Estatística II
Sociologia e Sociologia e Planeamento
ISCTE
SOCIOLOGIA E SOCIOLOGIA E PLANEAMENTO
Ano Lectivo 2003/2004 (2º Semestre)
ESTATÍSTICA II
(Textos de Apoio das Aulas)
Testes de Hipóteses
Carlos Lourenço, Dep.º Métodos Quantitativos
([email protected])
Carlos Lourenço
ISCTE, 2004
1
Estatística II
Sociologia e Sociologia e Planeamento
Testes de Hipóteses
1. INTRODUÇÃO
Um sociólogo planeia realizar um estudo empírico sobre percepção política em grupos de
alunos universitários. No final, através dos dados recolhidos na amostra, o sociólogo espera
confirmar a sua hipótese de estudo (para a população universitária portuguesa), a de que nas
faculdades de ciências sociais e humanas a proporção de indivíduos com uma propensão política
entendida como sendo tradicionalmente à esquerda é superior à proporção de indivíduos com
uma propensão política entendida como sendo tradicionalmente à direita ( p esq > p dir ). Nas
faculdades de ciências exactas, o sociólogo espera ver igualmente confirmada a sua hipótese,
mas agora no sentido oposto: a proporção de indivíduos com uma propensão política entendida
como sendo tradicionalmente à direita é superior à proporção de indivíduos com uma propensão
política entendida como sendo tradicionalmente à esquerda ( p esq < p dir ).
Como já sabemos nesta altura, se o sociólogo se limitar a construir intervalos de confiança para
estimar aquelas proporções, pode acontecer que os seus limites não permitam tirar nenhuma
conclusão no sentido desejado. Por exemplo, com base nos resultados amostrais, pode acontecer
(para um determinado nível de confiança) que o intervalo de confiança para a proporção de
indivíduos de esquerda nas faculdades de ciências sociais e humanas seja dado por ]0,488;0,514[ ,
e o sociólogo não pode afirmar (para o nível de confiança definido) que a verdadeira proporção de
indivíduos de esquerda na população universitária é superior aos de direita.
O que pode o sociólogo fazer? Se na amostra a proporção de indivíduos de esquerda é, por
exemplo, de 0,503, haverá alguma forma de o sociólogo poder testar se na população esta
proporção (para um determinado nível de significância) é, de facto, superior a 0,50?
Relembremos o ponto onde estamos…
Constituindo uma amostra tendo em conta os princípios da teoria da amostragem (representativa
e, se possível, aleatória), podemos inferir para a população as conclusões retiradas acerca da
amostra. Determinadas características da amostra – estatísticas – podem ser generalizáveis para
a população se cumprirem determinadas propriedades. A estas estatísticas chamamos
estimadores, os quais, associados a um determinado grau de confiança e com uma determinada
probabilidade de erro, e porque conhecemos as suas distribuições amostrais, vão servir para
estimar os valores dos verdadeiros e únicos parâmetros da população em estudo. O valor
assumido por um estimador numa amostra concreta designa-se por estimativa.1
Existem métodos de estimação pontual (por exemplo, o método dos mínimos quadrados e o
método da máxima verosimilhança) e o método de estimação de intervalos de confiança. No
último capítulo iniciámos a inferência estatística precisamente através da estimação de
intervalos de confiança para os parâmetros populacionais. Tal como vimos, na estimação por
intervalos, em vez de se indicar um valor concreto para um parâmetro, constrói-se um intervalo
de confiança onde se encontrará esse valor. Associada à estimação desse intervalo impomos um
determinado nível de confiança (ou grau de certeza) e um nível de significância (ou
probabilidade de erro).
Ora, o que neste capítulo vamos fazer é ligeirmente diferente da estimação. Em vez de
tentarmos estimar os valores dos parâmetros da população, iremos formular hipóteses sobre
esses parâmetros e testá-las. Os testes de hipóteses estatísticos permitem-nos assim rejeitar ou
não determinadas hipóteses sobre os parâmetros, hipóteses essas formuladas tendo em conta a
teoria – sociológica, biológica, física, económica, etc. – subjacente que estamos a estudar. Tal
como na estimação, a rejeição ou a não rejeição das hipóteses faz-se com base em estimativas
obtidas em amostras aleatórias e com uma determinada probabilidade de erro associada e fixada
a priori pelo analista.
1
Recorde-se que os estimadores são, portanto, variáveis aleatórias que produzem tantas estimativas quanto o número
de amostras realizáveis. É por esta razão que para efeitos de estimação necessitamos de conhecer as suas distribuições
amostrais.
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2. CONSTRUÇÃO DE UM ENSAIO DE HIPÓTESES
A construção de um ensaio de hipóteses segue habitualmente uma metodologia que pode ser
definida como se segue:
1. Formulação das hipóteses estatísticas
2. Escolha da estatística de teste (escolha do teste adequado)
3. Fixação do nível de significância
4. Determinação do valor crítico e das regiões de rejeição e de não rejeição
5. Tomada de decisão
Iremos percorrer estes passos e ilustrá-los com um exemplo decorrente dos resultados da
aplicação do inquérito que nos tem acompanhado.
2.1. Formulação das Hipóteses Estatísticas
O primeiro passo para a construção de um ensaio de hipóteses é a formulação das hipóteses.
Obviamente, por cada hipótese que queremos testar, existe uma hipótese alternativa.
Convencionou-se que a primeira hipótese é por definição a mais restritiva, isto é, corresponde à
hipótese que postula não haver efeitos significativos, não haver mudanças de opinião, de a
média da população ser igual a um determinado valor, etc., e que se assume ser verdadeira até
prova em contrário; a esta hipótese chamamos de hipótese nula: H 0 . A segunda hipótese
representa precisamente a situação alternativa à enunciada pela hipótese nula; a esta hipótese
chamamos de hipótese alternativa: H a .2
Note-se que, como parece ser óbvio, a formulação das hipóteses antecede a recolha dos dados
que serão analisados. Ou seja, para que não haja enviesamentos na recolha da amostra, as
hipóteses de estudo devem ser antecipada e claramente definidas.
Aplicação…
“Em certa aula de Estatística II, os alunos resolvem fazer previsões sobre a média das notas
dessa disciplina. Os alunos não estão propriamente de acordo, apesar de estarem todos
optimistas. Um grupo de alunos recorda a média obtida em Estatística I: 8,85 valores
Descriptive Statistics
Que nota obteve
em Estatística I?
Valid N (listwise)
N
Mean
114
8,85
114
e afirma (com muita convicção) que a média de Estatística II vai ser positiva e de 13 valores.”3
O grupo de alunos está a tentar “adivinhar” a média das notas a Estatística II, avançando com 13
valores como hipótese. De modo a testarmos se a média da população de alunos inscritos a
Estatística II é, de facto, igual a 13 valores, iremos usar os dados de que dispomos na amostra e
realizar um ensaio de hipóteses.4
2
É igualmente bastante comum escrever a hipótese alternativa como H 1 .
In Helena Carvalho (2004), Interpretação de Outputs do SPSS - Intervalo de Confiança para a Média
Populacional e Ensaio de Hipóteses para a Média Populacional, Textos de apoio das aulas, p.5.
4
Assumimos, para efeitos de exemplo, que esta hipótese foi formulada antes da recolha dos dados.
3
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As hipóteses nula e alternativa serão então as seguintes:
H 0 : µ = 13
H a : µ ≠ 13
A média da população é representada por µ , e se a informação contida na amostra através da
média amostral ( X ) não for significativamente diferente, então existe evidência para não
rejeitar a hipótese nula formulada. Se, pelo contrário, a informação contida na amostra através
da média amostral for significativamente diferente, então existe evidência para rejeitar a
hipótese nula. Vejamos qual a média (e o desvio-padrão) na amostra da nota esperada a
Estatística II:
Descriptive Statistics
N
Que nota espera vir a
ter em Estatística II?
Valid N (listwise)
Mean
152
11,69
Std. Deviation
2,232
152
Se o resultado do teste não permitir provar que µ = 13 , ou seja, H 0 é rejeitada, nesse caso a
verdadeira média das notas a Estatística II na população poderá ser 10, 12, 9, etc. (precisamente
a situação que é enunciada na hipótese alternativa, H a : µ ≠ 13 ), e a melhor estimativa possível
que podemos obter (com esta amostra) é de 11,69 valores, estimativa esta que, como iremos ver,
estará sujeita a um erro.
Note-se que a não rejeição da hipótese nula, não quer dizer que H 0 seja verdadeira. O que
podemos dizer é que, provavelmente, a hipótese nula de que a média da nota esperada a
Estatística II é de 13 valores, é verdadeira.
2.1.1. Teste bilateral e teste unilateral
O modo como escrevemos H a define se estamos na presença de um teste bilateral ou
unilateral. Por exemplo, num teste de hipóteses para µ como o que estamos a considerar:
- se as nossas hipóteses são H 0 : µ = 13 vs. H a : µ ≠ 13 , então estamos na presença de um teste
bilateral. Significa que se rejeitarmos H 0 podemos afirmar que a média da população não é
igual a 13, e que nesse caso µ pode ser maior ou menor que 13.
- se as nossas hipóteses fossem H 0 : µ = k vs. H a : µ > k ou H 0 : µ = k vs. H a : µ < k , então
estaríamos na presença de um teste unilateral, à direita e à esquerda, respectivamente.
Significaria que se rejeitássemos H 0 poderíamos afirmar que a média da população não era
igual a k, e que nesse caso teríamos apenas uma alternativa para µ (em que µ seria maior que k).
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2.2. Escolha da Estatística de Teste (escolha do teste adequado)
Depois de formuladas as hipóteses nula e alternativa e de sabermos se estamos na presença de
um teste bilateral ou unilateral, temos de definir um critério que nos auxilie na tomada de
decisão sobre rejeitar ou não rejeitar a hipótese nula. No fundo, o que queremos é dispor de um
critério que permita averiguar se os resultados da amostra ( X = 11,69 ) são verossímeis, isto é,
se podem ser inferidos para a população. Como sempre, esta verosimilhança é quantificada em
termos probabilísticos.
O critério de decisão será dado por uma estatística de teste. A estatística de teste não é mais
que uma fórmula que contém o estimador pontual do parâmetro populacional a testar, e que
seguirá uma determinada distribuição. Em seguida, apenas necessitamos de calcular o valor
desta estatística de teste com base nos dados amostrais e compará-lo com o seu valor tabelado.
Ora, as fórmulas que contêm os estimadores pontuais dos parâmetros – as estatísticas de teste –
são precisamente as expressões das suas próprias distribuições amostrais.
No nosso caso, como já sabemos, o estimador para a média populacional (o parâmetro sobre o
qual estamos a fazer inferência) é a estatística média amostral, a qual fornecerá a informação
para podermos executar o teste de hipóteses. A estatística de teste será então dada pela
expressão da distribuição da média amostral, assumindo que desconhecemos, para a população,
qual o verdadeiro valor do desvio-padrão da nota esperada a Estatística II:
X −µ 5
T=
.
s'
n
Sob H 0 (isto é, H 0 é verdadeira), esta estatística segue uma t de Student com n-1 graus de
liberdade: T ∩ t ( n −1) .
No entanto, por aplicação directa do Limite Central, dado que estamos a trabalhar com uma
grande amostra ( n = 152 ), a distribuição da média amostral segue uma normal-padrão (a t de
Student é aproximadamente igual à normal-padrão em grandes amostras). A estatística de teste
vem então :
X −µ 6
Z=
, a qual, sob H 0 , segue uma normal padrão: Z ∩ N (0;1) .
s'
n
Estamos agora em condições de calcular o valor da estatística de teste, Z, a partir dos dados
amostrais e se H 0 for verdadeira ( H 0 : µ = 13 ):
Z=
X − µ 11,69 − 13 − 1,31
=
=
= −7,218
s'
2,232
0,181
n
152
Dado que a estatística de teste, Z, (sob H 0 ) segue uma normal-padrão, a partir de que valor se
poderá assumir que a média da população é de 13 valores, sabendo que a média na amostra é de
11,69 valores?
5
O facto da distribuição seguir uma t de Student explica a designação largamente conhecida dos testes
para a média como os testes T (em inglês T test, a qual é usada pelo SPSS).
6
Note mais uma vez que as distribuições amostrais são, obviamente, e tal como o nome indica, funções
dos valores das amostras.
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2.3. Fixação do nível de significância, α
Tal como vimos no contexto da estimação de intervalos de confiança, o nível de significância
que desejamos associar à estimação corresponde à probabilidade de erro inerente à própria
estimação. Dado que estamos sempre a trabalhar com probabilidades e com dados amostrais,
existe sempre a probabilidade de errar na inferência estatística que estamos a efectuar, embora
controlemos este erro com a fixação de um valor muito baixo (habitualmente, 0,05). No
contexto dos testes de hipóteses continua a fazer sentido impor um nível de significância
associado a cada teste, isto é, fixar a probabilidade de erro que estamos dispostos a aceitar na
tomada de decisão sobre o teste.
2.3.1. Erros associados à decisão nos testes de hipóteses estatísticos: Erro Tipo I e Erro Tipo II
De onde vem então o erro na decisão relacionada com um teste de hipóteses? Pensemos num
julgamento de um réu que foi acusado. Até prova em contrário, o réu deve ser considerado
inocente, isto é, a hipótese nula é que ele é inocente (sendo a hipótese alternativa a de que o réu
é culpado). No final do julgamento, e após a apresentação das provas de acusação e de defesa, o
réu pode vir a ser julgado como inocente ou como culpado, e esta decisão pode ter sido correcta
ou incorrectamente tomada.
Vejamos: se o réu era de facto inocente, isto é, a hipótese nula era verdadeira, e ele foi julgado
como inocente, então não se rejeitou a hipótese nula e tomou-se a decisão correcta; se, pelo
contrário, o réu era de facto inocente (a hipótese nula era verdadeira), mas este foi julgado como
culpado, então rejeitou-se a hipótese nula e tomou-se a decisão errada. A este erro chamamos
um Erro Tipo I. Se o réu era de facto culpado, isto é, a hipótese nula era falsa, e ele foi julgado
como culpado, então rejeitou-se a hipótese nula e tomou-se a decisão correcta; se, pelo
contrário, o réu era de facto culpado (a hipótese nula era falsa), mas este foi julgado como
inocente, então não se rejeitou a hipótese nula e tomou-se a decisão errada. A este erro
chamamos um Erro Tipo II.
Realidade
Hipótese nula é verdadeira
(o réu é de facto inocente)
Decisão
baseada
nas
provas
Não rejeita a hipótese nula
(o réu é julgado como inocente)
Decisão correcta
Rejeita a hipótese nula
(o réu é julgado como culpado)
Erro Tipo I:
considerar culpado um réu
que é inocente
Hipótese nula é falsa
(o réu é de facto culpado)
Erro Tipo II:
considerar inocente um réu
que é culpado
Decisão correcta
No nosso caso, podemos cometer o erro de rejeitar a hipótese nula (média igual a 13 valores),
quando essa hipótese é verdadeira e portanto a média é, de facto, de 13 valores – Erro Tipo I.
Podemos também cometer o erro de não rejeitar a hipótese nula quando essa hipótese é falsa e
portanto a média não é de 13 valores – Erro Tipo II.
População
Decisão
baseada
na
amostra
H 0 é verdadeira
(a média na população é de 13 valores)
H 0 é falsa
(a média na população não é de 13 valores)
Não rejeita H 0
Decisão correcta
Erro Tipo II
Rejeita H 0
Erro Tipo I
Decisão correcta
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Então, resumidamente:
Erro Tipo I – rejeitar H 0 quando H 0 é verdadeira;
Erro Tipo II – não rejeitar H 0 quando H 0 é falsa.
Quais as probabilidades de cometer um e outro erros? A probabilidade de cometer o Erro Tipo I
é dada pelo nível de significância, α . Tal como nos intervalos de confiança o nível de
significância era a probabilidade de errar na estimação de um determinado intervalo, agora
persiste a mesma ideia. Considerando sempre a situação em que existe a presunção de verdade,
isto é, a hipótese nula é verdadeira, rejeitar essa verdade é cometer um erro com uma
determinada probabilidade. Normalmente, esta probabilidade de erro é fixada em 0,05.
Para o nosso caso vamos então fixar 0,05 como o nível de significância.
2.4. Determinação do Valor Crítico e das Regiões de Rejeição e de Não Rejeição
Calculada a estatística de teste e conhecendo a sua distribuição amostral, temos de definir o
valor crítico da distribuição da estatística de teste que associado a um determinado nível de
significância α nos permite rejeitar ou não H 0 .
No nosso caso, o valor crítico é o valor a partir do qual se poderá assumir (ou não) que a média
da população é de 13 valores, sabendo que a média na amostra é de 11,69 valores. Mas Como se
obtém o valor crítico?
Teste bilateral
O valor crítico do teste é dado pelo valor da distribuição da estatística de teste associado à
probabilidade 1 −
α
2
;
Teste unilateral
O valor crítico do teste é dado pelo valor da distribuição da estatística de teste associado à
probabilidade 1 − α .
Teste bilateral
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Teste unilateral à direita
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Teste unilateral à esquerda
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No nosso exemplo, para um nível de significância de 5%, o valor crítico do teste é dado pelo
valor da distribuição normal-padrão para uma probabilidade 1 − 0,05 2 = 1 − 0,025 = 0,975 , ou
seja, z 0,975 = 1,960 . E o nosso valor da estatística de teste Z = −7,218 , está situado numa região
de rejeição:
2.5. Tomada de Decisão
Dado que o valor da estatística de teste “caiu” na região de rejeição ( Z ≤ − z 0,975 ou
− 7,218 < −1,960 ), rejeitamos a hipótese nula ( H 0 : µ = 13 ). Ou seja, não existe evidência
estatística, através da amostra recolhida, para afirmar que a média da nota esperada a Estatística
II, na população, é de 13 valores. Ou, em termos formais:
Se Z ≤ −1,960 ou Z ≥ 1,960 , rejeitar H 0
Se − 1,960 < Z < 1,960 , não rejeitar H 0
2.6. A Probabilidade de Significância: o p-value
Qual o nível de significância que deve ser fixado num teste de hipóteses? 10%, 5%, 1%? Para
contornar este problema, o que podemos fazer é calcular qual o menor valor de α a partir do
qual rejeitamos H 0 . A este valor chamamos probabilidade de significância p ou, mais
frequentemente, p-value.
Quanto menor for a probabilidade de significância (o p-value), menor será o erro de Tipo I
(rejeitar H 0 quando H 0 é verdadeira) que estaremos a cometer quando rejeitamos H 0 .
Tipicamente, o que se faz é considerar que
Como alternativa para a tomada de decisão num teste de hipóteses, basta olharmos para o
p-value associado ao teste, e, uma vez que este valor corresponde ao menor valor a partir do
qual rejeitaríamos H 0 , compará-lo com o nível de significância definido.
Consideremos um nível de significância igual a 0,10 ( α = 0,10 ). Se o p-value for 0,07, então
significa que rejeitamos H 0 a partir de 0,07, ou seja, embora tenhamos admitido como 0,10 a
probabilidade de rejeitar H 0 quando H 0 é verdadeira – Erro Tipo I –, o que se verifica é que
rejeitamos logo H 0 a partir de uma probabilidade de erro admissível ainda mais baixa. Se o p-
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value for 0,00, então significa que rejeitamos H 0 mesmo que virtualmente não admitamos
qualquer probabilidade de erro (ou uma probabilidade muito residual), e, portanto, é óbvio que
aceitando uma probabilidade de erro de 0,10, também iremos rejeitar H 0 .
Muito simplesmente, a regra habitual para a decisão num teste de hipóteses usando o p-value, é
a seguinte:
p − value ≤ α
p − value > α
rejeitar H 0
não rejeitar H 0
A maioria dos softwares estatísticos, tal como o SPSS, calcula o p-value.
No nosso caso, e consultando a tabela da normal, mesmo com um α de 0,00001 o valor crítico
de teste que obteríamos seria 4,417 (ou, devido à simetria da distribuição normal, – 4,417),
ainda muito longe do valor da estatística de teste ( Z = −7,218 ), o que significa que mesmo
assim rejeitaríamos H 0 . Mesmo com uma probabilidade de erro, α , tão baixa estamos ainda
muito longe de podermos não rejeitar H 0 . O p-value deve então ser igual a 0,000:
One-Sample Test
Test Value = 13
Que nota espera vir a
ter em Estatística II?
t
-7,218
df
151
Sig. (2-tailed)
Mean
Difference
,000
-1,31
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
-1,66
-,95
No SPSS o p-value figura nos outputs como Sig. Neste caso, Sig. (2-tailed) significa que se trata
do p-value associado a um teste bilateral (2-tailed = 2 caudas).
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3. TESTES PARAMÉTRICOS
Todos os testes de hipóteses serão realizados para um nível de significância de 5% ( α = 0,05 ).
3.1. Testes Para a Média Populacional (com desvio-padrão populacional, σ , desconhecido)
Com base nos dados recolhidos para uma amostra, podemos testar se a respectiva média
populacional, µ , é significativamente diferente, maior ou menor que um determinado valor k .
A forma das hipóteses nula e alternativa e os respectivos critérios de decisão e regiões de
rejeição (consoante as estatísticas de teste) apresentam-se no quadro seguinte:
Hip. nula, H 0
H0 : µ = k
Hip. alternativa, H a
Ha :µ ≠ k
(teste bilateral)
Rejeitar H 0 se
Z ≤ −z
T ≤ −t
α
1−
α
2
1− ; ( n −1)
2
Ha : µ < k
(teste unilateral à
esquerda)
Ha : µ > k
(teste unilateral à
direita)
ou Z ≥ z
ou T ≥ t
Região de rejeição
1−
α
2
α
1− ; ( n −1)
2
Z ≤ − z1−α
T ≤ −t1−α ;( n −1)
Z ≥ z1−α
T ≥ t1−α ;( n −1)
No caso em que o desvio-padrão é desconhecido, os testes para a média vão depender da
dimensão da amostra (e da distribuição da variável na população).
3.1.1. Pequenas amostras, n ≤ 30 (e assumindo que a variável segue uma distribuição normal na população)
“Um grupo de alunos da turma SA1 manifesta uma enorme convicção em melhorar a nota
média na cadeira do 2º semestre. Defendem que a sua turma vai obter uma nota média de 12
valores. Não obstante, as opiniões dividem-se, pois há quem afirme mesmo que vai ser maior
que 12 valores.” 7
Formulação das hipóteses estatísticas
H 0 : µ = 12
H a : µ > 12
7
Vai usar-se o exemplo desenvolvido nos textos de apoio às aulas de Interpretação de Outputs do SPSS,
op. cit., pág. 9.
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Estamos então na presença de um teste unilateral à direita, e dispõe-se da seguinte informação:
Descriptive Statisticsa
Que nota espera vir a
ter em Estatística II?
Valid N (listwise)
N
Mean
25
12,24
Std. Deviation
2,350
25
a. Turma = SA1
Escolha da estatística de teste (escolha do teste adequado)
X −µ
T=
, a qual, sob H 0 segue uma t de Student com n-1 graus de liberdade: T ∩ t ( n −1) .
s'
n
Dado que desconhecemos o desvio-padrão populacional e estamos em pequenas amostras, não
podendo aplicar o TLC. E o cálculo da estatística de teste vem:
X − µ 12,24 − 12 0,24 0,24
t=
=
=
=
= 0,511 8
s'
2,350
2,350 0,47
5
n
25
Determinação do valor crítico e das regiões de rejeição e de não rejeição
O valor crítico do teste é dado pelo valor da distribuição t de Student para uma probabilidade
1 − α = 1 − 0,05 = 0,95 e com 24 graus de liberdade ( n − 1 = 25 − 1 = 24 ), ou seja,
t1−α ;( n −1) = t 0,95;( 24 ) = 1,711 . E a região de rejeição e a região de não rejeição de H 0 é dada por:
Tomada de decisão
Dado que o valor da estatística de teste “caiu” na região de não rejeição ( t < t1−α ;( n −1) Z ≥ z 0,95
ou 0,511 < 1,711 ), não rejeitamos a hipótese nula ( H 0 : µ = 12 ). Ou seja, existe evidência
estatística, através da amostra recolhida, para não rejeitar que a média da nota esperada a
Estatística II na turma SA1, na população, é de 12 valores.
8
Note mais uma vez que
s'
n
= 0,47 corresponde ao erro-padrão da média amostral (do inglês standard
error of mean, ou, abreviadamente, std. error mean).
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3.1.2. Grandes amostras, n > 30 (e qualquer que seja a distribuição da variável na população)
Vamos usar o mesmo exemplo da parte introdutória.
Formulação das hipóteses estatísticas
Os docentes de Estatística II estão interessados em saber se os alunos inscritos estão apenas
interessados em passar à cadeira, significando que estão a trabalhar apenas para o 10, ou se
existem indícios de uma maior motivação. Os docentes vão basear-se no inquérito feito a uma
amostra de alunos. As hipóteses nula e alternativa serão então as seguintes:
H 0 : µ = 10
H a : µ > 10
Estamos novamente na presença de um teste unilateral à direita, com a seguinte informação:
Descriptive Statistics
Que nota espera vir a
ter em Estatística II?
Valid N (listwise)
N
Mean
152
11,69
Std. Deviation
2,232
152
Escolha da estatística de teste (escolha do teste adequado)
X −µ
Z=
, a qual, sob H 0 , segue uma normal padrão: Z ∩ N (0;1) .
s'
n
E o cálculo da estatística de teste vem: Z =
X − µ 11,69 − 10 1,69
=
=
= 9,337 9
s'
2,232
0,181
n
152
Determinação do valor crítico e das regiões de rejeição e de não rejeição
O valor crítico do teste é dado pelo valor da normal-padrão para uma probabilidade 1 − α = 0,95 , ou
seja, z 0,95 = 1,645 . A região de rejeição e a região de não rejeição de H 0 é dada por:
Tomada de decisão
Dado que o valor da estatística de teste “caiu” na região de rejeição ( Z ≥ z 0,95 ou 9,337 ≥ 1,645 ),
rejeitamos a hipótese nula ( H 0 : µ = 10 ). Ou seja, não existe evidência estatística, através da
amostra recolhida, para afirmar que a média da nota esperada a Estatística II, na população, é de 10
valores. Assim sendo, podemos afirmar que a média é superior a 10 valores.
Note mais uma vez que s' n = 0,181 corresponde ao erro-padrão da média amostral (do inglês
standard error of mean, ou, abreviadamente, std. error mean).
9
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Sociologia e Sociologia e Planeamento
3.2. Teste Para a Diferença de 2 Médias Populacionais
(com grandes amostras e desvios-padrão populacionais, σ 1 e σ 2 , desconhecidos)
Neste ponto vale a pena relembrar os conceitos de amostras independentes e de amostras
emparelhadas.
Duas (ou mais) amostras dizem-se independentes se os indivíduos das várias amostras são
seleccionados de forma independente, ou seja, se estes não estão (propositadamente ou não)
relacionados entre si.
Duas (ou mais) amostras dizem-se emparelhadas se os indivíduos das várias amostras estão de
alguma forma relacionados entre si. Os exemplos mais comuns são as investigações com grupos
experimentais: comportamento dos doentes depressivos antes e depois de sujeitos ao tratamento
com um novo anti-depressivo; trajectórias de integração de reclusos, em que se constitui uma
amostra com reclusos toxicodependentes e uma amostra com reclusos que não consomem
drogas; avaliação de agregados familiares em momentos temporais distintos; etc.
3.2.1. Amostras independentes
Com base em dados amostrais, podemos testar se as médias entre duas populações, µ1 e µ 2 ,
são significativamente diferentes, ou se uma delas é maior ou menor que a outra. A forma das
hipóteses nula e alternativa apresenta-se no quadro seguinte:
Hip. nula, H 0
Hip. alternativa, H a
Rejeitar H 0 se
Z ≤ −z
H a : µ1 ≠ µ 2 ou
H a : µ1 − µ 2 ≠ 0
1−
α
ou Z ≥ z
2
Região de rejeição
1−
α
2
(teste bilateral)
H 0 : µ1 = µ 2 ou
H 0 : µ1 − µ 2 = 0
H a : µ1 < µ 2 ou
H a : µ1 − µ 2 < 0
Z ≤ − z1−α
(teste unilateral à
esquerda)
H a : µ1 > µ 2 ou
H a : µ1 − µ 2 > 0
Z ≥ z1−α
(teste unilateral à direita)
Para fazer a exposição deste teste, vai utilizar-se o mesmo exemplo usado para os intervalos de
confiança apresentado anteriormente.
Carlos Lourenço
ISCTE, 2004
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Estatística II
Sociologia e Sociologia e Planeamento
“Será que os alunos que frequentam as aulas da noite são, de facto, mais velhos que os alunos
que frequentam as aulas durante o dia? Ou seja, será que a diferença entre a média de idades dos
alunos “da noite” e a média de idades dos alunos “do dia” é positiva (significando, portanto, que
a média dos alunos “da noite” é superior à média de idades dos alunos “do dia”). Na sequência
do que é apresentado no exemplo consideram-se os alunos “da noite” como a população 1 e os
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alunos do dia como a população 2.”
Formulação das hipóteses estatísticas
H 0 : µ1 − µ 2 = 0
H a : µ1 − µ 2 > 0 (teste unilateral à direita)
Temos a seguinte informação:
Report
Idade
Horário (Diurno/Nocturno)
Diurno
Nocturno
Total
Mean
20,50
29,50
24,12
N
98
66
164
Std. Deviation
3,077
9,481
7,815
Escolha da estatística de teste (escolha do teste adequado)
( X − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) 11
Z= 1
s1'2 s 2'2
+
n1 n 2
A qual, sob H 0 , segue uma normal padrão, Z ∩ N (0,1) .
E o cálculo da estatística de teste vem:
Z=
( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 )
s1'2
n1
+
s 2'2
n2
=
(29,50 − 20,50) − 0
2
9,481
3,077
+
66
98
2
=
9
1,459
=
9
= 7,45 12
1,208
10
In Carlos Lourenço, (2004), Intervalo de Confiança Para a Diferença de Duas Médias Populacionais,
(em grandes amostras e com variâncias desconhecidas), Textos de apoio das aulas, pág.2.
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A aplicação deste teste tem dois pressupostos: (1) a variável em estudo tem distribuição normal nas
duas populações e (2) existe homogeneidade (ou homocedasticidade) das variâncias, isto é, a variância é
igual nas duas populações. Para verificar o primeiro pressuposto é normalmente usado o teste K-S
(Kolmogorov-Smirnov) com a correcção de Lilliefors, o qual é dispensável no caso de estarmos na
presença de grandes amostras e podermos aplicar o Teorema do Limite Central para aproximar as
distribuições à normal. Para a verificação do segundo pressuposto é habitualmente usado o teste de
Levene, o qual é considerado um dos mais potentes para o efeito.
O teste de Levene é apresentado em detalhe no ANEXO do presente texto de apoio.
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Note mais uma vez que
s1'2 s 2'2
+
= 1,208 corresponde ao erro-padrão da diferença entre as médias
n1 n 2
amostrais (do inglês standard error of mean difference, ou, abreviadamente, std. error difference).
Carlos Lourenço
ISCTE, 2004
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Estatística II
Sociologia e Sociologia e Planeamento
Determinação do valor crítico e das regiões de rejeição e de não rejeição
O valor crítico do teste é dado pelo valor da distribuição normal-padrão para uma probabilidade
1 − α = 1 − 0,05 = 0,95 , ou seja, z 0,95 = 1,645 .
Tomada de decisão
Dado que o valor da estatística de teste “caiu” na região de rejeição ( Z ≥ z 0,95 ou 7,45 ≥ 1,645 ),
rejeitamos a hipótese H 0 : µ1 − µ 2 = 0 , isto é, rejeitamos a igualdade das médias populacionais.
Ou seja, as médias de idades entre os dois turnos são significativamente diferentes.
Carlos Lourenço
ISCTE, 2004
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