Teste A
1
UNIVERSIDADE DO ALGARVE
2a Frequência
Teste A
ALGA- 2004/05
Nome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . No . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25/11/2004
2
3
1. Seja A =
1
. Então det ( 2A2 )
1
1
é igual a
1
4
1
4
1
2
1
2
2. Seja A = [aij ] uma matriz de ordem 6 cujas únicas entradas não nulas estão nas posições
(1; 3) ; (2; 1) ; (3; 4) ; (4; 6) ; (5; 2) ; (6; 5) : Então:
det (A) = a13 a21 a34 a46 a52 a65
det (A) =
det (A) = 0
det (A) = a11 a22 a33 a44 a55 a66
2
k
0
1
6 1
1
0
3. As soluções da equação det 6
4 0
1
1
1
0
1
p
p
k = 1; k
k = 7; k =
7
2
3
2
a b c
a
4. Se A = 4 d e f 5 e B = 4 b
g h i
c
det B = det A
3
7
1 7
7 = 0 são:
0 5
k
=
1
k=
3
2d 5g d
2e 5h e 5, então:
2f 5i f
det B = 10 det A
2
6
5. Seja A = 6
4
In
1
0
0
1
a13 a21 a34 a46 a52 a65
1
1
1
1
7
det B =
det B =
0
3
1
0
3
1
1 7
7 : Então A
1 5
1
On
k=0
5 det A
10 det A
adj (A) é igual a:
6In
In
Teste A
2
2
3
a b c
6. Seja A = 4 a 1 2 5. Sabendo que A é invertível, considere as a…rmações
a 2b c
(a) abc
2ab 6= 0:
(b) a 6= 0.
(c) b = 0:
(d) A entrada (2; 2) de A
1
é 0.
Assinale a lista correcta das a…rmações verdadeiras:
(a), (b) e (d)
2
(a) e (d)
3
(b) e (c)
(b), (c) e (d)
3
0 1 1
6 7
6
7
7. A matriz 4 5 é vector próprio de 4 1 0 1 5 ; associado ao valor próprio:
1
1 1 2
1
2
1
2
2
1
2
0
2
8. O conjunto dos vectores próprios da matriz 4
( "
( "
( "
( "
#
1
0
1
1
0
0
1
0
0
#
3
1
0
+
+
#
;
"
"
0
0
1
0
1
0
#
#
2 R; não simultaneamente nulos :
; ;
+
)
"
)
0
0
1
#
; ; ;
5
)
2 R; não simultaneamente nulos :
2 Rn f0g :
9. O polinómio característico da matriz
x2
3
0
0 5 é:
3
1
3
0
2 Rn f0g :
;
#
)
3
0
0
3
x2
4
1
2
2
1
é:
x2
1
x3
4x2 + 1
Teste A
3
10. Seja A uma matriz de ordem 5 com três valores próprios
car (A 8
>
>
>
>
<
U 2=
>
>
>
>
:
1 I5 ) = 3;
2
3
2
1
6 0 7
6
6
7
6
6 0 7+ 6
6
7
6
4 1 5
4
1
a multiplicidade algébrica
0
1
1
2
3
de
3
7
7
7; ;
7
5
3
2R
é 1.
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
1;
2
e
3
tais que:
;
Considere as a…rmações:
(a) A multiplicidade geométrica de
1
é 2.
(b) A é diagonalizável.
(c)
0 2 2 4
6
>
é vector próprio de A:
Assinale a lista correcta das a…rmações verdadeiras:
(b)
(a) e (b)
(a), (b) e (c)
(c)
11. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Assinale o valor lógico das seguintes a…rmações:
V Se A2 = A; então det A = 0 ou det A = 1:
F Se det (A) = 0; então A tem duas linhas iguais.
V Se A tem n valores próprios distintos então, 8k 2 N; a matriz Ak é diagonalizável.
F Se A é diagonalizável então todos os valores próprios de A têm multiplicidade
algébrica igual a 1:
12. Se A é uma matriz diagonalizável semelhante a uma matriz diagonal D por meio da
matriz diagonalizante P; então AP é igual a:
P
1
D
PD
DP
DP
1
13. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n: Complete a seguinte a…rmação:
Se X é um vector próprio de AB associado a um valor próprio
vector próprio de BA associado ao mesmo valor próprio .
6= 0, então BX é