Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
OBJETIVOS
Apresentar abordagens nem
sempre lembradas dos temas
selecionados e
Propor abordagens didáticas,
que facilitem aos alunos a
compreensão dos temas.
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
CONTEÚDOS ABORDADOS
 Vetores
 Produto
 Sistema
Cartesiano
 Reta
 Produto
Escalar
 Plano
 Produto
Vetorial
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
Misto
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
 Definição formal
 Noção Intuitiva
 Interpretação que interessa: Vetor
= Transportar”
“Vehere
condutor , portador, ...
 O vetor v transporta qualquer ponto A
para um novo ponto B:
v = AB

v


B  A  v  A  AB
A
 O vetor é dinâmico, (não é uma flecha!)
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
Identificando Vetores
y
x
0
o
(0,0)
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali

v  (3,2)

B  A v
y

v
2
A
2
3

v
x
3
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
PROBLEMA
Dados os pontos A e B, até
que ponto se deve prolongar o
segmento AB, no sentido de A
para B, para que o seu
comprimento quadruplique de
valor?
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
A
B
C
 Resolver assim:
C = A + 4 AB
AC = 4AB
ou
C = B + 3 AB
Professor: Paulo Winterle
e não assim:
ou
C - A = 4 (B - A),
etc.
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
PROBLEMA
Representar o vetor



v  2 i  3 j  4k
com origem no ponto
A( 4,5,0)
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
z

v  (2,3,4)

4k
4

2i

3j
5
0
y
x
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
A
Elaborado por: Lorí Viali
PROBLEMA
Dados:
 A - vértice de um paralelepípedo
 B, C e D - vértices adjacentes a A
Determinar:
 A’, sendo AA’ uma diagonal do
paralelepípedo.
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
A'
D
C


E
A
B

A  AB  AC AD  A'
B
E
A'
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
TRANSLAÇÃO
 A translação é determinada por um vetor
 Tv : p
p
P
Tv(P) = P + v
É a isometria mais simples
Se v = (a, b), para cada P(x, y) tem-se
Tv (P) = ( x + a, y + b)
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
e transforma
Oxy em
O’x’y’
y'
y
 Tv leva “r”
reta
numa
paralela
TV (P)  P  v
v
v
TV (r)
x'
r
P
Professor: Paulo Winterle
0'
x
0
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
y
y'
B'
7
'
e:
(x 5)
4
2

( y4)
9
2
1
e'
B
4
0
e
0'
5
2
A
A'
2
7
y
x'
x
2
e: x 
1
4
9
 A = (2,0)  e  A’= (2,0) + (5,4) = (7,4)  e’
 B = (0,3)  e  B’ = (0,3) + (5,4) = (5,7)  e’
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
No sistema Oxyz, se v = (a,b,c), então
TV
P(x, y, z)  P’ ( x + a, y + b, z + c)
v
p
X
Exemplos:
Cilindro S de base X e geratriz v:
S = PP’ / P  X e P’ = Tv (P)
Se X é polígono, então S é prisma.
Se X é paralelogramo, então S é paralelepípedo.
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
SISTEMA CARTESIANO
A sala de aula e os oito octantes.
z
Independente
do
sistema ortonormal
igualmente orientado,
o vetor é o mesmo!
 A(0,0,4)
0xyz 
B(7,8,0)
4
A
z'
x'

AB 
(7,8,4)
0'
y
0
8

A(7,8,0) AB  7
0' x ' y' z' 
B(0,0,4) (7,8,4) x
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
y'
B
Elaborado por: Lorí Viali
PRODUTO ESCALAR
Sejam:
u  (x1 , y1 , z1)
v  (x2 , y2 , z2)
  âng(u, v)
u.v  x1 x2  y1 y2  z1 z2  u v cos
Importância: idéia de medida
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
PRODUTO ESCALAR
MEDIDA: módulo, distância, ângulo,
ortogonalidade, bases ortogonais e
ortonormais, projeções.
APLICAÇÕES:
Trabalho;
Tensão;
Energia:
 Dimensionamento de pára-choque de automóvel;
 Fabricação de freios;
 Laminação.
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
PRODUTO VETORIAL
Seja v = (x, y, z) um vetor simultaneamente
ortogonal aos vetores dados:
v1  (a1 , b1 , c1)
v 2  (a 2 , b 2 , c 2 )
com v1  k . v2
Então:  v . v  0 ou a1 .x  b1 .y   c1 .z
1

a2 .x  b2 .y   c2 .z

 v. v2  0
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
Resolvendo o sistema pela regra de Cramer:

a1 b1
a 2 b2
0
c1.z b1
x 
c2 .z b2
e
a1  c1.z
y 
a 2 c2 .z
Professor: Paulo Winterle
e
-

x
x


y
y


FAMAT/PUCRS -
z.
b1 c1
b 2 c2

 z.
Elaborado por: Lorí Viali
a1 c1
a 2 c2

Portanto
 b1 c1

a1 c1
 z.

 z.
 b 2 c2

a 2 c2
v
,
, z








Para z = , tem-se:
 b1 c1
a1 c1 a1 b1 

v  
,
,

b
c
a
c
a
b
2
2
2
2 
 2 2
que é o PRODUTO VETORIAL de v1 e v2, isto é,
v = v1 x v 2
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
PRODUTO VETORIAL
Qual é o significado do número | u  v | ?
uxv
8
u  (1, 1,
7
2) ,
u 2
6
5
4
v  (2, - 2, 2 2 ) ,
v
3
4
2
4
3
2
1
7
6
1
5
2
8
uxv  (4 2 ,4 2 , 0) ,
u
Professor: Paulo Winterle
uxv  8
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
v 4
ÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANO
Dados: u = (a, b) e v = (c, d)
Então: área (u, v) =  ad – bc , isto é,
módulo de
y
y

v'
a b
c d

v'

v  (c, d)

u  (a , b )

u  (a , b )
x
0
Professor: Paulo Winterle
-
0
FAMAT/PUCRS -

u '  (a,0)
Elaborado por: Lorí Viali
x
ÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANO
Reta por (c, d) e paralela a u:
y
y = d + b/a (x – c)
Logo, v’ = ( 0, d – b/a . c)

Ora,
v'
área (u, v) = área (u, v’)
(mesma base e mesma altura)

v  (c, d)

u  (a , b )
x
0
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
ÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANO
que por sua vez é a área do
retângulo
cuja
base
y
é
definida pelo vetor u’ = (a,

v'
0) e a altura pelo vetor v’.
Portanto,
a
área

u  (a , b )
deste

u '  (a,0)
0
retângulo é:
| a | |d-b/a . c| = |a (d-b/a . c| = |ad - bc|
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
x
ISOMORFISMO entre R2 e o plano xy do R3
Área de (u, v)  uxv
i
j k
uxv  a b 0  (0, 0, ad - bc)
z
c d 0
Área de (u, v)  (0, 0, ad - bc)  ad - bc
0

v  (c, d,0)
y
xy
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
PRODUTO VETORIAL
APLICAÇÕES:
Vetor normal ao plano
Bases ortogonais
Determinação de campos vetoriais normais unitários
(cálculo de área de superfície)
Plano tangente
Geometria Diferencial
Física – Torque
Campo magnético - força eletromotriz (ortogonal)
Aceleração de Coriólis (embreagem hidráulica)
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
PRODUTO MISTO
APLICAÇÕES:
x1 y1 z1
u. (v x w)  x 2 y 2 z2
x3 y3 z3
1. Coplanaridade: (u, v, w) = 0
(a) LD
(b) Nulidade do determinante
(propriedade única)
2. Não coplanaridade: (u, v, w)  0
(a) LI
(b) volume: V = (u, v, w)
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
RETA
y
y  3 x
(1,4)
3
y  3  x
( x  1  y  3  1  4)  
x  1
0
1
x
x 1
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
y
RETA
3x  y  1
y
2x  y  4
(1, 2)
0
5x  5
(1, 2)
x
x
0
A figura interpreta geometricamente a transformação
do sistema 2x  y  4 no sistema 2x  y  4

 3x  y  1

5x  5
O ponto de interseção é mantido.
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
RETA
A reta e uma variável
(1) r : 2x  y  4
1 vetor  1 variável
y  4  2x
( x, 4 - 2x)  (0, 4)  (x, - 2x)  (0, 4)  x(1, - 2)
r : { (0, 4)  t(1, - 2); t  }
y
(0,4)
y  2x - 3
r :
z  - 3x  5
( x, 2x - 3, - 3x  5)  (0, - 3, 5)  x(1, 2, - 3)
1
2
r : { (0, - 3, 5)  t(1, 2, - 3); t  }
r
x
0
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
PLANO
O plano e duas variáveis
p : 2x  3y  z
-6 0
z  - 2x  3y  6
( x, y, - 2x  3y  6)  (0, 0, 6)  (x, 0, - 2x)  (0, y, 3y)
 (0, 0, 6)  x(1, 0, - 2)  y(0, 1, 3)
2 vetores  2 variáveis
v
A
u
Professor: Paulo Winterle
p : { A  hu  tv; h, t  }
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
Os planos p1 e p2 coincidem
2x – 3y  4z  5

4x – 6y  8z  10
p 1= p 2
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
Os planos p1 e p2 são paralelos
2x – 3y  4z  5

4x – 6y  8z  11
p1
p2
p1 p2
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
A interseção entre p1 e p2 é uma reta
p2
2x – 3y  z  4
r:
x  3y  2z  2
p1
1
2

y  x 
r:
3
3

z  x - 2
p1 p2 = r
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
Interseção de dois planos
x  y  2z - 11  0
r:
5x  y  z - 1  0
(1,0,6)
y  3x  3 ( p1)
r:
z  - 2x  4 ( p2)
4
(0,3,4)
3
2
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
Existem oito posições possíveis dos planos p1,
p2 e p3 , em relação uns aos outros.
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
1. Os três planos coincidem
x  2y  3z  5

2x  4y  6z  10
3x  6y  9z  15

p1= p 2 = p 3
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
2. Dois planos coincidem e são
paralelos ao terceiro
x  2y  3z  5

2x  4y  6z  10
3x  6y  9z  14

p3
p 1= p2
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
Provão 2001 - Questão 07
O número de soluções do sistema de
equações:
p 3 x  y  z  1

2x  2y  2z  2
5x  5y  5z  7

p2 1
(A) 0p 1=(B)
(C) 2
Professor: Paulo Winterle
-
é
(D) 3
FAMAT/PUCRS -
(E) Infinito
Elaborado por: Lorí Viali
3. Dois planos coincidem
e o terceiro os intersecta
segundo uma reta
p3
3x  2y - z  4

6x  4y - 2z  8
 x - y  2z  1

p1= p2
r: p1  p3
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
4. Os três planos são paralelos entre si
x - 2y  3 z  1

2x - 4y  6z  3
3x - 6 y  9z  5

p3
p2
p1
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
5. Dois planos p3 são paralelos e o terceiro os
intersecta
segundo retas paralelas
p2
x - 2y  3 z  4

2x - 4y  6z  5
3x  2 y - z  9

p1
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
6. Os três planos têm uma reta em
comum
p2
p3
p1
r = p1 p2 p3
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
x  2y - 3 z  4

2x  3y  4z  5
4x  7 y - 2z  13

Elaborado por: Lorí Viali
7. Os 3 planos se intersectam dois a dois
segundo três
retas paralelas
p2
x  2y - 3 z  4

2x  3y  4z  5
4x  7 y - 2z  12

p1
p3
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
Elaborado por: Lorí Viali
p3
p2
8. Os 3 planos têm
um ponto em
comum
P
r = p1 p2
s = p 1 p 3
p1
P (-3, 6, -2)
Professor: Paulo Winterle
-
FAMAT/PUCRS -
2x  y - 2 z  4

3x  2y - z  5
 x - y - 6z  3

Elaborado por: Lorí Viali