Pesquisa Operacional II
5. Análise econômica e análise de
sensibilidade
Faculdade de Engenharia “Eng. Celso Daniel”
Engenharia de Produção
Profa. Dra. Lilian Kátia de Oliveira
Interpretação econômica do problema dual
99
Cada
Cada variável
variável wwi i do
do dual
dual está
está diretamente
diretamente relacionada
relacionada
com
com aa restrição
restrição ii do
do problema
problema primal.
primal.
99
O
O valor
valor ótimo
ótimo desta
desta variável
variável wwi*i* recebe
recebe diversas
diversas
denominações,
denominações, entre
entre elas:
elas:
•• Preço-Sombra
Preço-Sombra (Shadow
(Shadow Price);
Price);
•• Preço-Dual
Preço-Dual (Dual-Price).
(Dual-Price).
99
Portanto,
Portanto, cada
cada restrição
restrição ii possui
possui um
um Preço-Sombra
Preço-Sombra wwi*.
i*.
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Preço-Sombra
O Preço-Sombra para o recurso i (wi*) mede o valor
9
marginal deste recurso em relação o lucro total.
Isto é: a quantidade que o Lucro Total (Z) poderia ser
melhorado, caso a quantidade do recurso i (bi) puder e
for aumentado a uma quantidade igual à unidade.
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Interpretação econômica do problema dual
99
Cada
Cada variável
variável de
de folga
folga –– restrição
restrição do
do dual
dual -- está
está
diretamente
diretamente
relacionada
relacionada
com
com
uma
uma determinada
determinada
variável
variável original
original do
do problema
problema primal.
primal.
99
Este
Este valor
valor éé chamado
chamado de
de Custo
Custo Reduzido.
Reduzido.
99
Portanto,
Portanto, cada
cada variável
variável do
do problema
problema original
original possui
possui um
um
determinado
determinado Custo
Custo Reduzido.
Reduzido.
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Custo Reduzido
9
O Custo Reduzido de uma variável é o total que o seu
coeficiente na função objetivo deve melhorar para que
ela deixe de ser zero na solução ótima.
9
Ou: quanto a função objetivo irá piorar para cada
unidade que ela aumente a partir de zero.
9
O Custo Reduzido só se aplica a variáveis que na
solução ótima são zero.
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Análise de sensibilidade
9
As quantidades informadas pelas grandezas PreçoSombra e Custo Reduzido refletem as conseqüências
de alterações unitárias:
• Alterações
diferentes
da
unidade
provocaram
conseqüências proporcionais.
9
Entretanto, estes valores só podem ser garantidos
dentro de intervalos.
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Intervalos de validação do Preço-Sombra e do
Custo Reduzido
9
O Custo Reduzido também possui intervalos nos quais
ele é válido.
9
A análise de sensibilidade determina estes intervalos
em que o Custo Reduzido e o Preço-Sombra são
válidos.
9
Existe uma outra razão para estabelecer estes
intervalos: o problema da certeza dos coeficientes.
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Análise de sensibilidade
9
9
A análise de sensibilidade serve também para
amenizar a hipótese de certeza nos coeficientes e
constantes.
Em uma análise de sensibilidade queremos responder
basicamente a três perguntas:
• Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da
função objetivo?
• Qual o efeito de uma mudança numa constante de
uma restrição?
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Análise de sensibilidade
9
A pergunta
• Qual o efeito de uma mudança num coeficiente de
uma restrição?
também parece importante de ser respondida, e é.
Entretanto, a análise de sensibilidade geralmente não
responde à esta pergunta
9
A quantidade de coeficientes é muito grande!
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Análise de sensibilidade
9
Existem dois tipos básicos de análise de
sensibilidade:
• Estabelece limites inferiores e superiores para
todos os coeficientes e constantes:
– Lindo/Excel;
– Hipótese de uma alteração a cada momento.
• Verifica se uma ou mais mudanças em um problema
alteram a sua solução ótima:
– Mais complicado;
– Pode ser feito através da alteração do problema
e sua nova resolução.
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Análise de sensibilidade
Consideremos o seguinte problema de PL:
Max Z = x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 3x2 ≤ 6
x1 + 5x2 ≤ 5
x2 ≤ 5
x1 , x 2 ≥ 0
Realizaremos a análise de sensibilidade utilizando o
software Lindo!
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Lindo – Relatório de resposta
Valor Ótimo da
Função Objetivo
Valor das Variáveis
Originais (Solução Ótima)
Valor das Variáveis
de Folga ou Excesso
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Lindo – Relatório de resposta
Valores das variáveis
do problema dual
Custo Reduzido: Variáveis de
folga/excesso do dual.
Se uma variável do problema original
for maior do que zero,
o valor da variável do dual
relacionada será zero, isto é, o
valor do Custo Reduzido será zero.
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Lindo - Relatório de resposta
Variações de
incremento e
decremento, as
quais
cada coeficiente
da função
objetivo,
isoladamente,
pode ter sem que
a solução ótima
(valores
finais de x1 e x2)
se altere.
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Análise de sensiblidade
Max Z = x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 3x2 ≤ 6
x1 + 5x2 ≤ 5
x2 ≤ 5
x1 , x 2 ≥ 0
Max Z = 1,2x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 3x2 ≤ 6
x1 + 5x2 ≤ 5
x2 ≤ 5
x1 , x 2 ≥ 0
E se mudarmos um coeficiente da função objetivo?
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Lindo - Relatório de resposta
9A solução ótima não
mudou, já que o
coeficiente permaneceu
dentro do intervalo de
variação do coeficiente;
9 O valor da função
objetivo alterou.
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Análise de sensiblidade
Max Z = x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 3x2 ≤ 6
x1 + 5x2 ≤ 5
x2 ≤ 5
x1 , x 2 ≥ 0
Max Z = 1, 4x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 3x2 ≤ 6
x1 + 5x2 ≤ 5
x2 ≤ 5
x1 , x 2 ≥ 0
E se mudarmos um coeficiente da função objetivo?
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Lindo - Relatório de resposta
A solução ótima
foi mudada!!!
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Lindo - Relatório de resposta
Preço-Sombra:
(de uma restrição)
mede o quanto
o valor ótimo da
função objetivo
varia por unidade
de acréscimo no
lado direito da
restrição.
OU
Até quanto
estamos
dispostos a pagar
por uma unidade
adicional de
recurso ?
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Análise de sensiblidade
Max Z = x1 + 2x2
Max Z = x1 + 2x2
2x1 + 3x2 ≤ 6
2x1 + 3x2 ≤ 7
s.a.
x1 + 5x2 ≤ 5
x2 ≤ 5
x1 , x 2 ≥ 0
s.a.
x1 + 5x2 ≤ 5
x2 ≤ 5
x1 , x 2 ≥ 0
E se mudarmos os termos independentes das restrições?
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Lindo - Relatório de resposta
Se mudarmos o lado
direito da 1a
restrição para 7,
a função objetivo
sofrerá uma
variação de
0,42857143.
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Lindo - Relatório de resposta
Variações de
incremento e
decremento, as
quais cada
constante das
restrições,
isoladamente,
podem ter sem
que os valores dos
Preços-Sombra
(Dual Price) se
alterem.
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Lindo - Relatório de resposta das duas otimizações
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Análise de sensiblidade
Max Z = x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 3x2 ≤ 6
x1 + 5x2 ≤ 5
x2 ≤ 5
x1 , x 2 ≥ 0
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Max Z = x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 3x2 ≤ 10
x1 + 5x2 ≤ 5
x2 ≤ 5
x1 , x 2 ≥ 0
Profa. Dra. Lilian Kátia de Oliveira
Lindo - Relatório de resposta
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Análise de sensiblidade
Max Z = x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 3x2 ≤ 6
x1 + 5x2 ≤ 5
x2 ≤ 5
x1 , x 2 ≥ 0
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Max Z = x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 3x2 ≤ 11
x1 + 5x2 ≤ 5
x2 ≤ 5
x1 , x 2 ≥ 0
Profa. Dra. Lilian Kátia de Oliveira
Lindo - Relatório de resposta
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Mudanças simultâneas em coeficientes
9
A análise de sensibilidade só é valida quando apenas
um dos coeficientes é alterado isoladamente.
9
Porém existem situações que podemos utilizar a
análise de sensibilidade feita pelo Excel/Lindo para
garantir que a solução ótima não se altere.
9
Esta regra é conhecida como Regra de 100%.
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Mudanças simultâneas em coeficientes
9
Caso 1:
Quando todas as variáveis cujos coeficientes da
função objetivo se alterarem tiverem Custo Reduzido
diferentes de zero.
Neste caso a solução ótima permanece inalterada,
desde
que,
todos
os
coeficientes
alterados
permaneçam dentre dos limites permitidos.
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Mudanças simultâneas em coeficientes
9
Caso 2:
Quando
pelo
menos
uma
das
variáveis
cujos
coeficientes da função objetivo se alteram, tem Custo
Reduzido com valor igual a zero.
Neste caso devemos calcular uma razão entre a
alteração do coeficiente e a variação permitida, para
todas as variáveis que tiverem seus coeficientes
alterados.
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Mudanças simultâneas em coeficientes
9
Para cada variável com coeficiente alterado calcule:
⎧ Δc j
⎪I
⎪ j
rj = ⎨
⎪ −Δc j
⎪ Dj
⎩
, se Δc j ≥ 0
, se Δc j ≤ 0
onde:
cj : valor original do coeficiente
Δcj : variação do coeficiente
Ij : incremento permitido do coeficiente
Dj : decremento permitido do coeficiente
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Mudanças simultâneas em coeficientes
9
Caso
mais
de
uma
alteração
simultaneamente a solução ótima
constante se:
∑ rj
9
seja
feita
permanecerá
≤1
Isto não significa dizer que se ∑ rj > 1
a solução
ótima tem que se alterar, significa apenas que a regra
não pode garantir que ela permanecerá constante.
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Mudanças simultâneas em coeficientes
9
Se existir apenas uma alteração, a solução ótima será
inalterada se rj ≤ 1.
9
Isto tem o mesmo significado da regra original,
significando que o numerador da razão (alteração no
coeficiente) é menor que o denominador (alteração
máxima permitida).
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Exemplo da regra do 100%
Max Z = 40x1 + 30x2
s .a .
2 x + 1 x ≤ 20
5 1
2 2
1 x ≤ 5
5 2
3 x + 3 x ≤ 21
5 1
10 2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Será que a solução
ótima se manterá se
mudarmos o
coeficiente de x1 para
50 e o de x2 para 45?
Δc1 = 10
I1 = 20
Δc2 = 15
I2 = 20
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Exemplo
Δc1 = 10
Δc1
10
= 0,5
I1
20
Δc
15
= 0,75
r2 = 2 =
I2
20
r1 =
I1 = 20
Δc2 = 15
I2 = 20
∑ rj
=
= 0,5 + 0,75 = 1,25
Logo, este não é um acréscimo permitido!
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Análise de sensibilidade - solução degenerada
9
A solução de um problema de Programação Linear,
algumas vezes, apresenta uma anomalia conhecida
como degeneração.
9
Uma solução de um PL é dita degenerada quando o
valor de incremento ou decremento de uma restrição é
igual a zero.
9
A presença de degeneração altera a interpretação da
análise de sensibilidade em um certo número de
maneiras.
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Análise de sensibilidade - solução degenerada
9
Quando a solução ótima é degenerada:
• O valor do Custo Reduzido pode não ser único.
• O valor de incremento e decremento dos
coeficientes da função objetivo são ainda validos.
De
fato
os
valores
podem
se
alterar
substancialmente acima deste valores sem que a
solução ótima se altere.
• O valor do Preço-Sombra (Shadow Price) e seus
intervalos podem continuar sendo interpretados da
mesma maneira, contudo podem não ser únicos.
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Referências Bibliográficas
9
9
LACHTERMACHER, G., Pesquisa operacional na tomada
de decisão (modelagem em Excel). 2ª edição, revista e
atualizada, Editora Campus, 2004.
HILLIER, F. S. Introdução à pesquisa operacional. Rio
de Janeiro, Editora Campus, 1988.
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