x + 1x , r(x) =
√
x2 + 1 não
Definição 2 (Valor Numérico de um Polinômio)
Seja p(x) um polinômio. O valor que obtemos quando substituímos x por um
número a, chamamos de valor numérico de p(x) e indicamos por p(a).
Exemplo 5
Para p(x) = 3x3 − 2x2 − 1, temos:
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Briot-Ruffini
Observação:
Expressões do tipo s(x) = x2 +
são polinômios!
√
x, q(x) = x2 + x + 1x , r(x) =
√
x2 + 1 não
Definição 2 (Valor Numérico de um Polinômio)
Seja p(x) um polinômio. O valor que obtemos quando substituímos x por um
número a, chamamos de valor numérico de p(x) e indicamos por p(a).
Exemplo 5
Para p(x) = 3x3 − 2x2 − 1, temos:
1
p(2) = 3 · (2)3 − 2 · (2)2 − 1
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Briot-Ruffini
Observação:
Expressões do tipo s(x) = x2 +
são polinômios!
√
x, q(x) = x2 + x + 1x , r(x) =
√
x2 + 1 não
Definição 2 (Valor Numérico de um Polinômio)
Seja p(x) um polinômio. O valor que obtemos quando substituímos x por um
número a, chamamos de valor numérico de p(x) e indicamos por p(a).
Exemplo 5
Para p(x) = 3x3 − 2x2 − 1, temos:
1
p(2) = 3 · (2)3 − 2 · (2)2 − 1 = 15.
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Briot-Ruffini
Observação:
Expressões do tipo s(x) = x2 +
são polinômios!
√
x, q(x) = x2 + x + 1x , r(x) =
√
x2 + 1 não
Definição 2 (Valor Numérico de um Polinômio)
Seja p(x) um polinômio. O valor que obtemos quando substituímos x por um
número a, chamamos de valor numérico de p(x) e indicamos por p(a).
Exemplo 5
Para p(x) = 3x3 − 2x2 − 1, temos:
1
p(2) = 3 · (2)3 − 2 · (2)2 − 1 = 15.
2
p(1) = 3 · (1)3 − 2 · (1)2 − 1
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Observação:
Expressões do tipo s(x) = x2 +
são polinômios!
√
x, q(x) = x2 + x + 1x , r(x) =
√
x2 + 1 não
Definição 2 (Valor Numérico de um Polinômio)
Seja p(x) um polinômio. O valor que obtemos quando substituímos x por um
número a, chamamos de valor numérico de p(x) e indicamos por p(a).
Exemplo 5
Para p(x) = 3x3 − 2x2 − 1, temos:
1
p(2) = 3 · (2)3 − 2 · (2)2 − 1 = 15.
2
p(1) = 3 · (1)3 − 2 · (1)2 − 1 = 0.
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Observação:
Expressões do tipo s(x) = x2 +
são polinômios!
√
x, q(x) = x2 + x + 1x , r(x) =
√
x2 + 1 não
Definição 2 (Valor Numérico de um Polinômio)
Seja p(x) um polinômio. O valor que obtemos quando substituímos x por um
número a, chamamos de valor numérico de p(x) e indicamos por p(a).
Exemplo 5
Para p(x) = 3x3 − 2x2 − 1, temos:
1
p(2) = 3 · (2)3 − 2 · (2)2 − 1 = 15.
2
p(1) = 3 · (1)3 − 2 · (1)2 − 1 = 0.
3
p(0) = 3 · (0)3 − 2 · (0)2 − 1
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Briot-Ruffini
Observação:
Expressões do tipo s(x) = x2 +
são polinômios!
√
x, q(x) = x2 + x + 1x , r(x) =
√
x2 + 1 não
Definição 2 (Valor Numérico de um Polinômio)
Seja p(x) um polinômio. O valor que obtemos quando substituímos x por um
número a, chamamos de valor numérico de p(x) e indicamos por p(a).
Exemplo 5
Para p(x) = 3x3 − 2x2 − 1, temos:
1
p(2) = 3 · (2)3 − 2 · (2)2 − 1 = 15.
2
p(1) = 3 · (1)3 − 2 · (1)2 − 1 = 0.
3
p(0) = 3 · (0)3 − 2 · (0)2 − 1 = −1.
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Briot-Ruffini
Definição 3
Um número a é raiz ou zero do polinômio p(x) se, e somente se, p(a) = 0.
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Definição 3
Um número a é raiz ou zero do polinômio p(x) se, e somente se, p(a) = 0.
Exemplo 6
x = 1 é raiz do polinômio p(x) = 3x3 − 2x2 − 1, pois p(1) = 0.
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Definição 3
Um número a é raiz ou zero do polinômio p(x) se, e somente se, p(a) = 0.
Exemplo 6
x = 1 é raiz do polinômio p(x) = 3x3 − 2x2 − 1, pois p(1) = 0.
Teorema 1
Sejam p(x) um polinômio de grau n e x = a uma raiz do mesmo. Então p(x)
se escreve da seguinte maneira
p(x) = q(x) · (x − a), onde q(x) é um polinômio de grau n − 1.
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Exemplo 7
Fatore o polinômio x3 − 4x2 + 5x − 2, sabendo que x = 2 é uma raiz.
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Briot-Ruffini
Exemplo 7
Fatore o polinômio x3 − 4x2 + 5x − 2, sabendo que x = 2 é uma raiz.
Solução: Se x = 2 é uma raiz, então x3 − 4x2 + 5x − 2 = q(x) · (x − 2)
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Briot-Ruffini
Exemplo 7
Fatore o polinômio x3 − 4x2 + 5x − 2, sabendo que x = 2 é uma raiz.
Solução: Se x = 2 é uma raiz, então x3 − 4x2 + 5x − 2 = q(x) · (x − 2) e
para obtermos q(x) basta efetuarmos a seguinte divisão:
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Exemplo 7
Fatore o polinômio x3 − 4x2 + 5x − 2, sabendo que x = 2 é uma raiz.
Solução: Se x = 2 é uma raiz, então x3 − 4x2 + 5x − 2 = q(x) · (x − 2) e
para obtermos q(x) basta efetuarmos a seguinte divisão:
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Briot-Ruffini
Exemplo 7
Fatore o polinômio x3 − 4x2 + 5x − 2, sabendo que x = 2 é uma raiz.
Solução: Se x = 2 é uma raiz, então x3 − 4x2 + 5x − 2 = q(x) · (x − 2) e
para obtermos q(x) basta efetuarmos a seguinte divisão:
Portanto, x3 − 4x2 + 5x − 2 = (x2 − 2x + 1)(x − 2)
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Exemplo 7
Fatore o polinômio x3 − 4x2 + 5x − 2, sabendo que x = 2 é uma raiz.
Solução: Se x = 2 é uma raiz, então x3 − 4x2 + 5x − 2 = q(x) · (x − 2) e
para obtermos q(x) basta efetuarmos a seguinte divisão:
Portanto, x3 − 4x2 + 5x − 2 = (x2 − 2x + 1)(x − 2) = (x − 1)2 (x − 2).
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Exemplo 8
Fatore o polinômio p(x) = x3 + 2x2 − 3, sabendo que p(1) = 0.
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Briot-Ruffini
Exemplo 8
Fatore o polinômio p(x) = x3 + 2x2 − 3, sabendo que p(1) = 0.
Solução: Se p(1) = 0, então x = 1 é raiz de p(x).
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Briot-Ruffini
Exemplo 8
Fatore o polinômio p(x) = x3 + 2x2 − 3, sabendo que p(1) = 0.
Solução: Se p(1) = 0, então x = 1 é raiz de p(x).
Logo, x3 + 2x2 − 3 = q(x) · (x − 1).
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Briot-Ruffini
Exemplo 8
Fatore o polinômio p(x) = x3 + 2x2 − 3, sabendo que p(1) = 0.
Solução: Se p(1) = 0, então x = 1 é raiz de p(x).
Logo, x3 + 2x2 − 3 = q(x) · (x − 1). Efetuando a divisão, obtemos:
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Briot-Ruffini
Exemplo 8
Fatore o polinômio p(x) = x3 + 2x2 − 3, sabendo que p(1) = 0.
Solução: Se p(1) = 0, então x = 1 é raiz de p(x).
Logo, x3 + 2x2 − 3 = q(x) · (x − 1). Efetuando a divisão, obtemos:
Aula 02
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Briot-Ruffini
Exemplo 8
Fatore o polinômio p(x) = x3 + 2x2 − 3, sabendo que p(1) = 0.
Solução: Se p(1) = 0, então x = 1 é raiz de p(x).
Logo, x3 + 2x2 − 3 = q(x) · (x − 1). Efetuando a divisão, obtemos:
Portanto, x3 + 2x2 − 3 =
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(x2 + 3x + 3)
(x − 1)
|
{z
}
não se fatora, pois ∆<0.
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Briot-Ruffini
Algoritmo de Briot-Ruffini
Seja x1 uma raiz de p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 (grau n). O
algoritmo para obter q(x), onde p(x) = q(x) · (x − x1 ), está representado na
figura abaixo:
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Briot-Ruffini
Algoritmo de Briot-Ruffini
Seja x1 uma raiz de p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 (grau n). O
algoritmo para obter q(x), onde p(x) = q(x) · (x − x1 ), está representado na
figura abaixo:
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Briot-Ruffini
Exemplo 9
Sendo x = a raiz do polinômio p(x), escreva p(x) na seguinte forma:
p(x) = q(x) · (x − a), usando Briot-Ruffini, onde:
(a) x = 2 e p(x) = x3 − 4x2 + 5x − 2.
(b) x = 1 e p(x) = x3 + 2x2 − 3.
(c) x = 3 e p(x) = x3 − 5x5 + 15x − 27.
(d) x = −2 e p(x) = x3 + 3x + 14.
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Solução:
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Solução:
(a) x = 2 e p(x) = x3 − 4x2 + 5x − 2.
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Solução:
(a) x = 2 e p(x) = x3 − 4x2 + 5x − 2.
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Solução:
(a) x = 2 e p(x) = x3 − 4x2 + 5x − 2.
Portanto, q(x) = x2 − 2x + 1 e:
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Solução:
(a) x = 2 e p(x) = x3 − 4x2 + 5x − 2.
Portanto, q(x) = x2 − 2x + 1 e:
x3 − 4x2 + 5x − 2 = (x2 − 2x + 1)(x − 2).
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Solução:
(b) x = 1 e p(x) = x3 + 2x2 − 3.
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Solução:
(b) x = 1 e p(x) = x3 + 2x2 − 3.
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Solução:
(b) x = 1 e p(x) = x3 + 2x2 − 3.
Portanto, q(x) = x2 + 3x + 3 e:
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Solução:
(b) x = 1 e p(x) = x3 + 2x2 − 3.
Portanto, q(x) = x2 + 3x + 3 e:
x3 + 2x2 − 3 = (x2 + 3x + 3)(x − 1).
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Solução:
(c) x = 3 e p(x) = x3 − 5x2 + 15x − 27.
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(c) x = 3 e p(x) = x3 − 5x2 + 15x − 27.
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Solução:
(c) x = 3 e p(x) = x3 − 5x2 + 15x − 27.
Portanto, q(x) = x2 − 2x + 9 e:
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Solução:
(c) x = 3 e p(x) = x3 − 5x2 + 15x − 27.
Portanto, q(x) = x2 − 2x + 9 e:
x3 − 5x2 + 15x − 27 = (x2 − 2x + 9)(x − 3).
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Solução:
(d) x = −2 e p(x) = x3 + 3x + 14.
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Solução:
(d) x = −2 e p(x) = x3 + 3x + 14.
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Solução:
(d) x = −2 e p(x) = x3 + 3x + 14.
Portanto, q(x) = x2 − 2x + 7 e:
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Solução:
(d) x = −2 e p(x) = x3 + 3x + 14.
Portanto, q(x) = x2 − 2x + 7 e:
x3 + 3x + 14 = (x2 − 2x + 7)(x + 2).
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Um resultado que pode nos auxiliar a encontrar raízes de polinômios para
que possamos aplicar Briot-Ruffini é o seguinte:
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Um resultado que pode nos auxiliar a encontrar raízes de polinômios para
que possamos aplicar Briot-Ruffini é o seguinte:
Teorema 2 (Teorema da Raiz Racional)
Se um polinômio p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 tem coeficientes
inteiros (∈ Z), então se p(x) possuir uma raiz racional (∈ Q), ela será da
forma qp , onde p é um divisor de a0 e q é um divisor de an .
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Exemplo 10
Encontre uma raiz racional de p(x) = 2x3 + 3x2 − 8x + 3, se existir.
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Exemplo 10
Encontre uma raiz racional de p(x) = 2x3 + 3x2 − 8x + 3, se existir.
Solução: Os divisores do termo constante (a0 = 3) são: ±1 e ±3.
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Exemplo 10
Encontre uma raiz racional de p(x) = 2x3 + 3x2 − 8x + 3, se existir.
Solução: Os divisores do termo constante (a0 = 3) são: ±1 e ±3.
O divisores do coeficiente de liderança (an = 2) são: ±1 e ±2.
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Exemplo 10
Encontre uma raiz racional de p(x) = 2x3 + 3x2 − 8x + 3, se existir.
Solução: Os divisores do termo constante (a0 = 3) são: ±1 e ±3.
O divisores do coeficiente de liderança (an = 2) são: ±1 e ±2.
de a0
As possíveis raízes racionais são os valores obtidos por divisores
divisores de an , ou
seja:
1 1
3 3
1, −1, 2, −2, , − , 3, −3, , − .
2 2
2 2
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Exemplo 10
Encontre uma raiz racional de p(x) = 2x3 + 3x2 − 8x + 3, se existir.
Solução: Os divisores do termo constante (a0 = 3) são: ±1 e ±3.
O divisores do coeficiente de liderança (an = 2) são: ±1 e ±2.
de a0
As possíveis raízes racionais são os valores obtidos por divisores
divisores de an , ou
seja:
1 1
3 3
1, −1, 2, −2, , − , 3, −3, , − .
2 2
2 2
Testando os valores acima para ver quem é raiz, vemos que x = 1 o é, pois
p(1) = 2 · (1)3 + 3 · (1)2 − 8 · (1) + 3 = 0.
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Assim, podemos escrever 2x3 + 3x2 − 8x + 3 da seguinte forma:
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Assim, podemos escrever 2x3 + 3x2 − 8x + 3 da seguinte forma:
2x3 + 3x2 − 8x + 3 = q(x) · (x − 1)
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Assim, podemos escrever 2x3 + 3x2 − 8x + 3 da seguinte forma:
2x3 + 3x2 − 8x + 3 = q(x) · (x − 1)
Daí, é só usar Briot-Ruffini com a raiz x = 1 para obter q(x).
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Assim, podemos escrever 2x3 + 3x2 − 8x + 3 da seguinte forma:
2x3 + 3x2 − 8x + 3 = q(x) · (x − 1)
Daí, é só usar Briot-Ruffini com a raiz x = 1 para obter q(x). (Exercício!)
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