GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Perpendicularidade entre Rectas e Planos
© antónio de campos, 2009
Perpendicularidade de Recta com Plano
Uma recta é perpendicular a um plano, se é perpendicular a duas rectas
concorrentes desse plano.
A recta c é
perpendicular às
rectas a e b, que são
concorrentes no
ponto C da face
[CDEH].
Recta Perpendicular a um Plano - Geral
Pretendem-se as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano α e
passando pelo ponto P.
fα
p2
P2
x
hα
P1
p1
Os traços do
plano α (fα e hα)
são duas rectas
concorrentes
desse plano. Se a
recta p é
perpendicular a fα
e hα, é portanto
perpendicular ao
plano α.
Recta Perpendicular a um Plano de Topo
Pretendem-se as projecções de uma recta, perpendicular ao plano de topo
θ e passando pelo ponto P.
f2
fθ
P2
x
P1
hθ
f1
Uma recta frontal
f permite obter a
perpendicularidade
ao plano θ.
Recta Perpendicular a um Plano Vertical
Pretendem-se as projecções de uma recta perpendicular ao plano vertical
δ e passando pelo ponto P.
fδ
P2
h2
x
P1
h1
hδ
Uma recta
horizontal h
permite obter a
perpendicularidade
ao plano δ.
Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com 1 cm de abcissa e
fazem com o eixo x, ângulos de 30º (a.d.) e 60 (a.e.), respectivamente o traço
frontal e o traço horizontal. Desenha as projecções de uma recta p, perpendicular
ao plano α e passando pelo ponto M (-1; 4; 4).
y≡ z
fα
p2
M2
x
p1
M1
hα
Um plano vertical δ faz um diedro de 40º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção.
Determina as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano. De que recta se
trata?
fδ
p2
x
hδ
p1
Uma recta
horizontal p
permite obter a
perpendicularidade
ao plano δ.
Recta Perpendicular a um Plano de Rampa
Pretendem-se as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano de
rampa ρ e passando pelo ponto A.
p1 ≡ p2 ≡ hπ ≡ fπ ≡ p’1 ≡ p’2 ≡ e2 ≡ fπr
p’r
fρ
B2
pr
Ar
A2
Br
F2 ≡ F r
H2 ≡ F1 ≡ (e1)
Hr
x ≡ hπr
hρ
H1
A1
B1
Uma recta de perfil p
permite obter a
perpendicularidade ao
plano ρ.
Depois para definir a
recta, é necessário
obter outro ponto da
recta para além do
ponto A.
Para poder obter o
outro ponto, recorrese a uma outra recta
de perfil p’, contida
num plano ρ; e do
plano π, que contém a
recta p; pelo processo
de rebatimento.
É dado um plano de rampa ρ com 4 cm de afastamento e 3 cm de cota. Desenha as
projecções de uma recta p, perpendicular ao plano ρ e passando pelo ponto R (3; 4).
p1 ≡ p2 ≡ hπ ≡ fπ ≡ p’1 ≡ p’2 ≡ e2 ≡ fπr
pr
p’r
fρ
S2
F2 ≡ F r
H2 ≡ F1 ≡ (e1)
x ≡ hπr
hρ
Rr
R2
Sr
R1
S1
H1
Hr
Uma recta de perfil p
permite obter a
perpendicularidade ao
plano ρ.
Depois para definir a
recta, é necessário
obter outro ponto da
recta para além do
ponto R.
Para poder obter o
outro ponto, recorrese a uma outra recta
de perfil p’, contida
num plano ρ; e do
plano π, que contém a
recta p; pelo processo
de rebatimento.
Plano Perpendicular a uma Recta - Geral
Pretendem-se as projecções de um plano α, perpendicular ao uma recta r e
passando pelo ponto P.
fα
r2
h2
P2
F2
F1
x
P1
r1
h1
hα
Uma recta
perpendicular a
um plano é a
todas as rectas
do plano, incluindo
uma recta
horizontal.
Uma recta
horizontal
passando pelo
ponto P vai
auxiliar na
obtenção dos
traços do plano α.
Uma recta r é definida pelos pontos M (1; 3; 4) e N (-2; 1; 2). Determina os traços
de um plano θ perpendicular à recta r e passando pelo ponto P (1; 2; 3).
y≡ z
r2
fα
M2
h2
F2
P2
N2
x
F1
N1
P1
M1
h1
r1
hα
Uma recta
perpendicular a um
plano é a todas as
rectas do plano,
incluindo uma recta
horizontal.
Uma recta horizontal
passando pelo ponto
P vai auxiliar na
obtenção dos traços
do plano θ.