ACADEMIA ENEM 2015
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – TEMA: PRINCÍPIOS DE CONTAGEM
AUTOR: ALEXANDRE MOURA ROBERTO
01.
COMENTÁRIOS - EXERCÍCIOS DE SALA
(OPÇÃO C)
Verificando as possibilidades que satisfazem as condições, temos:
1–P
2 – GPP
3 – GPGPP
4 – GPGGP
5 – GPGPG
6 – GPGGG
7 – GGPPP
8 – GGGPP
9 – GGGPG
10 – GGGG
11 – GGPPG
12 – GGPGP
13 – GGPGG
Portanto há 13 possibilidades.
Obs: Uma outra solução possível para o problema seria a construção da árvore de possibilidades ( acesse a
vídeo aula pelo site http://www.fortaleza.ce.gov.br/academiaenem )
02.
(OPÇÃO C)
Cada código é formado por 4 algarismos. Temos 10 possibilidades para cada um deles. Então, o total de
4
códigos será igual a T = 10 . 10 . 10 . 10 = 10 .
03.
(OPÇÃO B)
Existem 6 escolhas para o dedo anelar e 5 para os outros dedos da mão. Em consequência, pelo Princípio
Multiplicativo, as unhas podem ser pintadas de 6 ⋅ 5 = 30 modos distintos.
04.
(OPÇÃO B)
Opções para pH = 3,2 : (vinagre, suco de laranja, maçã, maionese / molho de salada).
Opções para pH = 4,2 : (uva, tomate, chá preto).
O número de maneiras distintas que esse técnico tem para tentar identificar, de maneira correta, quais
foram os dois alimentos examinados é igual a 4 × 3 = 12.
05.
(OPÇÃO D)
Como os 5 amigos indicados na tirinha podem ocupar qualquer posição na gravura, basta efetuarmos uma
permutação entre os 5 personagens, isto é: P 5 = 5! = 120.
06.
(OPÇÃO A)
Para uma composição teríamos: 54 ⋅ 64 ⋅ 44 = (5 ⋅ 6 ⋅ 4)4 = 1204 modos de apresentá-la. Para cada um
destes modos, a posição das fotos na composição pode ser feita de 4 . 3 . 2 . 1 = 24 maneiras. Logo, pelo
4
princípio fundamental, temos: 24.120 composições distintas.
07.
(OPÇÃO D)
O número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir corresponde ao número de permutações
de 8 lâmpadas, sendo 3 vermelhas, 2 verdes, 1 amarela e 2 apagadas, ou seja: P83,2,2 = 1680
08.
(OPÇÃO E)
Para ir de A até R a formiguinha deve efetuar 3 movimentos para a direita e 1 para baixo (DDDB) em
4!
3
= 4 formas diferentes. Analogamente, para ir de R até B a formiguinha
qualquer ordem, isto é: P=
4
3!
deve efetuar 2 movimentos para a direita e 4 para baixo (DDBBBB) em qualquer ordem, isto é:
6!
= 15 formas diferentes. Portanto, para ir de A até B passando por R existem 4x15 = 60
2!.4!
formas diferentes.
(OPÇÃO B)
Como a visita deve ser feita sem levar em consideração a ordem, a questão se caracteriza como sendo de
combinação.
Como o casal pretende conhecer obrigatoriamente Fortaleza, então devemos selecionar mais 3 capitais
8!
=
= 56
dentre as 8 restantes, logo, C
8,3
3!.5!
(OPÇÃO A)
Temos 2 possibilidades para analisar:
I) Incluir Recife e Salvador: Neste caso, devemos selecionar 2 capitais dentre as 7 restantes
7!
C
=
= 21
7,2
2!.5!
II) Excluir Recife e Salvador: Neste caso, devemos selecionar 4 capitais dentre as 7 restantes
7!
=
= 35
C
7,4
4!.3!
Portanto, temos 21 + 35 =
56 possibilidades.
=
P62,4
09.
10.
COMENTÁRIOS - EXERCÍCIOS DE CASA
01.
(OPÇÃO D)
Para uma cidade ganhar 4 jogos alternados temos as seguintes possibilidades :
ABABABA ou BABABAB → 2 possibilidades
Para ganhar 2 jogos seguidos temos as seguintes possibilidades :
AA ou BB ou ABB ou BAA ou ABAA ou BABB ou ABABB ou BABAA ou ABABAA ou BABABB ou
ABABABB ou BABABAA → 12 possibilidades
Portanto 2 + 12 = 14 maneiras distintas
Obs: Uma outra solução possível para o problema seria a construção da árvore de possibilidades.
02.
(OPÇÃO C)
Como as equipes de plantão devem ser constituídas por 2 médicos de diferentes especialidades, temos 3
casos possíveis:
I)
1 traumatologista e 1 clínico geral: 6 x 8 = 48 possibilidades.
II) 1 traumatologista e 1 cardiologista: 6 x 5 = 30 possibilidades.
III) 1 clínico geral e 1 cardiologista: 8 x 5 = 40 possibilidades.
Portanto, temos um total de 48 + 30 + 40 = 118 possibilidades.
03.
(OPÇÃO A)
Pelas condições do problema, poderíamos começar a sequencia com qualquer um dos pares: AT, TA, CG
ou GC. Supondo que comecemos por AT, temos apenas 2 possibilidades para o segundo par, CG ou GC. A
partir daí, temos 2 possibilidades para cada um dos próximos pares.
2
9
11
Portanto: 4x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 2 x 2 = 2 .
04.
(OPÇÃO B)
Para sair de a e chegar em d, temos as seguintes possibilidades:
a→b→c→d = 4 x 3 x 2 = 24 rotas distintas
ou
a→b→d = 4 x 6 = 24 rotas distintas
ou
a→c→d = 5 x 2 = 10 rotas distintas
ou
a→d = 7 rotas distintas
Portanto 24 + 24 + 10 + 7 = 65 rotas distintas
05.
(OPÇÃO D)
Trocando a ordem dos quadros uma vez por dia podemos ter P5= 5!
= 120 paisagens, que resulta em
aproximadamente 4 meses.
06.
(OPÇÃO B)
Permutando os algarismos do número 12345 podemos formar P5= 5!
= 120 números. Colocando esses
números em ordem crescente, temos:
= 4!
= 24
 Números que começam pelo algarismo 1: 1________

P4
________
= 4!
= 24
 Números que começam pelo algarismo 2: 2 

P4

________
= 4!
= 24
Números que começam pelo algarismo 3: 3 
P4
a
a
Portanto, o número que ocupa a 72 posição é o 35421. Daí, o número 35412 ocupa a 71 posição.
07.
(OPÇÃO A)
Para ir da casa de Erick até a casa de Sara, uma pessoa deve efetuar 5 movimentos para a direita e 4 para
9!
5,4
= 126 caminhos diferentes.
cima ( DDDDDCCCC) em qualquer ordem, isto é: P=
9
5!4!
08.
(OPÇÃO D)
Para ir da casa de Erick até a casa de Beatriz, uma pessoa deve efetuar 3 movimentos para a direita e 1
4!
3
= 4 formas diferentes. Analogamente, para ir da
para cima ( DDDC) em qualquer ordem, isto é: P=
4
3!
casa de Beatriz até a casa de Sara, uma pessoa deve efetuar 2 movimento para a direita e 3 para cima (
5!
2,3
= 10 formas diferentes. Portanto, para ir da casa de Erick
DDCCC) em qualquer ordem, isto é: P=
5
2!3!
até a casa de Sara, passando primeiro na casa de Beatriz temos 4x10 = 40 formas diferentes.
09.
(OPÇÃO C)
5!
1.
C5,2
2.1.
= 20 possibilidades.
 =

2!3!
pão tamanho
2.

recheio
( observe que na escolha de dois recheios diferentes, a ordem não é importante, isto é: escolher queijo e
presunto e o mesmo que escolher presunto e queijo, portanto temos uma combinação )
10.
(OPÇÃO E)
13!
João , Maria, 
____,
____,
____
=
= 286 comissões

 3!10!
C13,3
( Observe que na formação de uma comissão, a ordem dos participantes não é levado em conta. Como
João e Maria devem compor a comissão, precisamos escolher , em qualquer ordem, mais 3 componentes
dentre os 13 restantes.)