UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
IURI BARCELOS CARNEIRO MONTENEGRO DA ROCHA
ANÁLISE E OTIMIZAÇÃO DE TUBOS COMPÓSITOS LAMINADOS
FORTALEZA
2010
ii
IURI BARCELOS CARNEIRO MONTENEGRO DA ROCHA
ANÁLISE E OTIMIZAÇÃO DE TUBOS COMPÓSITOS LAMINADOS
Monografia submetida à Coordenação do
Curso de Engenharia Civil da Universidade
Federal do Ceará, como requisito parcial para a
obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Orientador: Prof. D. Sc. Evandro Parente
Junior
FORTALEZA
2010
iii
R573a
Rocha, Iuri Barcelos Carneiro Montenegro da
Análise e otimização de tubos compósitos laminados / Iuri Barcelos
Carneiro Montenegro da Rocha. – Fortaleza, 2010.
71 f. il.; color. enc.
Orientador: Prof. Dr. Evandro Parente Junior
Monografia (graduação) - Universidade Federal do Ceará, Centro de
Tecnologia. Depto. de Engenharia de Engenharia Estrutural e Construção
Civil, Fortaleza, 2010.
1. Tubos 2. Resinas compostas 3. Método dos elementos finitos
I. Parente Junior, Evandro (orient.) II. Universidade Federal do Ceará –
Graduação em Engenharia Civil. III.Título
CDD 620
iv
IURI BARCELOS CARNEIRO MONTENEGRO DA ROCHA
ANÁLISE E OTIMIZAÇÃO DE TUBOS COMPÓSITOS LAMINADOS
Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal
do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Aprovada em 03/12/10
v
Aos meus pais,
Paulo Montenegro e Maria das Graças Barcelos
Obrigado por todo o amor e também pela paciência.
vi
AGRADECIMENTOS
A meus pais, Paulo Augusto Montenegro da Rocha e Maria das Graças Barcelos
Carneiro, pelo amor, dedicação, estímulo e apoio nessa longa caminhada.
À minha tia Áurea Izabel da Silva, por ter sido tão importante quanto meus pais
em todas as etapas da minha formação.
Ao meu orientador, Evandro Parente Junior, por ser não apenas um modelo de
professor, mas também um modelo de dedicação, esforço e honestidade. Obrigado por ter
ajudado a formar o que eu vim a ser hoje.
À minha namorada, Rebeca Nolêto Antunes, por todos os momentos de felicidade
ao longo desses anos e por me apoiar em momentos difíceis.
Ao meu tio Eugênio Montenegro, exemplo de engenheiro civil e de ser humano,
no qual procuro me espelhar a cada dia.
Ao meu primo André Rocha Studart que, apesar de ter convivido comigo por
apenas alguns dias, é uma das pessoas mais especiais que já conheci e um exemplo de sucesso
acadêmico no qual me inspiro.
Ao meu grande amigo Rafael Fernandes, pelos momentos de descontração e por
me ajudar no desenvolvimento do trabalho.
Por fim, aos meus amigos, à minha irmã Katiucha Barcelos e à toda a minha
família, pela boa convivência que me impulsiona a cada dia na busca de meus ideais.
vii
RESUMO
Materiais compósitos, uniões de dois ou mais materiais com o objetivo de obter um material
cujas propriedades mecânicas são superiores às de suas partes componentes, são crescente
foco de estudo científico. Com a busca de estruturas mais leves e resistentes para atividades
industriais como a exploração de petróleo e a aeronáutica, materiais compósitos têm elevada
aplicabilidade. Porém, estes materiais apresentam comportamento mecânico complexo e,
portanto, de difícil análise. No caso de compósitos laminados, a manipulação das variáveis de
projeto permite adaptar a estrutura ao estado de cargas a ser suportado. Na análise de tais
tubos, ferramentas numéricas, como o Método dos Elementos Finitos, são utilizadas. No que
diz respeito à etapa de projeto, devido ao elevado número de variáveis, métodos de tentativa e
erro são árduos e dispendiosos. Assim, o uso de métodos computacionais de otimização,
como os de programação não-linear, vem se popularizando. Tais métodos são capazes de
fornecer informações sobre número e ângulo de enrolamento das lâminas de um tubo,
procurando um equilíbrio entre segurança e economia. Esta monografia apresenta
formulações de dois elementos finitos para análise de tais tubos, considerando seu material
ortotrópico e fazendo considerações de axissimetria e Estado Plano Generalizado de
Deformações. A implementação de uma das formulações em um programa de elementos
finitos de código-aberto é descrita em detalhes. A formulação do problema de otimização de
tubos laminados é descrita e sua solução é obtida por algoritmos de programação não-linear.
Exemplos numéricos tanto de análise quanto de otimização são apresentados e discutidos.
Palavras-chave: Materiais Compósitos, Tubos, Otimização, Elementos Finitos.
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Classificação de materiais compósitos (BELO, 2006). .......................................... 7
Figura 2.2 – Esquema geral de laminação (REDDY, 1996). ..................................................... 7
Figura 2.3 – Coordenadas locais e globais em um laminado. .................................................... 9
Figura 2.4 – Parâmetros de resistência bidimensionais. ........................................................... 14
Figura 3.1 – Malha de elementos finitos axissimétricos bidimensionais. ................................ 19
Figura 3.2 – Sequência de obtenção de tensões e deformações. .............................................. 22
Figura 3.3 – Definição da orientação das lâminas. ................................................................... 24
Figura 3.4 – Definição da classe ElcSec. .................................................................................. 24
Figura 3.5 – Elemento unidimensional com interpolação quadrática. ..................................... 27
Figura 3.6 – Resultados do modelo cross-ply. ......................................................................... 32
Figura 3.7 – Resultados do modelo angle-ply. ......................................................................... 34
Figura 4.1 – Processo convencional de projeto. ....................................................................... 41
Figura 4.2 – Processo otimizado de projeto. ............................................................................ 42
Figura 4.3 – Regiões viáveis e inviáveis. ................................................................................. 44
Figura 4.4 – Esquema de laminação simétrico. ........................................................................ 51
Figura 4.5 – Evolução do processo de otimização (pint = 20 MPa, pext = 20 MPa). ................. 57
Figura 4.6 – Evolução do processo de otimização (pext = 5 MPa, N = 30MN). ....................... 57
Figura 4.7 – Evolução do processo de otimização (pext = 5 MPa, T = 9MN). ......................... 58
ix
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 - Cossenos diretores. ............................................................................................... 10
Tabela 3.1 - Propriedades mecânicas do aço. ........................................................................... 31
Tabela 3.2 - Propriedades mecânicas do Carbono-Epoxi (REDDY, 1996). ............................ 31
Tabela 3.3 - Propriedades mecânicas do Grafite-Epoxi T300. ................................................. 31
Tabela 3.4 - Esquema de Laminação do modelo cross-ply. ..................................................... 31
Tabela 3.5 - Tensões no sistema global no modelo cross-ply. ................................................. 32
Tabela 3.6 - Esquema de Laminação do modelo angle-ply. ..................................................... 33
Tabela 3.7 - Tensões no sistema global no modelo angle-ply. ................................................. 33
Tabela 3.8 - Cenários de carga no modelo de riser. ................................................................. 35
Tabela 3.9 - Esquema de laminação do modelo de riser. ......................................................... 35
Tabela 3.10 - Tensões máximas no sistema local no modelo de riser (MPa). ......................... 36
Tabela 3.11 - Tensões máximas no sistema global no modelo de riser (MPa). ....................... 36
Tabela 3.12 - Resultados da laminação [55/-55/55/-55] de Xia et al. (2001)........................... 36
Tabela 3.13 - Resultados da laminação [55/-55/30/-30] de Xia et al. (2001)........................... 37
Tabela 3.14 - Resultados da laminação [55/-30/30/-55] de Xia et al (2001)............................ 37
Tabela 3.15 - Resultados da laminação [55/-55/-55/55/Liner] (105 kPa). ................................ 38
Tabela 3.16 - Resultados da laminação [90/0/0/90] (105 kPa). ................................................ 38
Tabela 3.17 - Resultados da laminação [45/-45/-45/45] (105 kPa)........................................... 38
Tabela 4.1 - Alguns algoritmos de otimização. ........................................................................ 46
Tabela 4.2 - Parâmetros de resistência tridimensionais do Grafite-Epoxi T300 (GPa). .......... 53
Tabela 4.3 - Resultados para casos de carga isolados. ............................................................. 54
Tabela 4.4 - Caso A: pext = 5 MPa; Caso B: Força axial variável. ........................................... 54
Tabela 4.5 - Caso A: pext = 5 MPa; Caso B: Pressão interna variável. ..................................... 55
Tabela 4.6 - Caso A: pext = 5 MPa; Caso B: Momento torsor variável. ................................... 55
Tabela 4.7 - Caso A: pint = 20 MPa; Caso B: Pressão externa variável.................................... 56
x
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1
1.1
Objetivos..................................................................................................................... 3
1.2
Metodologia ................................................................................................................ 4
1.3
Estrutura da monografia ............................................................................................. 4
2 MATERIAIS COMPÓSITOS ............................................................................................ 6
2.1
Definição e Classificação ........................................................................................... 6
2.2
Modelo Mecânico ....................................................................................................... 8
2.3
Critérios de Falha ..................................................................................................... 12
2.3.1
Critério da Máxima Tensão .............................................................................. 13
2.3.2
Critério da Máxima Deformação ...................................................................... 15
2.3.3
Critério de Tsai-Wu .......................................................................................... 16
3 ANÁLISE ESTRUTURAL DE TUBOS LAMINADOS ................................................. 18
3.1
Método dos Elementos Finitos ................................................................................. 18
3.2
Elemento Bidimensional .......................................................................................... 19
3.3
Elemento Bidimensional - Implementação Computacional ..................................... 22
3.4
Elemento Unidimensional ........................................................................................ 25
3.5
Elemento Unidimensional - Implementação Computacional ................................... 29
3.6
Exemplos Numéricos................................................................................................ 30
3.6.1
Modelo cross-ply .............................................................................................. 31
3.6.2
Modelo angle-ply.............................................................................................. 33
3.6.3
Modelo de riser compósito ............................................................................... 35
3.6.4
Modelos de Xia et al. (2001) ............................................................................ 36
3.6.5
Comparação com a Teoria Clássica da Laminação (TCL) ............................... 37
4 OTIMIZAÇÃO DE TUBOS LAMINADOS ................................................................... 40
4.1
Conceitos de Otimização .......................................................................................... 40
4.1.1
Variáveis de Projeto.......................................................................................... 42
4.1.2
Função Objetivo ............................................................................................... 43
4.1.3
Restrições ......................................................................................................... 43
4.1.4
Classificação de Problemas de Otimização ...................................................... 45
4.2
Condições de Otimalidade ........................................................................................ 46
4.2.1
Vetor Gradiente e Matriz Hessiana .................................................................. 46
4.2.2
Mínimos Locais e Globais ................................................................................ 47
4.2.3
Mínimos Locais - Condições Necessárias ........................................................ 47
4.2.4
Mínimos Locais - Condições Suficientes ......................................................... 48
4.3
Programação Não-Linear .......................................................................................... 49
4.4
Formulação do Problema de Tubos Compósitos ...................................................... 50
4.5
Exemplos .................................................................................................................. 53
5 CONCLUSÕES ................................................................................................................ 59
5.1
Sugestões para futuros trabalhos .............................................................................. 60
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 61
1
1
INTRODUÇÃO
O uso de materiais compósitos reforçados por fibras está cada vez mais difundido
nos diversos ramos da Engenharia. Estes materiais apresentam como principais vantagens as
elevadas resistência e rigidez específicas, o que permite a fabricação de componentes
estruturais de alta resistência e baixo peso. Estes materiais também apresentam alta resistência
à fadiga, bom isolamento térmico e elevado amortecimento estrutural.
Os compósitos laminados são formados pela superposição de várias lâminas, onde
cada lâmina é formada por um conjunto de fibras unidirecionais ou multidirecionais
embebidas em uma matriz polimérica (JONES, 1999). Neste trabalho, serão consideradas
apenas lâminas com fibras unidirecionais.
Uma das aplicações de compósitos laminados, e o foco deste trabalho, são tubos
laminados. Estes tubos são utilizados na indústria química e petroquímica, tendo crescido nos
últimos anos o interesse na indústria do petróleo. Sabe-se que, com o esgotamento das
reservas de petróleo e gás superficiais, juntamente com o aumento da demanda mundial por
combustíveis, houve um aumento da busca por novas reservas, cada vez mais profundas e de
maior dificuldade de exploração.
Neste contexto, tubos compósitos, devido a sua adaptabilidade e altas relações
resistência/peso e rigidez/peso, tem sido alvo de extensas pesquisas com o objetivo de
desenvolver novos projetos de risers de perfuração e de produção, isto é, tubos utilizados
tanto para a perfuração de poços quanto para o transporte de fluidos em exploração marítimas
(offshore). Estudos comparativos entre tubos de extração (risers) de aço e de compósito são
mostradas em Beyle et al. (1997). Além disso, as formulações descritas também podem ser
utilizadas no projeto de vasos de pressão para transporte e armazenamento de fluidos.
Dadas as várias possibilidades de arranjo de lâminas, tanto na sua sequência,
como na espessura e orientação das fibras em cada camada, é possível projetar estruturas
específicas para as ações externas (pressão, força axial e momento torsor) atuantes
(AZARAFZA et al., 1996). Tais projetos favorecem a economia de material e diminuição no
peso da estrutura. Porém, como vários parâmetros estão envolvidos no projeto, encontrar a
configuração ideal através do método da tentativa e erro é uma tarefa árdua. Neste caso, a
utilização de técnicas de otimização é a alternativa mais adequada (VANDERPLAATS,
2001).
2
Na análise de tubos laminados, geralmente se explora a simetria do problema. Em
modelos
tridimensionais,
geralmente
apenas
um
oitavo
do
tubo
é
modelado
(SUNDARAMAN et al., 2007). Por outro lado, se o carregamento externo e as características
mecânicas são simétricas em relação ao eixo do tubo, a representação do problema em
coordenadas cilíndricas permite reduzir o problema para duas dimensões. Utilizam-se,
portanto, modelos axissimétricos, nos quais apenas a parede do tubo é modelada.
Além disso, se o tubo for infinitamente longo e submetido apenas a cargas
constantes ao longo do seu comprimento, então as deformações serão também constantes,
caracterizando um Estado Plano Generalizado de Deformações (EPGD). Neste caso, um
modelo unidimensional pode ser utilizado. Soluções aproximadas ainda mais simplificadas
podem ser obtidas para tubos de parede fina utilizando a Teoria Clássica de Laminação
(TCL), como mostrado em Silva et al. (2009) e Teófilo (2010). Porém, as soluções
apresentadas no presente trabalho permitem a consideração também de tubos de parede
espessa.
Sherrer (1967) desenvolveu uma solução analítica para tal problema, levando em
consideração as deformações constantes advindas da consideração de um EPGD.
Posteriormente, tal solução foi computacionalmente implementada por Herakovich (1998),
permitindo a modelagem de tubos com número qualquer de camadas sujeitos à pressão
interna, externa, força axial a momento torsor. Além disso, Kress (1993) utilizou termos da
solução analítica como funções de forma em uma solução pelo Método dos Elementos
Finitos (MEF) computacionalmente eficiente. Soluções por Elementos Finitos utilizando
funções de forma convencionais são bastante difundidas, como pode ser visto em McVee
(2003), Guimarães (2006), Onder et al. (2009), entre outros.
O presente trabalho apresenta duas formulações de elementos finitos
axissimétricos para análise de tubos compósitos sujeitos a pressões interna e externa, força
axial e momento torsor. Inicialmente, uma formulação bidimensional mais geral é
apresentada, com elementos de 3 graus de liberdade por nó. Posteriormente, com a imposição
de um EPGD, simplificações adicionais são feitas, resultando numa formulação
unidimensional com 1 grau de liberdade por nó e 2 graus de liberdade globais. Tal formulação
é então utilizada para resolver o problema de otimização de tubos laminados.
Na formulação do problema de otimização, é necessário escolher as variáveis de
projeto, afunção objetivo e as restrições a serem consideradas. As variáveis de projeto, no
3
caso do problema de tubos compósitos, são as espessuras e orientações das lâminas de cada
camada. Tais variáveis podem ser consideradas contínuas (PARK et al., 2001) ou discretas
(TOPAL, 2009). Em uma etapa inicial de projeto, é recomendado utilizar variáveis contínuas,
evitando introduzir novas restrições ao problema (ARORA, 2004). Como função objetivo,
geralmente o peso total da estrutura é considerado.
Como restrições, além de limites superiores e inferiores para todas as variáveis de
projeto, são consideradas também restrições de resistência, através de um Fator de Segurança,
e de estabilidade, através do cálculo da Pressão de Colapso do tubo. Para a avaliação do Fator
de Segurança, critérios de falha aplicáveis a materiais compósitos são utilizados, através da
obtenção de tensões e deformações em cada lâmina, provenientes da análise estrutural. Já para
avaliar a estabilidade de tubos sujeitos a pressão externa, coeficientes provenientes da análise
pela Teoria Clássica de Laminação (REDDY, 1996) são utilizados para o cálculo da pressão
de colapso.
Exemplos numéricos tanto dos elementos finitos implementados quanto da
formulação de otimização, são apresentados. Nos exemplos envolvendo os modelos de
análise, são comparados resultados obtidos pelos elementos implementados com soluções
analíticas e com o programa comercial de elementos finitos ABAQUS. São também
modelados tubos com camadas de aço (liner) e com laminações cross-ply e angle-ply.
Já nos exemplos de otimização, são tratados inicialmente casos isolados de carga
e, posteriormente, casos com múltiplos casos de carga. Em cada exemplo, o comportamento
das variáveis de projeto, assim como das restrições e da função objetivo, são observados à
medida que os valores de carga variam. Por fim, gráficos mostrando o progresso do processo
de otimização são apresentados, mostrando a variação da função objetivo e da violação de
restrições com o número de passos.
1.1
Objetivos
O objetivo geral do presente trabalho é formular elementos finitos para análise de
tubos laminados e, posteriormente, utilizá-los na otimização de tubos laminados. Como esse
processo envolve várias etapas, objetivos específicos foram traçados:
1. Formular e implementar um elemento finito axissimétrico com 3 graus de liberdade por nó
e material ortotrópico pelo Método dos Elementos Finitos;
4
2. A partir de simplificações adicionais, formular e implementar um elemento
unidimensional com 1 grau de liberdade radial por nó e 2 graus de liberdade globais;
3. Verificar a formulação e implementação destes elementos através da comparação com
resultados obtidos pelo MEF com soluções analíticas e outros tipos de elemento;
4. Apresentar uma formulação para o projeto ótimo de tubos laminados considerando
múltiplos casos de carga.
5. Determinar, no problema de otimização, as variáveis de projeto, função objetivo e
restrições;
1.2
Metodologia
Como o presente trabalho se propõe a desenvolver formulações de elementos
finitos, a maioria das rotinas e métodos foram implementadas computacionalmente. A
implementação do elemento bidimensional foi realizada no programa de elementos finitos
acadêmico de código-aberto FEMOOP (MARTHA & PARENTE, 2002). Para o elemento
unidimensional, as implementações foram realizadas no programa MATLAB.
De modo a verificar os elementos implementados, vários exemplos numéricos
serão desenvolvidos e seus resultados serão comparados com o programa de elementos finitos
ABAQUS e com uma solução analítica implementada por Herakovich (1998).
Por fim, para resolver o problema de otimização, um algoritmo de programação
matemática será utilizado através do programa MATLAB e com o auxílio de rotinas
computacionais implementadas e descritas por Silva et al. (2009).
1.3
Estrutura da monografia
A presente monografia é dividida em 6 capítulos. No capítulo 1 são apresentadas
as motivações para o trabalho e suas idéias principais. Trabalhos relevantes sobre análise e
otimização de compósitos laminados são citados. Além disso, apresentam-se também os
objetivos do trabalho e sua estrutura.
No capítulo 2, os conceitos principais sobre materiais compósitos são
apresentados. O modelo mecânico utilizado para tais materiais é também apresentado, além
de alguns dos critérios de falha disponíveis para uso.
5
No capítulo 3, uma breve revisão sobre o Método dos Elementos Finitos é
apresentada e os elementos axissimétricos bidimensional e unidimensional são formulados.
Por fim, exemplos numéricos são apresentados.
No capítulo 4, uma breve revisão sobre otimização de sistemas é realizada, com a
definição dos principais conceitos utilizados. A formulação do problema de otimização de
tubos laminados é então apresentada, com a definição das variáveis de projeto, função
objetivo e restrições. Por fim, exemplos numéricos são apresentados.
O capítulo 5 apresenta as principais conclusões do trabalho, ressaltando os
resultados obtidos remetendo aos objetivos traçados. Por fim, os trabalhos consultados são
listados no último capítulo, em ordem alfabética.
6
2
MATERIAIS COMPÓSITOS
Esta seção apresenta um breve estudo sobre materiais compósitos, englobando sua
definição e classificação, principais tipos e, por fim, os modelos utilizados para descrever seu
comportamento mecânico. Ao final, são apresentados também critérios de falha utilizados
para medir a segurança estrutural em materiais compósitos.
2.1
Definição e Classificação
Materiais Compósitos, ou compostos, como o nome sugere, resultam da
combinação de dois ou mais materiais, em uma escala macroscópica, com o objetivo de obter
um novo material melhor que cada uma das suas partes isoladamente (REDDY, 1996). O
novo material assim obtido deve possuir homogeneidade se analisado em nível macroscópico.
Portanto, devem ser utilizadas técnicas que proporcionem a correta combinação dos vários
componentes de um material compósito, de modo a fornecer homogeneidade e uniformidade
ao seu comportamento mecânico.
A utilização de combinações de dois ou mais materiais é intrínseca à história
humana. De acordo com Roylance (2000), no Egito antigo, já havia a combinação de palha e
barro para tornar os tijolos mais resistentes. Segundo Guimarães (2006), materiais compósitos
também eram usados para reforçar espadas medievais.
Segundo Jones (1999), materiais compósitos podem ser classificados de acordo
com a forma de combinação entre os dois ou mais materiais componentes. Assim, uma
primeira classificação seria:
a) Compósitos Particulados: São aqueles que apresentam partículas macroscópicas imersas
em uma matriz (Figura 2.1a). Um exemplo clássico de compósito particulado é o concreto;
b) Compósitos Fibrosos: São formados por fibras longas embebidas em uma matriz que atua
como transmissora de tensões e proteção para as fibras (Figura 2.1b). As fibras mais
utilizadas neste tipo de compósito são as de carbono e vidro, embebidas em matrizes
poliméricas, como o epóxi;
c) Compósitos Laminados: Compostos de várias camadas, ou lâminas, de comportamento
mecânico distinto, podendo, inclusive, serem de compósitos fibrosos ou particulados
(Figura 2.1c).
7
Figura 2.1 - Classificação de materiais compósitos (BELO, 2006).
Quando se trabalha com compósitos laminados, principalmente quando são
reforçados com fibras, é de suma importância escolher o esquema de laminação adequado ao
projeto. Para isso, deve-se saber representar e identificar os principais tipos de laminação. De
modo geral, uma laminação é representada por
 /  /  / . /. .
onde α representa o ângulo de
orientação das fibras (direção principal do material) da primeira camada, β representa o
 
ângulo da segunda camada, e assim por diante. Um esquema de laminação geral é mostrado
na Figura 2.2.
Figura 2.2 – Esquema geral de laminação (REDDY, 1996).
Os ângulos de orientação devem estar entre +90º e -90º. Pode-se então definir uma
classificação geral para laminados, dividindo-os em dois tipos:
1. Cross-ply: São laminados que apresentam ângulos de laminação iguais a 0º ou 90º. Por
exemplo, o laminado [0 / 90 / 0 / 90] é cross-ply.
2. Angle-ply: São laminados que podem apresentar qualquer valor para o ângulo de
orientação das camadas, sendo pelo menos um ângulo diferente de 0º e 90º. Por exemplo,
[45 / -45 / 0 / 90] é angle-ply.
Quanto à simetria, os laminados também podem receber três classificações:
8
a) Laminados Simétricos: São aqueles que possuem materiais, espessuras e orientações das
lâminas simétricos em relação à superfície média do laminado. Utiliza-se a letra ‘s’ para
indicar simetria. Assim, o laminado [0 / 90 / 0 / 90]s é igual a [0 / 90 / 0 / 90 / 90 / 0 / 90 /
0]. Do mesmo modo, um laminado com número ímpar de camadas pode ser simétrico, por
exemplo [0 / 90 / 0 / 90 / 0], ou [0 / 90 / 0 ]s no qual a superfície média divide a camada do
meio em duas.
b) Laminados Anti-Simétricos: São aqueles que possuem materiais e espessuras simétricas

mas orientações das lâminas anti-simétricas em relação à superfície média. Por exemplo, o
laminado [45 / -45]4, que é equivalente a [45 / -45 / 45 / -45 / 45 / -45 / 45 / -45], é antisimétrico.
c) Laminados Assimétricos: São aqueles que possuem materiais, espessuras ou orientações
das lâminas assimétricos em relação à superfície média. Por exemplo, o laminado [45/90]
é assimétrico, assim como qualquer dos laminados apresentados nos itens anteriores
seriam assimétricos caso possuíssem espessuras ou materiais assimétricos.
2.2
Modelo Mecânico
Em uma escala microscópica, cada lâmina de um compósito laminado, por ser
uma mistura de dois materiais, é considerada um material anisotrópico, com maior resistência
e rigidez na direção das fibras. Como a matriz polimérica pode ser considerada isotrópica, o
conjunto fibra+matriz pode ser modelado como um material ortotrópico, isto é, um material
cujas propriedades possuem três direções principais perpendiculares entre si.
Tendo em vista que várias lâminas são sobrepostas e que a orientação das fibras
varia de lâmina para lâmina, cada uma delas possui um sistema de coordenadas local, também
chamado de sistema do material (1, 2, 3) no qual a direção 1 é sempre a das fibras, a direção 2
é perpendicular às fibras e a direção 3 é perpendicular à lâmina.
Porém, na resolução das equações de equilíbrio globais do laminado, é necessário
definir um sistema de coordenadas global, no qual as propriedades de todas as lâminas devem
ser representadas. Tal sistema, no caso de tubos e vasos de pressão, é tomado como o sistema
de coordenadas cilíndrico (r, , z). Ambos os sistemas são mostrados na Figura 2.3. Nota-se
que os dois sistemas são relacionados pelo ângulo de enrolamento .
9
Figura 2.3 – Coordenadas locais e globais em um laminado.
Inicialmente, as propriedades de cada lâmina serão descritas em seu sistema local.
Em seguida, o procedimento de transformação para o sistema global será mostrado. O
procedimento oposto é realizado ao final da análise quando as tensões no sistema local são
utilizadas para avaliar a segurança de cada lâmina.
O comportamento de compósitos reforçados por fibras pode ser considerado linear
até muito próximo da ruptura (JONES, 1999). Deste modo, a Lei de Hooke Generalizada pode
ser utilizada para relacionar tensões () e deformações () no sistema local (1, 2, 3). Para um
material ortotrópico, tal relação é dada por
 1
 E
 1
  12
 1  
   E1
 2     13
 3   E
  1
 12   0
  
 13  
 23   0

 0

  21
E2
1
E2
  23
E2
  31
E3
  32
E2
1
E3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
G12
0
0
0
1
G13
0
0
0
0
0

0 

0   1 
  
  2 
0   
   3     S 
1
1

0   12 
  13 
0   23 

1 
G23 
(2.1)
10
onde S é a matriz de flexibilidade e o índice 1 indica que a relação está no sistema local (ou
do material). Como S é simétrica, possui apenas 9 constantes independentes. Deste modo, os
coeficientes de Poisson podem ser relacionados pela equação abaixo:
E jij  Ei ji
(2.2)
Invertendo a Eq. (2.1), a relação tensão-deformação é obtida:
  1   C1
  C
 2  1
 3  C1
 
 1 2  0
 1 3  0
  
 2 3  0
1
2
3
C1
C2
C2
0
0
0
2
2
3
C1
C2
C3
0
0
0
3
3
3
0
0
0
C4
0
0
4
0
0
0
0
C5
0
 1
 
 2
  3

  1
0   1

C 6 6  2
0
0
0
0
5




 
2
3

3
σ1  C ε1
(2.3)
onde C é a matriz constitutiva elástica do material, cujos coeficientes são dados por
1   2 3 2
  
  
; C1 2 E1  2 1 3 12 ;3 C1 3 E1  3 1 2 13 ;2



1  1 3 1
 3 2 1 23 1
1  1 22 1
C 2 2 E 2 
; C 2 3 E 2 
; C 3 3 E3 
;



C 4 4 G1 ; 2 C 5 5 G1 ; 3 C 6 6 G 2 3
C1 1 E1 
  1  1 22 1  2 3 2  3 1 3 2 2  31 21
(2.4)
3
Para a obtenção das deformações no sistema local, utiliza-se a matriz de
transformação T na relação (COOK et al., 2002):
ε1  T ε
(2.5)
onde T é dada por
 l12
m12
n12
l1m1
 2
2
2
m2
n2
l2m2
 l2
2
2
2
 l
m3
n3
l3m3
T 3
 2l1l2 2m1m2 2n1n2 l1m2  l2m1
 2l l 2m m 2n n l m  l m
3 1
3 1
3 1
1 3
 31
2l2l3 2m2m3 2n2n3 l2m3  l3m2
n1l1
n2l2
n3l3
n1l2  n2l1
n3l1  n1l3
n2l3  n3l2


m2n2 
m3n3 

m1n2  m2n1 
m3n1  m1n3 

m2n3  m3n2 
m1n1
(2.6)
Na Eq. (2.6), os termos li, mi e ni são os cossenos diretores dos eixos locais em
relação aos globais. Observando a Figura 2.3, tais relações são resumidas na Tabela 2.1.
Tabela 2.1 - Cossenos diretores.
1
2
3
l
0
0
1
m
sen α
-cos α
0
n
cos α
sen α
0
11
Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, mostra-se que as tensões podem ser
transformadas para o sistema global através da expressão:
  TT  1
(2.7)
Utilizando as Eqs. (2.3), (2.5) e (2.7), a relação entre tensões e deformações no sistema global
pode ser escrita como
  C  C  TTC T
(2.8)
onde C é a matrix constitutiva no sistema global. Substituindo os valores dados na Tabela 2.1
na relação anterior, a Eq. (2.8) pode ser reescrita como
 r  
  
  
 z  
 
 r  
 rz  
  
 z  

C 11
C 12
C 13
0
0
C 12
C 22
C 23
0
0
C 13
C 23
C 33
0
0
0
0
0
C 66
C 56
0
0
0
C 56
C 55
C 14
C 24
C 34
0
0
C 14   r 
  
C 24   

C 34   z 
 
0   r 
  
0   rz 

C 44    z 
(2.9)
onde os coeficientes da matriz C são dados por
C11  C 33
C12  sen 2 C13  cos 2 C 23
C 22  sen 4 C11  cos 4 C 22  2 sen 2 cos 2 (C12  2C 44 )
C13  cos 2 C13  sen 2 C 23
C 23  sen 2 cos 2 (C11  C 22  4C 44 )  ( sen 4  cos 4 ) C12
C 33  cos 4 C11  sen 4 C 22  2 sen 2 cos 2 (C12  2C 44 )
C14  sen  cos  (C13  C 23 )
(2.10)
C 24  sen 3 cos  (C11  C 22  2C 44 )  cos 3 sen  (C12  C 22  2C 44 )
C 34  sen 3 cos  (C11  C 22  2C 44 )  cos 3 sen  (C12  C 22  2C 44 )
C 44  sen 2 cos 2 (C11  2C12  C 22  2C 44 )  ( sen 4  cos 4 ) C 44
C 55  sen 2 C 66  cos 2 C 55
C 56  cos  sen  (C 55  C 66 )
C 66  cos 2 C 66  sen 2 C 55
Analisando a matriz C na Eq. (2.9), vê-se que tensões normais e deformações de
cisalhamento γθz são acopladas. Quando a estrutura é submetida a forças normais, tal
12
comportamento ocasiona o surgimento de deformações torsionais fora do plano em laminados
angle-ply. Para captar tal efeito, são necessários graus de liberdade fora do plano, não
presentes em modelos axissimétricos convencionais. Porém, no caso de laminados cross-ply,
tal acoplamento não existe e modelos axissimétricos convencionais podem ser utilizados.
2.3
Critérios de Falha
Critérios de falha são procedimentos usados para, dado um estado de tensões,
avaliar a segurança estrutural e, muitas vezes, o modo pelo qual se dá a falha do material. No
caso de compósitos laminados, tal avaliação utiliza as tensões e deformações no sistema local
de cada lâmina. Tais critérios comparam as tensões ou deformações presentes nas lâminas
com as devidas tensões ou deformações de ruptura, obtidas por ensaios experimentais.
Para materiais isotrópicos, cujas propriedades mecânicas são iguais em qualquer
direção, alguns critérios de falha são amplamente utilizados e proporcionam bons resultados,
como o critério de Tresca e o de von Mises utilizados para metais (CHEN & HAN, 1998).
Para estes materiais, o critério de falha é definido a partir de um único parâmetro de
resistência, representado pela tensão de escoamento.
No caso de materiais compósitos laminados, os parâmetros de resistência de cada
lâmina variam conforme a direção de aplicação da tensão. Torna-se necessária, para a
definição de critérios de falha em lâminas compósitas, a definição da resistência da mesma a
partir de 3 direções principais, assim como são definidas suas propriedades mecânicas.
Há vários critérios de falha utilizados para materiais compósitos, sendo a maioria
extensão de critérios bem estabelecidos para materiais isotrópicos, adaptados para lidar com
materiais ortotrópicos (JONES, 1999; REDDY, 1996; DANIEL & ISHAI, 2005).
Critérios de falha em compósitos diferem entre si pela consideração da
interatividade entre tensões em direções diferentes. Assim, a seguinte classificação pode ser
feita (DANIEL & ISHAI, 2005):
a) Critérios não-interativos: Critérios nos quais as tensões ou deformações em cada direção
são consideradas isoladamente, sem interação. Métodos como o da Máxima Tensão e
Máxima Deformação são não-interativos;
13
b) Critérios interativos: São critérios que buscam analisar as tensões em todas as direções
através de um único índice, ao invés de considerá-las separadamente. Assim, são critérios
de formulação mais complexa, como os de Tsai-Hill e Tsai-Wu;
c) Critérios parcialmente interativos: São critérios nos quais as tensões em todas as direções
são analisadas conjuntamente, porém, as falhas da fibra e da matriz são analisadas
separadamente. Critérios como os de Hashin-Rotem e de Puck pertencem a esta categoria.
A seguir são apresentados, três dos principais critérios utilizados em compósitos.
Inicialmente serão apresentados os critérios não-interativos de máxima tensão e máxima
deformação. Posteriormente, será discutido o critério interativo de Tsai-Wu.
2.3.1 Critério da Máxima Tensão
Como estabelecido anteriormente, a resistência de uma lâmina na direção das
fibras é maior que na direção perpendicular às mesmas. Porém, em tais materiais, existe
também uma diferença entre tensões de tração e compressão. Assim, diferentes resistências
ocorrem para tração e compressão. No caso das tensões de cisalhamento, tensões positivas ou
negativas produzem as mesmas tensões normais em um plano a 45º do plano de aplicação das
cargas. Assim, seu sinal torna-se irrelevante.
Para problemas 2D, portanto, são necessários 5 parâmetros de resistência (F1t, F1c,
F2t, F2c, F6), como ilustrado na Figura 2.4. Já no caso 3D, são necessários 9 parâmetros (F1t,
F1c, F2t, F2c, F3t, F3c, F4, F5, F6). A figura a seguir mostra os parâmetros de resistência
bidimensionais para uma lâmina unidirecional. Em três dimensões, além das duas resistências
normais adicionais, aparecem mais duas resistências referentes ao cisalhamento.
14
Figura 2.4 – Parâmetros de resistência bidimensionais.
No critério da máxima tensão, a falha da lâmina ocorre quando a tensão em
qualquer uma das direções ultrapassar a resistência. Como mencionado, cada direção é tratada
separadamente. Assim, tem-se um conjunto de equações que determinam a envoltória de falha
da lâmina:
 Fit quando  i  0
com i  1, 2, 3
 Fic quando  i  0
i  
 j  Fj
(2.11)
com i  4, 5, 6
De modo a avaliar a segurança estrutural, torna-se conveniente definir o Fator de
Segurança, dado pela relação entre a envoltória de falha do material e o estado atual de
tensões. Como neste critério cada direção é tratada separadamente, a expressão para o Fator
de Segurança (FS) é:
15
  Fit

  i
 F
 ic
FS  min   
 i

  Fi
  
 i



com i  1,2,3 

quando  i  0



com i  4,5,6


quando  i  0
(2.12)
O Critério da Máxima Tensão é intuitivo e de simples implementação, além de
possibilitar a diferenciação entre tensões de tração e compressão. Porém, em estados de tensão
multi-axiais, devido à interação entre tensões não captada pela envoltória de falha adotada, o
critério pode apresentar resultados ruins.
2.3.2 Critério da Máxima Deformação
Assim como no critério da Máxima Tensão, as deformações são tratadas
isoladamente. Para expressar a resistência final em deformações usa-se a deformação última
em cada direção, representada pelo índice u. Assim, em um problema bidimensional, a
seguinte equação representa a envoltória de falha:
u

1t quando  i  0
i   u
com i  1, 2, 3

  1c quando  i  0
 i   iu
com i  4, 5, 6
(2.13)
Porém, torna-se conveniente representar a envoltória de falha em função dos
parâmetros de resistência em tensões. Nesse caso, uma certa interação ocorre, devido ao efeito
de Poisson. Em termos de tensão, o critério de máxima deformação fornece as seguintes
equações:
 F1t quando  1  0
 F1c quando  1  0
 1   12 2   13 3  
 F2t quando  2  0
 F2 c quando  2  0
 2   21 1   23 3  
(2.14)
 F3t quando  3  0
 F3c quando  3  0
 3   32 2   31 1  
 i  Fi com i  4,5,6
Novamente, pode-se representar o critério em termos de um Fator de Segurança
(FS):
16
   1ut

 i
 u
    1c
FS  min  
 i

   iu
 
   i



com i  1,2,3 

quando  i  0



com i  4,5,6


quando  i  0
(2.15)
2.3.3 Critério de Tsai-Wu
O critério de Tsai-Wu baseia-se na teoria polinomial de falha proposta por
Gol’denblat e Kopnov, que utiliza tensores baseados nas resistências básicas do material para
ponderar os valores das tensões. A forma geral do critério polinomial de falha em notação
indicial é (DANIEL & ISHAI, 2005):
( fi i )  ( fij i j )  ( fijk i j k )  ...  1
(2.16)
Onde i, j, k = 1, 2,..., 6. Posteriormente, Tsai e Wu simplificaram o critério para
fi1  fij i j  1
(2.17)
Expandindo a expressão, variando os valores de i, j e k, tem-se:
f1 1  f2 2  f3 3  f4 4  f5 5  f6 6  f11 12  f22 22  f33 32  f44 42
 f55 52  f66 62  2 f12 1 2  2 f13 1 3  2 f14 1 4  2 f15 1 5  2 f16 1 6
2 f23 2 3  2 f24 2 4  2 f25 2 5  2 f26 2 6  2 f34 3 4  2 f35 3 5
(2.18)
2 f36 3 6  2 f45 4 5  2 f46 4 6  2 f56 5 6  1
Os coeficientes f na Eq. (2.18) não são simplesmente os fatores de resistência
utilizados nos critérios anteriores, devido à consideração da interação entre tensões.
Considerando que as resistências ao cisalhamento não dependem do sinal, que tensões
cisalhantes e normais não interagem e que também não há interação entre tensões cisalhantes
em diferentes planos, vários termos se anulam. Os coeficientes restantes são obtidos a partir
de ensaios de tensão unidimensionais, exceto para tensões cisalhantes. Para tais, seria
necessário um ensaio biaxial e, assim, utilizam-se aproximações (DANIEL & ISHAI, 2005):
17
f1 
1
1

F1t F1c
f11 
1
F1t F1c
f 44
f2 
f 22 
1
 2
F4
f12  
1
2
1
1

F2t F2 c
1
F2t F2c
1
f 55  2
F5
f13  
f11 f 22
1
2
f11 f 33
f3 
1
1

F3t F3c
f 33 
f 66
1
F3t F3c
1
 2
F6
(2.19)
f 
f 23  f 22   44 
 2 
Novamente, torna-se conveniente definir o Fator de Segurança (FS) associado ao
critério, que é definido com o número que multiplicado pelo estado de tensões atual faz com
que o material falhe. Tal fator é obtido multiplicando todas as componentes de tensão com FS
e substituindo estes termos na Eq. (2.18). A expressão resultante é uma equação do segundo
grau, cuja raiz positiva fornece o fator de segurança
FS 
 b  b 2  4a
2a
(2.20)
onde
a  f11 12  f 22 22  f 33 32  f 44 42  f 55 52  f 66 62  2 f12 1 2  2 f13 1 3  2 f 23 2 3
b  f1 1  f 2 2  f 3 3
(2.21)
Tal critério, além de considerar a interação entre tensões, resume toda a segurança
da lâmina em um parâmetro, que pode ser facilmente implementado computacionalmente.
Barbero (1999) mostra que tal critério possui boa concordância com dados experimentais.
Contudo, por representar toda a segurança por um único índice, não fornece informações
sobre o modo pelo qual se dá a falha.
18
3
ANÁLISE ESTRUTURAL DE TUBOS LAMINADOS
Este capítulo apresenta uma breve revisão sobre modelos de análise analíticos
para tubos compósitos. Em seguida, serão mostrados dois modelos baseados no Método dos
Elementos Finitos para análise de tubos compósitos submetidos a cargas axissimétricas.
Inicialmente, será mostrado um modelo bidimensional com 3 graus de liberdade por nó e,
posteriormente, simplificações adicionais serão realizadas, levando a um modelo
unidimensional com 1 grau de liberdade por nó e 2 graus de liberdade globais. Finalmente,
uma série de exemplos numéricos será apresentada de forma a verificar e comparar os
modelos de análise propostos.
3.1
Método dos Elementos Finitos
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma ferramenta de análise que produz
soluções numéricas para problemas de campo, isto é, a distribuição espacial de uma ou mais
variáveis dependentes (COOK et al., 2002). O campo em questão, na engenharia estrutural, é
o campo de deslocamentos em toda a estrutura. Conhecendo este campo e aplicando conceitos
da Teoria da Elasticidade pode-se obter as tensões e deformações em todos os pontos da
estrutura.
Inicialmente, deve-se elaborar um modelo matemático da estrutura a ser analisada.
Esta etapa é crucial à obtenção de bons resultados, fazendo-se necessário elaborar um modelo
matemático que represente bem as principais características da estrutura real. Deve-se, porém,
buscar um equilíbrio entre a simplicidade do modelo e a qualidade dos resultados. É
importante ressaltar que o refinamento da análise numérica nunca fornecerá uma resposta
mais próxima à realidade que a do modelo matemático adotado.
Em uma solução analítica, as condições de equilíbrio e compatibilidade devem ser
satisfeitas em todos os pontos da estrutura. Porém, muitas vezes as características geométricas
da estrutura e a complexidade dos materiais utilizados impedem a determinação analítica do
campo de deslocamentos. Assim, em uma análise usando elementos finitos, a estrutura é
dividida em uma série de elementos de geometria simples (e.g. triângulos e quadriláteros),
dentro dos quais o campo de deslocamentos é interpolado a partir dos deslocamentos nodais
19
utilizando funções simples, normalmente polinômios de baixa ordem. O conjunto de todos os
elementos de um modelo é denominado malha.
De modo a manter a continuidade da estrutura, elementos adjacentes são
conectados entre si por nós. Assim, nós comuns a vários elementos impõem o mesmo valor do
campo para todos eles, garantindo a continuidade. Os deslocamentos nodais são obtidos a
partir da solução das equações de equilíbrio, obtidas utilizando Princípios Variacionais ou
Métodos de Resíduos Ponderados (COOK et al., 2002).
Em uma solução por elementos finitos, as condições de equilíbrio e
compatibilidade são satisfeitas apenas nos nós, isto é, não são satisfeitas em todos os pontos
da malha. Assim, produz-se um erro ao tentar aproximar o campo de deslocamentos nos
elementos a partir de poucos valores nodais. Com o refinamento da malha ou o uso de funções
de interpolação mais completas, o campo de deslocamentos vai se aproximando da solução
exata e o erro de discretização vai diminuindo.
3.2
Elemento Bidimensional
A seguir, apresenta-se a formulação de elementos finitos axissimétricos
bidimensionais com 3 graus de liberdade por nó. Como já mencionado, apesar de plano, o
elemento necessita de um grau de liberdade adicional por nó para captar os efeitos de torção
gerados pelo acoplamento mencionado no Item 2.2. Uma malha formada por tais elementos é
mostrada na Figura 3.1.
Figura 3.1 – Malha de elementos finitos axissimétricos bidimensionais.
20
Inicialmente,
consideram-se
as
relações
deformação-deslocamento
tridimensionais em coordenadas cilíndricas (TIMOSHENKO & GOODIER, 1970):
r r 
u
r
v 1  w 
  
z r   
w u
z r

r z
1  u
v 
 r    v  r 
r  
r 
 z 
1  v

u
r  

w
z z
z
   
(3.1)
Onde u representa o deslocamento radial, v representa o deslocamento fora do plano e w
representa o deslocamento axial. Como o modelo formulado lida apenas com pressão interna,
externa, força axial e momento torsor, considerações de simetria podem ser feitas. Assim,
como a geometria, propriedades dos materiais e carregamento independem da coordenada θ,
um modelo axissimétrico pode ser usado. Portanto, as relações deformação-deslocamento
podem ser simplificadas para:
u
r
v

z
 rr 
 z
  
 zr
u
r
 zz 
w u


r z
 r
w
z
v v
 
r r
(3.2)
No interior dos elementos, os deslocamentos são interpolados a partir dos
deslocamentos nodais:
n
n
u   N i ui
n
v   N i vi
i 1
w   N i wi
i 1
(3.3)
i 1
onde Ni são as funções de forma ou funções de interpolação, ui, vi, wi são os deslocamentos
nodais (graus de liberdade) e n é o número de nós. É importante notar apenas continuidade C0
é exigida das funções de forma, pois apenas derivadas de primeira ordem aparecem na
expressão das deformações, como mostrado na Eq. (3.2). Adotando uma formulação
isoparamétrica, a geometria do elemento é interpolada utilizando as mesmas funções de forma
n
z   N i zi
i 1
n
r   N i ri
Matricialmente, tal campo pode ser representado por:
i 1
(3.4)
21
u   N i
 
u  v    0
w  0
  
0  ui 
 
0  vi   u  N i ui , i  1...n

N i  
wi 
0
Ni
0
(3.5)
Expandindo a matriz Ni mostrada na Eq. (3.5) para todos os nós, tem-se:
u  Nue  N  N1
N2 ... Nn1
Nn 
(3.6)
onde ue é o vetor dos deslocamentos nodais do elemento.
Derivando os deslocamentos expressos na Eq. (3.6) usando as relações da Eq.
(3.2), pode-se escrever as deformações no interior do elemento como:
N i


ui

  N i
r

  r

N

 
i
vi
 rr  
  0
z
  
 
Ni
 zz  
 1 N
ui
   
 r i
r
ε 

 r   N i w  1 N w   0
 rz   r i r i i  
   N
  N i
N
 z   i vi  i ui   z
z
 r
 

  0
N i
wi

 
z






0

 ui 
0
 
v  ε  Biui
 N i 1   i 


 Ni  w 

 r r   i 

0


N i


z
0
0
N i
z
0
0
N i
r
0
(3.7)
onde Bi é a matriz deformação-deslocamento correspondente ao i-ésimo nó. Expandindo a
matriz B para todos os nós, tem-se:
ε  B ue  B  B1 B2  Bn1 Bn 
(3.8)
É interessante notar que como a matriz B é o resultado da derivação da matriz N, ambas
possuem a mesma forma.
Com os campos de deslocamento e deformação definidos em todo o elemento,
pode-se aplicar o Princípio dos Trabalhos Virtuais. Assim, aplicando um deslocamento virtual
pequeno e possível, a variação do trabalho de deformação é igual à variação do trabalho
produzido pelas cargas externas:
Wint  Wext 
 ε σ dV   u f dV   u f dS
T
V
T
V
T
b
S
s
(3.9)
onde δu é o campo de deslocamentos virtual aplicado, δε é o campo de deformações
associado, fb representa as forças de corpo e fs as forças de superfície. Substituindo as
deformações e deslocamentos, dados pelas Eqs. (3.6) e (3.8), determinam-se a matriz de
rigidez (Ke) e o vetor de cargas externas (fe) de um elemento finito:
22
K e   B T C B dV
Ve
f e   N Tf b dV   N STf S dS
Ve
(3.10)
Se
Impondo o equilíbrio de trabalhos para qualquer deslocamento δu, o equilíbrio
nodal do elemento é encontrado. Somando as matrizes de todos os elementos pelo Método da
Rigidez Direta, obtém-se o sistema de equilíbrio nodal da estrutura:
Ku  f
(3.11)
onde K é a matriz de rigidez global, u é o vetor de deslocamento nodais e f é o vetor de cargas
externas. Achados os deslocamentos nodais, utiliza-se a Eq. (3.8) para encontrar as
deformações no sistema global. Se as tensões no sistema global forem desejadas, usa-se a Eq.
(2.8). Já usando a Eq. (2.5), pode-se achar as deformações no sistema local e as tensões
usando a Eq. (2.3). Tal procedimento é resumido na Figura 3.2.
Figura 3.2 – Sequência de obtenção de tensões e deformações.
3.3
Elemento Bidimensional - Implementação Computacional
A formulação descrita no Item 3.2 foi implementada no programa de elementos
finitos FEMOOP (MARTHA & PARENTE, 2002). Tal programa, por sua estrutura orientada
23
a objetos e pelo fato de ser voltado ao uso acadêmico, permite a implementação de novos
tipos de elemento ou modelos de análise para tratar problemas específicos.
No programa FEMOOP, a classe AnalysisModel cuida de aspectos relacionados à
montagem das matrizes que compõem a matriz de rigidez K. Tal classe é derivada da classe
Element, da qual também são derivadas as classes Shape e IntegrationPoint. A classe Shape
cuida dos aspectos de interpolação do elemento, fornecendo as funções de forma e suas
derivadas, além de calcular a matriz Jacobiana para interpolação geométrica. Por fim, a classe
IntegrationPoint é responsável pela resolução das integrais necessárias pelo método da
Quadratura de Gauss (COOK et al., 2002), armazenando as coordenadas dos pontos e o peso
de cada ponto para várias ordens de integração.
Na implementação realizada, utilizaram-se as funções de forma de elementos
isoparamétricos já implementadas no FEMOOP. Adicionalmente, não foi necessário
modificar nenhum aspecto da classe IntegrationPoint, pois utilizou-se as ordens de
integração já implementadas. Porém, como o elemento em questão apresenta mais graus de
liberdade que elementos axissimétricos comuns, a matriz B precisou ser implementada.
Assim, como o modelo de análise axissimétrico implementado possuía apenas 2
graus de liberdade por nó, foi necessário implementar um novo modelo de análise,
modificando a matriz B, adicionando o grau de liberdade fora do plano em cada nó. Assim,
foi criado o modelo de análise AxisymmetricTorsion.
Além de adicionar um grau de liberdade a mais por nó, foi necessário
implementar uma rotina de transformação da matriz C do sistema local para o global, de
acordo com o descrito no Item 2.2. Para isso, o arquivo de entrada de dados teve de ser
modificado, adicionando a seção %ORIENTATION.VECTORS, na qual o usuário deve
entrar com os três vetores de orientação, l, m e n, cujas componentes são mostradas na Tabela
2.1. Cada conjunto de vetores está também associado a um material. Isso permite tanto
adicionar vários ângulos diferentes como permite utilizar vários materiais diferentes no
mesmo modelo. Para acomodar esta mudança, o rótulo referente ao material em cada
elemento foi substituído pelo rótulo que representa o conjunto dos vetores associados a um
material. A figura a seguir mostra um trecho de um arquivo de entrada para o processador,
mostrando como deve ser feita a entrada da orientação:
24
Figura 3.3 – Definição da orientação das lâminas.
Como houve uma mudança considerável na etapa de leitura dos dados de cada
elemento, foi necessária uma modificação adicional na classe ElcParam, que lida com as
rotinas referentes a elementos paramétricos. Foi então criada a classe ElcSec, que,
dependendo do tipo de seção (laminada, homogênea isotrópica ou homogênea ortotrópica),
faz a leitura correta dos dados de cada elemento e os passa para ElcParam. A estrutura da
classe é mostrada a seguir:
Figura 3.4 – Definição da classe ElcSec.
Nota-se, portanto, que ElcSec é uma classe puramente virtual. Assim, na criação
de cada elemento da malha, utiliza-se polimorfismo para direcionar o ponteiro criado a uma
25
das três classes filhas de ElcSec, dependendo do tipo de seção do elemento. No caso do
elemento axissimétrico implementado, a leitura dos dados foi feita pela classe HomOrth.
3.4
Elemento Unidimensional
Na formulação do elemento bidimensional, um tubo de comprimento qualquer
pode ser modelado. Tal modelagem permite a avaliação dos chamados Efeitos de
Extremidade (SAYIR & MOTAVALLI, 1995), que levam a descontinuidades nas tensões em
regiões próximas aos apoios ou extremidades livres do tubo. Porém, os modelos analíticos
para tubos laminados consideram tubos de comprimento infinito, evitando considerar tais
efeitos de extremidade que tornariam a solução muito mais complexa. Assim, considera-se
um Estado Plano Generalizado de Deformações (EPGD), no qual as deformações são
constantes ao longo do comprimento do tubo.
No modelo bidimensional apresentado anteriormente, o aumento do comprimento
do tubo e o uso de restrições de deslocamento nos nós superiores levam à diminuição dos
efeitos de extremidade e, por simular uma situação de EPGD, fornecem boa concordância
com resultados analíticos, como será mostrado no Item 3.6.
Porém, se um EPGD for imposto já durante a formulação do elemento, a
coordenada axial pode ser eliminada e apenas a coordenada radial precisa ser considerada,
obtendo-se, portanto, um problema unidimensional. De acordo com Sherrer (1967), Rizzo e
Vicario (1970), os campos de deslocamento são dados por
u (r , z )  u (r )
v(r , z )   r z
(3.12)
w(r , z )   a z
onde β é a taxa de torção e εa é a deformação axial, ambos considerados constantes. Com tais
simplificações adicionais, as relações deformação-deslocamento mostradas na Eq. (3.2)
tomam a forma
 rr 
u
r
 
u
r
 zz   a
  z  r
(3.13)
Analisando as Eqs. (3.2) e (3.13), nota-se que zr =r = 0. Assim, alguns termos
da matriz C apresentada na Eq. (2.9) se anulam, e a matriz resultante é apenas 4x4:
26
 r  
  
 
 z  
  
  z  
C 11
C 12
C 13
C 12
C 22
C 23
C 13
C 23
C 33
C 14
C 24
C 34
C 14   r 
 
C 24   

C 34   z 
 
C 44    z 
(3.14)
Como β e εa são constantes em todo o tubo, serão tratados como graus de
liberdade globais (nodeless degrees of freedom), isto é, que não pertencem a nenhum nó.
Deste modo, o vetor de deslocamentos do modelo é dado por:
 u1 

 
u  u n 
 
 a 
  
(3.15)
onde n é o número total de nós da malha de elementos finitos. Nota-se que o modelo possui,
portanto, 2n+2 graus de liberdade. Tais valores são usados para interpolar o campo de
deslocamentos no interior dos elementos, tal como mostrado na Eq. (3.3), mas, neste caso,
apenas os deslocamentos radiais são interpolados:
n
u   N i ui
(3.16)
i 1
Diferentemente do elemento bidimensional, a formulação unidimensional é
subparamétrica, isto é, utiliza funções de grau mais baixo na interpolação da geometria do
elemento, de maneira a simplificar a formulação e torná-la mais eficiente. Assim,
independente do grau das funções de forma utilizadas na interpolação dos deslocamentos, a
interpolação da coordenada radial é linear. Por conveniência, tal interpolação é feita na
coordenada paramétrica ξ:
r
1   r  1   r
2
1
2
2
(3.17)
onde r1 e r2 são as coordenadas radiais do primeiro e último nós do elemento. Tais
coordenadas podem ser observadas na Figura 3.5.
27
Figura 3.5 – Elemento unidimensional com interpolação quadrática.
Usando as Eqs. (3.12), (3.13) e (3.16), as deformações podem ser calculadas de
modo similar ao mostrado na Eq. (3.7), mas com a presença de graus de liberdade globais:
 N i   N1
ui  
r  

r
r
  
 N
N
     i ui    1
 z   r
  r
   a   0
 z  
 
 r   0
N n
r
Nn

r

0


0
 u
0 0  1 
  
0 0 u n     Bu e
 
1 0  a 
0 r    
(3.18)
Aplicando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, impõe-se que, no equilíbrio, os
trabalhos virtuais internos e externos ocasionados por um campo de deslocamentos virtual δu
sejam iguais:
Wint  Wext   εT σdV    uT f dr
V
r
(3.19)
O trabalho virtual interno é computado como a soma do trabalho interno em cada
elemento:
ne
Wint    εT σ dV
e 1
(3.20)
Ve
onde ne é o número de elementos do modelo. Considerando que o campo de deslocamentos é
dado pela Eq. (3.18) e que as tensões no sistema global são dadas pela Eq. (2.8), a expressão
da Eq. (3.20) pode ser reescrita como
ne
Wint   ueT K e ue  K e 
e 1
1
1B
T
C B 2 r J d
(3.21)
onde Ke é a matriz de rigidez do elemento e J é o jacobiano da transformação entre o sistema
de coordenadas radial (r) e paramétrico (ξ):
28
J
dr
r r
 J 2 1
d
2
(3.22)
Em termos dos deslocamentos globais, a Eq. (3.21) pode ser reescrita como
ne
Wint   ueT K e u e  uT K u
e 1
(3.23)
onde K é a matriz de rigidez global, que é somada por um procedimento tradicional de
montagem, mas observando as incidências de cada nó com relação aos graus de liberdade
locais e globais, tendo em vista as Eqs. (3.15) e (3.18).
O trabalho realizado pelas cargas externas depende das pressões interna (pi) e
externa (pe), da força axial (N) e momento torsor (T) aplicados. Assim, sua expressão será:
Wext  2 ri piu1  2 re peunn  N a  T  uT f
(3.24)
Desta equação, extrai-se o vetor de cargas externas
 2 ri pi 


0







f 
0

 2 re pe 


 N

 T



(3.25)
Finalmente, obtém-se a equação de equilíbrio global:
Ku  f
(3.26)
Como a matriz de rigidez global K não depende das cargas aplicadas, é possível
realizar várias análises para diferentes casos de carregamento sem a necessidade de montar a
matriz K múltiplas vezes. Tal procedimento é computacionalmente eficiente e torna-se
importante em aplicações como em métodos de otimização, nos quais o laminado deve manter
sua segurança em todos os casos de carregamento simultaneamente. Assim, considerando m
casos de carga, a Eq. (3.26) toma a forma
29
 u1(1)
u
 2(1)
 

u n1(1)
 u n (1)

  a (1)
 
 (1)







u1( m )   2 ri pi (1)
u 2( m )  
0
  

 
u n1( m )   
0
u n ( m )   2 re pe(1)
 
 a ( m )   N (1)
 ( m )   T(1)







2 ri pi ( m ) 

0




0

 2 re pe( m ) 

N(m)


T( m )

(3.27)
onde os números entre parênteses representam o caso de carregamento.
Para o cálculo das tensões e deformações locais, ressalta-se que, apesar da matriz
C no sistema global ser 4x4, quando se passa para o sistema local, podem aparecer
deformações também nas direções 12 e 13. Assim, o vetor de deslocamentos locais tem 6
componentes enquanto o global tem apenas 4. Portanto, após encontrar as deformações no
sistema global usando a Eq. (3.18), a seguinte transformação global-local deve ser realizada:
11   l12
   2
 22   l2
 33   l32
 
 12   2l1l2
 13   2l l
   13
 23  2l2l3
m12
n12
2
2
2
3
2
2
2
3
m
m
n
n
2m1m2
2n1n2
2m1m3
2n1n3
2m2 m3
2n2 n3


m2 n2   r 
   
m3n3
    ε1  T ε
m1n2  m2 n1   z 
 
m1n3  m3n1   z 

m2 n3  m3n2 
m1n1
(3.28)
Por fim, as tensões no sistema local podem ser encontradas utilizando a Eq. (2.3).
De acordo com Cook et al. (2002), as respostas em tensões apresentam menor
precisão nas fronteiras dos elementos, isto é, em seus nós externos, onde geralmente as
tensões são máximas. Assim, adota-se a estratégia dos Pontos Superconvergentes, na qual as
tensões são calculadas no interior do elemento e extrapoladas para os nós. Para um elemento
com interpolação quadrática, as tensões são computadas nas coordenadas de uma quadratura
de Gauss de 2 pontos e extrapoladas utilizando a coordenada paramétrica ξ:
 ( s)   p1
1  3
1  3
  p2
2
2
(3.29)
onde σp1 e σp2 são as tensões nos dois pontos de Gauss.
3.5
Elemento Unidimensional - Implementação Computacional
O elemento apresentado no item 3.4 foi implementado no programa comercial
MATLAB. A razão para a escolha de tal programa deveu-se ao fato da implementação de
30
otimização já haver sido feita, juntamente com a implementação do modelo de análise pela
Teoria Clássica de Laminação (SILVA et al., 2009) no mesmo programa. Assim, o uso da
formulação de otimização com o modelo de análise por elementos finitos foi facilitado.
Como dados de entrada, a implementação recebe as propriedades do material, o
raio interno do tubo, o esquema de laminação e as cargas a serem consideradas. Dentro do
esquema de laminação, explicita-se, além da espessura e do ângulo de cada camada, qual o
material a ser usado em tal camada e o número de elementos finitos de cada uma. Assim, a
geração da malha é feita diretamente.
Como o modelo permite a consideração de vários casos de carregamento
simultaneamente, a implementação faz apenas uma montagem da matriz de rigidez global K e
monta o vetor de cargas com o número de colunas igual ao número de casos de carga, como
mostrado na Eq. (3.27). Assim, obtém-se um vetor de deslocamentos u para cada caso de
carga.
3.6
Exemplos Numéricos
A presente seção apresenta exemplos numéricos para os modelos de análise
implementados. Inicialmente, exemplos utilizando o elemento bidimensional serão
apresentados. Tal elemento foi implementado no programa de código-aberto FEMOOP
(MARTHA & PARENTE, 2002). Para a validação dos resultados, foi utilizada a solução
analítica implementada por Herakovich (1998) e o pacote comercial de elementos finitos
ABAQUS (SIMULIA, 2007). Assim, apresenta-se um modelo cross-ply, um angle-ply e um
modelo de riser compósito com presença de Liner externo de aço.
Após esse primeiro conjunto de exemplos, a formulação unidimensional será
validada, utilizando as laminações apresentadas por Xia et al. (2001), comparando os
resultados também com o elemento bidimensional, e exemplos adicionais comparando os
resultados obtidos com o programa ABAQUS, com a formulação unidimensional e com uma
solução baseada na Teoria Clássica de Laminação (TCL) implementada por Silva et al.
(2009).
Os materiais utilizados nos exemplos são apresentados abaixo na Tabela 3.1,
Tabela 3.2 e Tabela 3.3. Para os exemplos de 3.6.1 a 3.6.3, o Carbono-Epóxi é utilizado,
enquanto que no restante dos exemplos, o Grafite-Epóxi T300 é utilizado.
31
Tabela 3.1 - Propriedades mecânicas do aço.
E (GPa)
200
v
0.3
Tabela 3.2 - Propriedades mecânicas do Carbono-Epoxi (REDDY, 1996).
E1(GPa) E2(GPa) E3(GPa) G12(GPa) G13(GPa) G23(GPa)
137.9
9.0
9.0
7.1
7.1
6.2
ν12
0.30
ν13
0.30
ν23
0.49
ν13
0.268
ν23
0.495
Tabela 3.3 - Propriedades mecânicas do Grafite-Epoxi T300.
E1(GPa) E2(GPa) E3(GPa) G12(GPa) G13(GPa) G23(GPa)
141.6
10.7
10.7
5.7
5.7
3.4
ν12
0.268
Como mencionado no Item 3.3, as condições de contorno utilizadas para os
modelos bidimensionais simulam um Estado Plano Generalizado de Deformações (EPGD).
Assim, os deslocamentos verticais são impedidos nos nós inferiores e apenas um grau de
liberdade circunferencial é restringido, para evitar torções de corpo rígido. Como o tubo é
longo, a condição de deformações constantes na direção axial é adequada. Com objetivo de
garantir esta condição, foi aplicada uma restrição adicional, igualando os deslocamentos
axiais de todos os nós da face superior da malha.
3.6.1 Modelo cross-ply
O modelo de validação apresenta 9 camadas de compósito cross-ply, sujeito a
pressão interna. O raio interno é de 0.1143m, com uma malha de 30 elementos quadrangulares
de 8 nós (Q8), cada um com 0.5 mm de espessura. A espessura total do tubo é de 15 mm. O
valor de pressão aplicado foi de 20.69 MPa. O esquema de laminação é mostrado na Tabela
3.4 e os resultados em tensões são apresentados na Tabela 3.5 e na Figura 3.6.
Tabela 3.4 - Esquema de Laminação do modelo cross-ply.
Camada
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Espessura
(mm)
2.0
2.0
2.0
2.0
1.0
2.0
1.0
2.0
1.0
Ângulo
90°
0°
90°
0°
90°
0°
90°
0°
90°
32
Tabela 3.5 - Tensões no sistema global no modelo cross-ply.
Face
Analítico
ABAQUS
(CAX8R)
FEMOOP
(Q8)
Interna
Externa
Interna
Externa
Interna
Externa
r
z

(kPa)
(kPa)
(kPa)
-2.0690E+04 -3.5731E+03 3.4842E+05
0.0000E+00 5.3706E+03 2.8741E+05
-2,0705E+04 -3,5835E+03 3,4841E+05
3,1678E+01 5,3836E+03 2,8743E+05
-2.0682E+04 -3.6799E+03 3.4838E+05
4.0000E+00 5.3723E+03 2.8739E+05
Nota-se, pelos resultados, que o elemento implementado forneceu bons resultados,
com erro máximo de 2,9% na tensão σz, concordando com a solução analítica. O resultado
obtido também concordou com o modelo gerado no programa ABAQUS. Quanto à
convergência, trabalhos anteriores mostram que um resultado similar é obtido com apenas 15
elementos. (ROCHA et al., 2008).
(a) Malha
(b) Deslocamentos radiais
(c) Tensões radiais
(d) Tensões circunferenciais
Figura 3.6 – Resultados do modelo cross-ply.
33
3.6.2 Modelo angle-ply
O modelo angle-ply possui as mesmas características geométricas do modelo
anterior, e o mesmo carregamento. Muda-se apenas o esquema de laminação, que é mostrado
na Tabela 3.6.
Tabela 3.6 - Esquema de Laminação do modelo angle-ply.
Espessura
(mm)
2.0
2.0
2.0
2.0
1.0
2.0
1.0
2.0
1.0
Camada
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ângulo
45°
-45°
45°
-45°
45°
-45°
45°
-45°
45°
Neste caso, não houve comparação com o elemento axissimétrico presente no
programa ABAQUS, pois nele só foi possível utilizar ângulos de 0º ou 90º. Isso aconteceu
pois eram necessárias duas rotações de coordenadas para definir um ângulo de 45º, mas o
programa só permitia fazer uma rotação. Supõe-se que tal definição seja possível se definidos
dois sistemas de coordenadas auxiliares e utilizando um deles para rotações cross-ply e o
outro para rotações angle-ply. Porém, tal investigação não foi realizada, em face da existência
da formulação implementada no FEMOOP já devidamente validada. Os resultados em tensões
no sistema global são mostrados na Tabela 3.7 e exibidos graficamente na Figura 3.7.
Tabela 3.7 - Tensões no sistema global no modelo angle-ply.
Face
Analítico
FEMOOP
(30 elem)
Interna
Externa
Interna
Externa
r
(kPa)
-2.0690E+04
0.0000E+00
-2.0688E+04
0.0000E+00
z
(kPa)
1.6143E+04
-0.6303E+04
1.3241E+04
-0.4521E+04

τzθ
(kPa)
1.8161E+05
1.4429E+05
1.7873E+05
1.4607E+05
(kPa)
9.3306E+04
5.9308E+04
8.9994E+04
6.1142E+04
34
(a) Malha
(b) Deslocamentos radiais
(c) Tensões radiais
(d) Tensões fora do plano
Figura 3.7 – Resultados do modelo angle-ply.
Os resultados obtidos no FEMOOP mostram boa concordância com a solução
analítica, com erros advindos apenas do curto comprimento do tubo. É importante ressaltar
que, principalmente em tubos angle-ply, o comprimento do modelo afeta os resultados. Em
tubos muito curtos, a hipótese de um Estado Plano Generalizado de Deformações perde a
validade, ocasionando variações nas tensões axiais. Portanto, a concordância nos resultados
melhora com o aumento do comprimento do tubo.
35
3.6.3 Modelo de riser compósito
Esse modelo procura simular um tubo de extração ou produção de poços de
petróleo. Nesse caso, uma laminação cross-ply mais complexa precisa ser utilizada, de modo
a resistir a esforços causados pelas altas pressões hidrostáticas encontradas em altas
profundidades, mas sendo também capaz de resistir à pressão exercida pelo óleo e às forças
axiais atuantes em risers. Adicionalmente, um liner de aço é utilizado para auxiliar na
estanqueidade do tubo.
Em uma etapa de pré-dimensionamento, que pode ser caracterizada pelo uso de
técnicas de otimização, os esforços de flexão podem ser desprezados, considerando apenas
pressões interna e externa e força axial. Assim, o modelo axissimétrico implementado pode
ser utilizado para calcular as tensões e deformações no tubo.
Devida à complexidade adicional trazida pela adição do liner de aço à análise, a
solução analítica de Herakovich (1998) não pode ser utilizada nesse caso. Assim, apenas
resultados no FEMOOP foram gerados. O raio interno do tubo é de 0.0873m, com uma
espessura total de 25 mm, dividido em 100 elementos quadrilaterais de 8 nós (Q8). Duas
hipóteses de carregamento foram analisadas, a primeira simulando o riser em operação e a
segunda simulando situações de implantação, quando o tubo estará vazio. Os dois cenários
são apresentados na Tabela 3.8 e o esquema de laminação na Tabela 3.9.
Tabela 3.8 - Cenários de carga no modelo de riser.
Cenário
1
2
Pressão Interna (MPa)
30
0
Pressão Externa (MPa)
20
20
Força Axial (kN)
1500
-315
Tabela 3.9 - Esquema de laminação do modelo de riser.
Camada
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Material
Liner de Aço
Carbono-Epoxy
Carbono-Epoxy
Carbono-Epoxy
Carbono-Epoxy
Carbono-Epoxy
Carbono-Epoxy
Carbono-Epoxy
Carbono-Epoxy
Carbono-Epoxy
Carbono-Epoxy
Carbono-Epoxy
Carbono-Epoxy
Espessura (mm)
4.00
3.00
1.00
2.00
2.00
1.00
1.50
1.50
1.00
2.00
2.00
1.00
3.00
Ângulo
0º
90º
0º
90º
0º
90º
0º
0º
90º
0º
90º
0º
90º
36
Na Tabela 3.10 são apresentadas as tensões máximas em cada material no sistema
local, enquanto que na Tabela 3.11 são apresentadas as tensões máximas no sistema global.
Para a utilização de critérios de falha como os descritos no Item 2.3, as tensões no sistema
local são importantes.
Tabela 3.10 - Tensões máximas no sistema local no modelo de riser (MPa).
Aço
Compósito 90º
Compósito 0º
Cenário
σ11
σ22
σ33
σ11
σ22
σ33
σ11
σ22
σ33
1
267.856
131.227
-29.999
-35.941
0.6428
-23.092
155.591
-8.073
-21.652
2
-66.611
-188.605
-8.081
-119.176
-12.5847
-20
-16.869
-15.862
-17.329
Tabela 3.11 - Tensões máximas no sistema global no modelo de riser (MPa).
Aço
Compósito 90º
Compósito 0º
Cenário
σrr
σzz
σθθ
σrr
σzz
σθθ
σrr
σzz
σθθ
1
-29.999
267.856
131.227
-23.092
0.6428
-35.941
-21.652
155.591
-8.073
2
-8.081
-66.611
-188.605
-20
-12.5847
-119.176
-17.329
-16.869
-15.862
3.6.4 Modelos de Xia et al. (2001)
Nos modelos que seguem, o elemento unidimensional é comparado com o
elemento bidimensional já validado nos itens anteriores. Os resultados são também
comparados com a solução analítica (HERAKOVICH, 1998). O material utilizado nos
exemplos foi o Grafite-Epóxi T300, cujas propriedades são apresentadas na Tabela 3.3. Três
esquemas de laminação angle-ply diferentes são analisados, com 4 camadas de 2 mm de
espessura cada, raio interno de 50 mm, nos quais é aplicada uma pressão interna de 10 MPa.
Cada camada foi modelada utilizando 3 elementos finitos, totalizando 12 elementos. Os
resultados são apresentados na Tabela 3.12, na Tabela 3.13 e na Tabela 3.14.
Tabela 3.12 - Resultados da laminação [55/-55/55/-55] de Xia et al. (2001).
Laminação
[55/-55/55/-55]
Analítica
FEMOOP (2D)
Unidimensional
Face
Interna
Externa
Interna
Externa
Interna
Externa
σr
σz
σθ
τzθ
(kPa)
(kPa)
(kPa)
(kPa)
-1.00E+04 1.46E+03 2.57E+05 1.23E+05
7.28E-12 -1.28E+03 2.44E+05 -1.12E+05
-1.00E+04 1.47E+03 2.57E+05 1.23E+05
7.19E-01 -1.35E+03 2.44E+05 -1.12E+05
-1.00E+04 1.46E+03 2.57E+05 1.23E+05
6.95E-01 -1.28E+03 2.44E+05 -1.12E+05
37
Tabela 3.13 - Resultados da laminação [55/-55/30/-30] de Xia et al. (2001).
Laminação
[55/-55/30/-30]
Analítica
FEMOOP (2D)
Unidimensional
Face
Interna
Externa
Interna
Externa
Interna
Externa
σr
σz
σθ
τzθ
(kPa)
(kPa)
(kPa)
(kPa)
-1.00E+03 -7.51E+03 -1.84E+04 -6.73E+03
-1.01E+04 7.49E+03 -4.98E+03 -5.53E+03
-1.00E+04 1.35E+05 4.50E+05 2.47E+05
2.46E-01 -1.34E+05 5.31E+04 4.82E+04
-1.00E+04 1.35E+05 4.50E+05 2.46E+05
2.37E-01 -1.34E+05 5.31E+04 4.81E+04
Tabela 3.14 - Resultados da laminação [55/-30/30/-55] de Xia et al (2001).
Laminação
[55/-30/30/-55]
Analítica
FEMOOP (2D)
Unidimensional
Face
Interna
Externa
Interna
Externa
Interna
Externa
σr
(kPa)
-1.00E+04
-1.16E-10
-1.00E+04
1.20E+00
-1.00E+04
1.15E+00
σz
(kPa)
1.38E+05
1.29E+05
1.38E+05
1.29E+05
1.38E+05
1.29E+05
σθ
τzθ
(kPa)
(kPa)
4.58E+05 2.52E+05
4.32E+05 -2.33E+05
4.59E+05 2.52E+05
4.32E+05 -2.33E+05
4.58E+05 2.52E+05
4.32E+05 -2.33E+05
Os resultados de Xia et al. (2001) foram apresentados por meio de gráficos,
dificultando uma comparação precisa com os obtidos pela solução analítica e por elementos
finitos. Porém, pôde-se observar boa concordância para as três laminações. Adicionalmente,
os resultados do elemento unidimensional foram quase idênticos aos do elemento
bidimensional.
Comparação com a solução analítica também forneceu bons resultados, com erros
nulos na maioria das tensões. Porém, os resultados obtidos pela solução analítica na
laminação [55/-55/30/-30] (Tabela 3.13) são claramente ilógicos. Além de não concordarem
com os resultados gráficos apresentados em Xia et al. (2001), as tensões radiais tanto na face
interna quanto externa não concordam com a Teoria da Elasticidade, que dita que a tensão
radial na face interna deve ser igual à pressão interna aplicada e na face externa deve ser nula,
pois nenhuma carga foi aplicada. Tal fenômeno deve ser investigado.
3.6.5 Comparação com a Teoria Clássica da Laminação (TCL)
O último conjunto de exemplos procura comparar os resultados do elemento
unidimensional com a Teoria Clássica da Laminação (TCL), implementada em Silva et al.
38
(2009). Como comparação adicional, o programa comercial de elementos finitos ABAQUS
(SIMULIA, 2007) também foi utilizado. Devido às dificuldades de modelagem utilizando o
elemento axissimétrico no programa ABAQUS, elementos de casca foram utilizados, fazendo
com que seus resultados sejam corretos apenas para tubos de parede fina.
Em todos os modelos, uma pressão interna de 20 MPa foi aplicada.
Adicionalmente, uma força normal N = piAi, onde pi é a pressão interna e Ai é a área da parede
do tubo, foi também aplicada. Com o elemento unidimensional, foram utilizados 3 elementos
por camada. Já no programa ABAQUS, elementos de casca espessa S8R foram usados para
modelar tubos de 3m de comprimento. Todos os resultados foram obtidos no sistema local e
são apresentados na Tabela 3.15, na Tabela 3.16 e na Tabela 3.17.
Tabela 3.15 - Resultados da laminação [55/-55/-55/55/Liner] (105 kPa).
H(m)  (º)
Teoria Clássica da Laminação
MEF - ABAQUS
MEF - Unidimensional
S11
S22
S12
S11
S22
S12
S11
S22
S12
0.002
55
5.780
0.427
0.215
5.730
0.424
-0.214
5.86
0.338
-0.230
0.002
-55
5.780
0.427
-0.215
5.730
0.424
0.214
2.81
0.349
0.226
0.002
-55
5.780
0.427
-0.215
5.730
0.424
0.214
5.76
0.360
0.223
0.002
55
5.780
0.427
0.215
5.730
0.424
-0.214
5.72
0.370
-0.220
7.180
13.40
0.000
7.120
13.30
0.000
6.97
13.20
0.000
0.002 Liner
Tabela 3.16 - Resultados da laminação [90/0/0/90] (105 kPa).
H(m)  (º)
Teoria Clássica da Laminação
MEF - ABAQUS
MEF - Unidimensional
S11
S22
S12
S11
S22
S12
S11
S22
S12
0.004
90
7.360
1.030
0.000
7.300
1.020
0.000
7.480
0.939
0.000
0.001
0
11.00
0.796
0.000
10.90
0.789
0.000
10.90
0.746
0.000
0.001
0
11.00
0.796
0.000
10.90
0.789
0.000
10.90
0.743
0.000
0.004
90
7.360
1.030
0.000
7.300
1.020
0.000
7.200
0.984
0.000
Tabela 3.17 - Resultados da laminação [45/-45/-45/45] (105 kPa).
H(m)  (º)
Teoria Clássica da Laminação
MEF - ABAQUS
MEF - Unidimensional
S11
S22
S12
S11
S22
S12
S11
S22
S12
45
5.490
1.460
1.510
5.530
1.450
-1.500
5.710
1.390
-1.540
0.001 -45
0.001 -45
16.80
0.748
-1.510
16.70
0.742
1.500
16.80
0.690
1.530
16.80
0.748
-1.510
16.70
0.741
1.500
16.70
0.699
1.520
45
5.490
1.460
1.510
5.360
1.460
-1.500
5.250
1.430
-1.510
0.004
0.004
Os resultados para as três laminações foram bons e mostraram que a Teoria
Clássica da Laminação (TCL), apesar de fazer várias simplificações adicionais, fornece bons
resultados para tubos de parede fina, com erros máximos da ordem de 4%. É importante
ressaltar que, com o aumento da espessura, os resultados obtidos pela TCL se tornam
39
insatisfatórios, enquanto que métodos de análise por elementos finitos fornecem bons
resultados também para tubos espessos.
A comparação com o elemento de casca espessa do programa ABAQUS também
forneceu boa concordância, mais notadamente com os resultados obtidos pela TCL. Vale
ressaltar que a diferença observada no sinal das tensões de cisalhamento S12 se deve à
convenção de sinais adotada no modelo de análise pela TCL. Tal diferença é irrelevante na
avaliação de critérios de falha, que desconsideram o sinal de tensões de cisalhamento.
40
4
OTIMIZAÇÃO DE TUBOS LAMINADOS
Compósitos laminados apresentam alta adaptabilidade de projeto, tornando
possível a concepção de estruturas específicas para as cargas que irão receber (AZARAFZA
et al., 1996). Porém, tendo em vista o elevado número de variáveis de projeto presentes em
tubos compósitos, o número de lâminas e a espessura e orientação de cada lâmina, a
concepção de projetos pelo método convencional de tentativa e erro pode se tornar uma tarefa
árdua e demorada. Como exemplo de utilização do processo convencional de projeto em
tubos compósitos, cita-se o trabalho de Teófilo (2010), no qual um projeto de riser compósito
em catenária foi desenvolvido e várias laminações foram propostas antes que se chegasse a
uma com comportamento mecânico satisfatório.
Neste âmbito, o uso de técnicas de otimização de projetos torna-se importante,
notadamente com o atual avanço do poder computacional, permitindo a aplicação de
algoritmos não-lineares e iterativos, como os Algoritmos Genéticos e técnicas de
Programação Matemática. Assim, a presente seção faz uma revisão sobre otimização e
Programação Matemática e descreve a formulação do problema de otimização para tubos
compósitos. Para a análise estrutural de cada projeto, o elemento finito unidimensional
discutido na Seção 3 será utilizado. Ao final da seção, exemplos numéricos serão
apresentados.
4.1
Conceitos de Otimização
O uso de técnicas de otimização de sistemas busca racionalizar a etapa de projeto,
tradicionalmente deixada a cargo da experiência do projetista. No processo convencional de
projeto, apresentado na Figura 4.1, um projeto inicial é estimado, baseado em experiências
pessoais ou em regras de pré-dimensionamento. O projeto é então analisado e se for
satisfatório para as funções que exercerá, a etapa de projeto é finalizada. Caso não o seja, são
feitas mudanças também baseadas na experiência do projetista até que o projeto se torne
satisfatório.
41
Figura 4.1 – Processo convencional de projeto.
O projeto obtido pelo método tradicional, apesar de ser satisfatório, pode não ser o
mais econômico ou estruturalmente eficaz. Em um processo otimizado de projeto,
apresentado na Figura 4.2, um projeto inicial é também estimado, mas as mudanças no mesmo
são realizadas por algoritmos de otimização.
42
Figura 4.2 – Processo otimizado de projeto.
Nota-se que, em um processo otimizado, a participação do projetista e sua
experiência não são descartados. Sua participação é importante tanto na estimativa do projeto
inicial quando na avaliação do projeto final obtido. Nota-se que neste tipo de projeto, o
projetista é forçado a descrever minuciosamente o problema, através das variáveis de projeto,
função-objetivo e restrições. Tal formulação mais rígida ajuda a fornecer um melhor
entendimento do problema tratado (ARORA, 2004).
Assim, considera-se que a etapa mais importante em um projeto otimizado é sua
definição e formulação, isto é, a correta escolha das variáveis de projeto, restrições e funçãoobjetivo. Segundo Arora (2004), a validade e utilidade de um projeto ótimo têm relação direta
com a qualidade da formulação do problema. A seguir, os elementos de uma formulação de
otimização serão apresentados e discutidos.
4.1.1 Variáveis de Projeto
De modo a descrever e individualizar cada projeto concebido durante o processo
de otimização, um conjunto de variáveis de projeto é escolhido. Tais variáveis devem
descrever todas as características do sistema que sejam pertinentes para a etapa de projeto.
43
Durante o processo de otimização, valores quaisquer podem ser atribuídos a tais variáveis. Ao
atribuir valores a todas elas, obtém-se um projeto. O conjunto de variáveis de projeto pode ser
representado por
x  x1 x2  xn 
(4.1)
As variáveis devem ser escolhidas de modo a evitar dependência com outras
variáveis. Caso duas variáveis sejam linearmente dependentes, uma delas pode ser removida
do conjunto ou uma restrição de igualdade pode ser estabelecida entre as duas. Ressalta-se
também que um número mínimo de variáveis de projeto deve ser utilizado. Caso alguma
variável importante seja omitida, o projeto final pode não ter a importância prática que se
deseja.
4.1.2 Função Objetivo
Com várias possibilidades de projeto, é necessário definir um parâmetro que
represente a qualidade de cada um. Tal parâmetro recebe o nome de Função Objetivo, ou
Função Custo, e é uma função escalar que depende dos valores escolhidos para as variáveis de
projeto. Tal função pode ser definida como
f (x)  f ( x1 , x2 ,, xn )
(4.2)
Tal função pode representar o custo total do projeto, o peso total de uma estrutura,
o lucro obtido, entre outros. O objetivo da otimização é, portanto, minimizar ou maximizar a
função objetivo, dependendo de como é definida. Assim, o peso de uma estrutura deve ser
minimizado enquanto que o lucro deve ser maximizado.
4.1.3 Restrições
Restrições são funções que dependem das variáveis de projeto e representam
requisitos de projeto ou limitações de fabricação. Em engenharia estrutural, restrições podem
ditar que o fator de segurança em tensões seja sempre maior que 1 ou que a frequência das
cargas não sejam próximas às frequências naturais da estrutura. Além disso, limites superiores
e inferiores de cada variável de projeto também podem ser tratados como restrições.
Restrições podem ser tanto relações de igualdade como de desigualdade:
h j (x)  h j ( x1, x2 ,, xn )  0 com j  1.. p
g i (x)  g i ( x1 , x2 ,, xn )  0 com i  1..m
(4.3)
44
onde hj são as p restrições de igualdade e gi são as m restrições de desigualdade. Na forma
padrão de formulação de problemas de otimização, apenas restrições do tipo "≤" são
utilizadas. Caso existam restrições do tipo "≥", elas são multiplicadas por -1 e passam a ser do
tipo "≤".
Para um dado projeto x, uma restrição é considerada ativa se for satisfeita na
igualdade, isto é, se gi(x) = 0 ou hj(x) = 0. Por sua vez, uma restrição de desigualdade é
considerada inativa se possui valor negativo no dado ponto, ou seja, gi(x) < 0. Por fim, uma
restrição é considerada violada se possui valor positivo no ponto para restrições de
desigualdade ou valores não-nulos para restrições de igualdade, isto é, quando gi(x) > 0 ou
hj(x) ≠ 0.
Pode-se então definir região viável e inviável. A região inviável é composta por
todos os pontos x nos quais pelo menos uma restrição esteja violada. Qualquer projeto nessa
região é denominado Projeto Inviável. Analogamente, a região viável é composta por todos os
pontos x nos quais todas as restrições de igualdade estejam ativas e todas as restrições de
desigualdade estejam ativas ou inativas. Um projeto na região viável é denominado Projeto
Viável. A Figura 4.3 a seguir ilustra tais regiões, em um problema com duas variáveis de
projeto.
(a) Sem restrições de igualdade
(b) Com restrições de igualdade
Figura 4.3 – Regiões viáveis e inviáveis.
É importante ressaltar que, na Figura 4.3a, a região viável compreende um espaço
bem maior que a da Figura 4.3b. Com isso, pode-se concluir que restrições de igualdade
restringem mais a região viável que restrições de desigualdade.
45
Após a definição das variáveis de projeto, função objetivo e restrições, a forma
padrão de um problema de otimização pode ser dada por (ARORA, 2004):
Encontrar x  ( x1 , x2 ,  , xn )
que minimize : f (x)  f ( x1 , x2 ,  xn )
sujeito a :
h j (x)  h j ( x1 , x2 ,  xn )  0 j  1.. p
(4.4)
g i (x)  g i ( x1 , x2 ,  xn )  0 i  1..m
xk ( min )  xk  xk ( max )
k  1..n
Para problemas nos quais a função objetivo deva ser maximizada, pode-se
multiplicá-la por -1 e minimizá-la, deixando o problema na forma padrão.
4.1.4 Classificação de Problemas de Otimização
A partir da definição das variáveis de projeto, da função objetivo e das restrições
de um problema, é necessário escolher o método de otimização a ser utilizado para resolvê-lo.
Tal escolha, porém, depende da natureza da função objetivo e das restrições. Assim, tem-se:
a) Problemas Lineares: São problemas nos quais tanto a função objetivo quanto as restrições
possuem apenas termos lineares. Tais problemas são tratados pelos métodos de
Programação Linear;
b) Problemas Quadráticos: São problemas nos quais a função objetivo é quadrática e as
restrições são lineares. São resolvidos por métodos de Programação Quadrática;
c) Problemas Não-Lineares: São problemas nos quais a função objetivo ou pelo menos uma
restrição é não-linear. Tais problemas são mais complexos e devem ser resolvidos pelos
métodos de Programação Não-linear.
Como o problema de otimização de tubos compósitos é não-linear, as próximas
seções tratarão exclusivamente de métodos de Programação Não-linear. A Tabela 4.1 a seguir
mostra alguns métodos disponíveis para a resolução de problemas lineares e não-lineares.
46
Tabela 4.1 - Alguns algoritmos de otimização.
4.2
Condições de Otimalidade
A presente seção mostrará as definições de mínimo global e local, as condições de
existência de tais mínimos e as condições necessárias e suficientes para que um ponto seja
mínimo local.
4.2.1 Vetor Gradiente e Matriz Hessiana
Nas demonstrações que seguem, dois importantes operadores, vetor gradiente e
matriz Hessiana, devem ser formulados. O vetor gradiente, quando aplicado em otimização, é
o vetor de ordem n contendo as derivadas de primeira ordem de uma função em relação às
variáveis de projeto:
 f
f
f 
f  

(4.5)

xn 
 x1 x2
Já a matriz Hessiana é a matriz quadrada de ordem n contendo as derivadas de segunda ordem
da função em relação às variáveis de projeto:
 2 f
 2
  2 x1
  f
2
 f   x x
 2 1
 2
  f
 x x
 n 1
2 f
x1x 2
2 f
 2 x2

2 f
x n x 2
2 f 

x1x n 
2 f 

x 2 x n 


 
2 f 

 2 x n 

(4.6)
47
4.2.2 Mínimos Locais e Globais
Para a definição de mínimos locais e globais, é necessário formalizar a definição
de espaço viável apresentada no Item 4.1. Segundo Arora (2004), tal espaço pode ser
representado por:
S  x | h j (x)  0, j  1.. p; g i (x)  0, i  1..m
(4.7)
Um dado ponto x* dentro do espaço S é definido como mínimo global se, para
todos os pontos x de S:
f (x *)  f (x)
Já em uma vizinhança N do ponto x*, definida por:
(4.8)
N  x | x  S com x x*   
(4.9)
o ponto x* será um mínimo local se a Eq. (4.8) for satisfeita para todo x em N. As condições
de otimalidade apresentadas a seguir só garantem que o ponto em questão é um mínimo local.
Assim, não existem condições que garantam que um dado ponto é um mínimo global. Porém,
a existência de tais mínimos pode ser garantida. Segundo o Teorema de Weierstrass, se f(x)
for contínua, fechada e limitada em uma região viável não-vazia S, a função possui um
mínimo global em S. Adicionalmente, se f(x*) é um mínimo local de uma função f(x) em um
espaço S convexo, tal ponto é também um mínimo global (ARORA, 2004).
4.2.3 Mínimos Locais - Condições Necessárias
Para checar se um ponto é candidato a ponto de mínimo ou encontrar o conjunto
de candidatos a mínimo, utilizam-se as condições de Karush-Kuhn-Tucker, ou condições
KKT (ARORA, 2004). Inicialmente, todas as restrições de desigualdade são transformadas
em restrições de igualdade pela adição de variáveis de folga si:
g i  si2  0 , i  1..m
Define-se então a chamada Função Lagrangeana:
p
m
j 1
i 1
L(x, v, u, s)  f (x)   v j h j (x)   ui ( g i (x)  si2 )
(4.10)
(4.11)
onde vj e ui são os multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade,
respectivamente. As condições KKT ditam que, se x* é o mínimo local da função f(x),
existem vetores v* e u* tais que:
48
p
h j m * g i
L
f

  v *j
  ui
0
xk xk j 1 xk i 1 xk
p
m
j 1
i 1
L  f   v*j h j   ui*g i  0 , k  1..n
(4.12)
L
L
L
0
0
0
vi
u j
s j
Além disso, os multiplicadores de Lagrange uj* devem ser positivos e os gradientes das
restrições ativas devem ser linearmente independentes. É importante ressaltar que tal condição
não determina se um ponto é mínimo local, mas sim que o ponto é um candidato a mínimo,
isto é, as condições apresentadas na Eq. (4.12) são necessárias, mas não suficientes para dizer
que um dado ponto é mínimo local.
4.2.4 Mínimos Locais - Condições Suficientes
Para determinar se um ponto candidato a mínimo, isto é, que satisfaça as
condições necessárias mostradas na Eq. (4.12), é um mínimo local, condições adicionais
devem ser satisfeitas. Tais condições devem ser satisfeitas em uma vizinhança viável próxima
do ponto candidato, isto é, em um ponto genérico x tal que
(4.13)
x  x*  d
onde d é uma direção não-nula qualquer em torno do ponto x*. Para garantir que o ponto x
também é viável, este deve respeitar todas as restrições ativas no ponto x*. Para isso, o vetor
d deve ser ortogonal ao gradiente de tais restrições. Para restrições de igualdade, tal condição
é representada por
hTj d  0 , j  1.. p
já para restrições de desigualdade, a condição será
(4.14)
g iT d  0
(4.15)
Tal condição deve ser satisfeita apenas para as restrições ativas com ui* > 0. Satisfeitas as
duas condições anteriores, d sempre levará a um ponto viável no espaço de projeto. No ponto
x*, a Hessiana da função Lagrangeana é:
p
m
i 1
i 1
 2 L   2 f   v *i  2 hi   u *i  2 g i
(4.16)
Para que x* seja mínimo local, a seguinte condição deve ser satisfeita, isto é, a Hessiana da
função Lagrangeana deve ser positiva definida:
d T  2 L(x *) d  0
(4.17)
49
Satisfeitas as condições mostradas em (4.14), (4.15) e (4.17), um ponto x* que já tenha
satisfeito as condições mostradas no item 4.2.3, é um mínimo local de f(x). Caso f(x) seja
convexa, tal ponto será seu único mínimo global.
As condições necessárias e suficientes podem ser diretamente utilizadas para
encontrar os candidatos a mínimo e, posteriormente, o mínimo local de uma função. Porém,
com o aumento no número de restrições e não-linearidade tanto da função objetivo quanto das
restrições, tal procedimento é inviável na maioria dos casos. Recorre-se, portanto a métodos
de Programação Matemática, como exposto no item 4.1.4.
4.3
Programação Não-Linear
Métodos de Programação Não-Linear, como descrito no item 4.1.4, são utilizados
em problemas nos quais a função objetivo ou restrições apresentam não-linearidade. Tais
problemas seriam muito trabalhosos se as condições de otimalidade do item 0 fossem
utilizadas para encontrar diretamente os mínimos. Além disso, restrições implícitas, isto é,
que não podem ser representadas como funções diretas das variáveis de projeto, são de difícil
tratamento em métodos analíticos.
A solução encontrada foi resolver o problema de otimização numericamente e de
forma iterativa. Assim, parte-se de um ponto inicial e a solução é melhorada iterativamente
até que o mínimo seja encontrado. Em um dado passo da resolução, o processo pode ser
resumido por
(4.18)
x ( k 1)  x ( k )   x ( k )
(k)
(k+1)
onde x é a solução atual para o problema. O próximo ponto, x
é encontrado adicionando
a esse ponto uma variação Δx(k), denominada passo. Tais passos são realizados até que as
condições de otimalidade sejam satisfeitas ou Δx(k) seja menor que uma certa tolerância. O
passo Δx(k) pode ainda ser decomposto em dois fatores:
onde d(k)
 x(k )   k d(k )
(4.19)
é uma direção de busca que cause redução da função objetivo e αk é o tamanho do
passo dado em tal direção.
Assim, um problema de Programação Não-Linear é dividido em dois
subproblemas, encontrar a direção de busca e, posteriormente determinar o tamanho do passo,
isto é, o quanto a solução deve caminhar naquela direção. O que diferencia algoritmos de
programação matemática são os métodos utilizados para resolver tais subproblemas.
50
Geralmente, para encontrar a direção de busca e o tamanho do passo em cada
iteração, os algoritmos utilizam informações sobre a função objetivo e restrições. Algoritmos
de ordem zero são aqueles que utilizam apenas os valores da função objetivo e restrições. Já
algoritmos de primeira ordem utilizam também as derivadas de tais funções. Por fim,
algoritmos de segunda ordem utilizam as derivadas segundas das funções. Alguns algoritmos
são mostrados na Tabela 4.1.
Quanto maior a ordem do algoritmo, mais rápida será a convergência, mas mais
complexa será a obtenção das informações necessárias para sua resolução. De modo a
contornar tal dificuldade, métodos chamados de Quase-Newton foram desenvolvidos. Em tais
métodos a Hessiana não é calculada em cada ponto candidato, mas sim aproximada a partir
dos gradientes de passos anteriores. Assim, tais métodos retêm a boa convergência
característica de métodos quadráticos, sem considerável ganho na complexidade.
Na resolução do problema de tubos laminados, foi utilizado um algoritmo de
Programação Quadrática Sequencial (Sequential Quadratic Programming - SQP). Por serem
necessárias informações de segunda ordem, a matriz Hessiana é aproximada e atualizada a
cada passo. Utilizando os dados coletados sobre a função objetivo e restrições, um
subproblema quadrático é montado e resolvido para obter a direção d(k). Utiliza-se então a Eq.
(4.19) para encontrar um novo ponto e continuar o processo até que os parâmetros de
convergência sejam atingidos.
4.4
Formulação do Problema de Tubos Compósitos
A presente seção apresenta a formulação do problema de otimização de tubos
compósitos laminados, com a descrição das variáveis de projeto, função objetivo e restrições
escolhidas. Para a resolução de tal problema, qualquer método de programação não-linear
pode ser utilizado, além de outros tipos de solução, como os algoritmos genéticos. No
problema em questão, métodos de programação linear não podem ser utilizados, devido à
presença de restrições não-lineares.
Adicionalmente, as variáveis de projeto podem ser contínuas ou discretas. Todos
os casos tratados nos exemplos numéricos deste trabalho usam variáveis contínuas. Apesar de,
na realidade, os ângulos e espessuras de lâminas permitidas serem discretos, sua consideração
introduziria restrições adicionais ao problema de otimização. O ideal, portanto, é tratar
51
inicialmente o problema com variáveis contínuas e observar seu comportamento sem a
introdução de restrições adicionais (ARORA, 2004).
O problema em questão permite a consideração de cargas axissimétricas, por
utilizar o modelo de análise descrito no Item 3.3. Assim, podem ser consideradas pressões
interna e externa, força axial e momento torsor. Os dados de entrada do problema são o
número de camadas (n), raio interno (Ri), espessuras máxima (hmax) e mínima (hmin) de cada
lâmina e fator de segurança mínimo (FS). Apenas laminados simétricos são tratados na
presente formulação. Assim, observa-se um esquema de laminação simétrico genérico na
Figura 4.4.
Figura 4.4 – Esquema de laminação simétrico.
Assim, as variáveis de projeto do problema são as espessuras e ângulos de
orientação de cada camada:


x  h1 h2  hn 1  2   n 
(4.20)
2
2

Limites superiores e inferiores são impostos às variáveis de projeto, de acordo com os dados
iniciais do problema:
 90º   k  90º
, k  1...n / 2
(4.21)
hmin  hk  hmax
A formulação tem como objetivo minimizar o custo total do tubo, que pode ser
considerado proporcional ao volume total de material compósito. Como a seção transversal é
constante, o custo é proporcional à área de compósito. De modo a reduzir problemas
numéricos e melhorar a convergência do algoritmo, a função objetivo e as restrições foram
normalizadas para que seus valores sejam adimensionais e próximos à unidade. Assim, a
função objetivo é dada por
52
f ( x) 
A  Amin
Amax  Amin
(4.22)
onde os valores Amax e Amin são dados por:

  R

 R ,
2
Amax   Rmax
 Ri2 ,
Rmax  Ri  n hmax
(4.23)
2
2
Amin
R

R

n
h
min
i
min
i
min
De modo a garantir que o projeto seja estruturalmente seguro, são impostas
restrições de resistência e estabilidade. Tubos sujeitos a pressão externa podem flambar como
cascas devido a esforços de compressão circunferenciais. O valor da pressão de colapso para
tubos de parede fina laminados é dada por (WEINGARTEN et al., 1968, VINSON &
SIERAKOWSKI, 2002):
2

B22
3 


D

(4.24)
3  22
A22 
R 
onde R é o raio médio do tubo e D22, B22 e A22 são elementos da matriz de rigidez do tubo
pcol  k p
calculadas pela Teoria Clássica de Laminação (REDDY, 1996; JONES, 1999). O fator kp é
um fator de redução usado para levar em consideração imperfeições geométricas. Geralmente,
é adotado para o mesmo um valor de 0.75 no caso de cascas laminadas.
Para checar a validade da restrição de flambagem, define-se o diferencial de
pressão (Δp), dado pela diferença entre as pressões interna e externa:
p  pi  pe
(4.25)
A flambagem só ocorre se tal relação for negativa. Como o tubo pode estar sujeito a m casos
de carga, como mostrado no item 3.3, a restrição pode ser escrita como:
pcol  pmax , onde pmax  MAX(pl ), l 1,...m
Após normalizada, a restrição toma a forma:
(4.26)
pcol
 0 se Pmax  0
(4.27)
pmax
Para a definição da restrição de resistência, é considerado que o laminado falha
1
quando ocorre a falha da primeira lâmina. Tal metodologia é chamada de First Ply Failure
(FPF). Alternativamente, a redistribuição de tensões após a falha progressiva das lâminas
pode ser levada em consideração, metodologia chamada de Ultimate Laminate Failure.
Utilizando a metodologia FPF, o fator de segurança do laminado é definido como o menor
fator de segurança de todas as lâminas levando em conta todos os casos de carga:
k  1,..., n
SFmin  MIN( SFkl ), onde 
l  1,..., m
Normalizada, a restrição toma a forma:
(4.28)
53
SF
0
(4.29)
SFreq
onde SFreq é o fator de segurança requerido, definido inicialmente. Finalmente, o problema de
1
otimização pode ser escrito matematicamente como:

Encontrar x   h1


h2  hn 1  2   n 
2
2
A  Amin
que minimize f (x) 
Amax  Amin
Sujeito a :
1
pcol
0
pmax
1
SF
0
SFreq
 90º   k  90º ,
(4.30)
k  1,..., n/2
hmin  hk  hmax
4.5
Exemplos
A formulação descrita anteriomente foi implementada no programa MATLAB por
Silva et al. (2009), sendo o modelo de elementos finitos 1D descrito no Capítulo 3 utilizado
para a análise estrutural dos tubos. Para a otimização foi utilizada a função fmincon, que
utiliza um algoritmo de Programação Quadrática Sequencial. Para avaliar o fator de segurança
de cada lâmina foi utilizado o Critério de Tsai-Wu, apresentado no Item 2.3.3.
Em todos os exemplos, o número máximo de camadas foi fixado em 4, com
espessura mínima de 1 mm e raio interno de 0.30m. O material utilizado foi o Grafite-Epoxi
T300, cujas propriedades mecânicas são mostradas na Tabela 3.3. Adicionalmente, a Tabela
4.2 mostra os parâmetros de resistência tridimensionais para tal material.
Tabela 4.2 - Parâmetros de resistência tridimensionais do Grafite-Epoxi T300 (GPa).
F1t
1.64
F1c
1.28
F2t
0.08
F2c
0.25
F3t
0.08
F3c
0.25
F4
0.1
F5
10
F6
10
Como o resultado de métodos de Programação Matemática dependem do ponto
inicial adotado, podendo convergir para mínimos locais diferentes do mínimo global, cada
caso foi executado 40 vezes com pontos iniciais gerados aleatoriamente e o resultado com
menor valor da função objetivo foi escolhido como uma aproximação do mínimo global.
54
Inicialmente, foram executados exemplos com casos de carga isolados, tanto para
validar o modelo utilizado quanto para analisar o comportamento dos ângulos de orientação e
espessuras do tubo para cada caso de carga. Foram então executados casos para força axial,
pressão interna, externa e momento torsor. Os resultados são apresentados na Tabela 4.3.
Tabela 4.3 - Resultados para casos de carga isolados.
Variáveis de Projeto
h (m)
Ângulo (º)
Caso de Carga
N = 20MN
pi = 20MPa
pe = 5MPa
T = 3MNm
Restrições
FS
pcol
[0.002154 / 0.001046]s
[0 / 0]s
[0.002009 / 0.001915]s [63.626 / -45.669]s
[0.008424 / 0.001000]s
[90 / 90]s
[0.003386 / 0.002827]s [43.922 / -43.682]s
1.000
1.000
5.506
1.000
Área (m2)
Fobj
0.0122
0.0149
0.0366
0.0239
0.109
0.146
0.428
0.263
1.000
-
Observa-se que, apenas no caso da pressão externa a restrição de pressão de
colapso está ativa. Tal fato era esperado, tendo em vista que a flambagem como casca só pode
ser gerada pela presença de pressão externa. Assim, em tal caso, os ângulos de orientação
tendem a 90º e as espessuras das camadas internas aumentam drasticamente. Em todos os
outros casos, a restrição de fator de segurança estava ativa.
Nota-se também que a função objetivo possui seu menor valor no caso da força
axial isolada, com as fibras se alinhando com a direção de aplicação da carga. Assim, a
espessura de tal caso diminui consideravelmente. Por fim, nos casos de pressão interna e
momento torsor, as fibras tendem a assumir ângulos de ±45º, com maiores espessuras no caso
de momento torsor isolado.
O próximo conjunto de exemplos trabalha com múltiplos casos de carga,
representados pelos Casos A e B. No primeiro exemplo, apresentado na Tabela 4.4, o Caso A
representa pressão externa fixada em 5 MPa enquanto o Caso B consiste numa força axial
variável.
Tabela 4.4 - Caso A: pext = 5 MPa; Caso B: Força axial variável.
Variáveis de Projeto
N
(MN)
h (m)
Ângulo (°)
20
30
40
50
60
[0.005617 / 0.004039]s
[0.003891 / 0.006393]s
[0.002648 / 0.008730]s
[0.005235 / 0.010000]s
[0.008424 / 0.010000]s
[90 / 0]s
[90 / 0]s
[90 / 0]s
[44.690 / -2.487]s
[-31.742 / 6.4560]s
FS
Caso A Caso B
16.042
10.308
7.080
4.462
5.115
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
Pcol
Área
(m²)
Fobj
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
0.0375
0.0401
0.0445
0.0603
0.0737
0.441
0.474
0.531
0.738
0.912
55
Inicialmente, o FS devido à pressão externa encontrava-se bem acima do
requerido. Porém, como o FS do Caso B está sempre ativo, a espessura do tubo vai
aumentando com o aumento da força axial, causando aumento na função objetivo. Com tal
aumento, o FS do Caso A vai diminuindo, mas não chega a se tornar ativo. A partir de 50 MN
de força axial, os ângulos de orientação começam a diminuir, aproximando-se de uma
situação com força axial isolada. Em todos os casos, a restrição de flambagem encontra-se
ativa.
No segundo exemplo, apresentado na Tabela 4.5, o Caso A continua sendo uma
pressão externa fixada em 5 MPa, com o Caso B sendo uma pressão interna variável.
Tabela 4.5 - Caso A: pext = 5 MPa; Caso B: Pressão interna variável.
Variáveis de Projeto
pint
(Mpa)
20
30
40
50
60
h (m)
Ângulo (º)
[0.008429 / 0.001000]s
[90 / +20.497]s
[ 0.008160 / 0.001265]s
[90 / 0]s
[ 0.007372 / 0.002086]s
[90 / 0]s
[0.005814 / 0.003936]s [±81.759 /  16.788]s
[0.005752 / 0.005682]s [±62.408 /  47.258]s
FS
Caso A Caso B
7.162
10.797
14.966
16.694
18.639
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
Pcol
Área
(m²)
Fobj
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
0.0367
0.0367
0.0368
0.0380
0.0448
0.429
0.429
0.430
0.446
0.535
Novamente, a restrição de flambagem está sempre ativa, assim como o FS do
Caso B. Como tal fator está ativo, ocorre uma mudança na orientação das fibras com o
aumento da pressão interna, tendendo a um caso de pressão interna isolada. Com tal mudança,
o FS do Caso A aumenta gradualmente.
No terceiro exemplo, novamente manteve-se uma pressão externa constante de 5
MPa como o Caso A e variou-se o momento torsor no Caso B. Os resultados são apresentados
na Tabela 4.6.
Tabela 4.6 - Caso A: pext = 5 MPa; Caso B: Momento torsor variável.
Variáveis de Projeto
T
(MNm)
h (m)
Ângulo (º)
3
5
7
9
[0.005213 / 0.004704]s
[0.006457 / 0.005321]s
[0.008001 / 0.006495]s
[0.001000 / 0.008584]s
[-75.694 / 58.635]s
[55.599 / -56.472]s
[42.605 / -41.857]s
[41.667 / -40.563]s
FS
Caso A Caso B
7.737
18.426
6.513
7.636
1.0
1.0
1.0
1.0
Pcol
Área
(m²)
Fobj
1.0
1.0
1.0
1.926
0.0386
0.0461
0.0573
0.0744
0.455
0.553
0.698
0.921
Neste caso, como o FS do Caso B manteve-se ativo, a espessura foi aumentando
com o aumento do momento torsor, ao mesmo tempo que os ângulos de orientação foram
56
tendendo ao caso de momento torsor isolado. Com tais modificações, no caso de T = 9 MNm,
a restrição de flambagem já se encontrava inativa. Nota-se também que a função objetivo
atingiu valores elevados devido ao aumento considerável na espessura do tubo.
No último exemplo, apresentado na Tabela 4.7, o Caso A corresponde a uma
pressão interna fixa de 20 MPa e o Caso B consiste numa pressão externa variável.
Tabela 4.7 - Caso A: pint = 20 MPa; Caso B: Pressão externa variável.
Variáveis de Projeto
pext
(MPa)
h (m)
Ângulo (º)
5
10
15
20
25
30
[0.008429 / 0.001000]s
[0.010000 / 0.001988]s
[0.010000 / 0.003845]s
[0.010000 / 0.005326]s
[0.010000 / 0.006546]s
[0.008498 / 0.009081]s
[90 / ±20.497]s
[±89.892 /  38.041]s
[±89.198 /  51.465]s
[±88.352 /  62.725]s
[±88.123 /  73.240]s
[90 / 90]s
FS
Caso A Caso B
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.002
7.1622
4.0048
2.7035
2.0658
1.6907
1.4449
Pcol
Área
Fobj
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
0.0367
0.0470
0.0546
0.0607
0.0658
0.0702
0.429
0.564
0.663
0.743
0.809
0.866
Com o aumento da pressão externa, o FS do Caso B vai diminuindo, como era de
se esperar. Além disso, os ângulos de orientação tendem à situação de pressão externa isolada.
Durante todo o processo, a restrição de flambagem está ativa, assim como o FS do Caso A.
Nota-se que as espessuras das camadas internas aumentam para não violar o FS do Caso A e,
com isso, a função objetivo aumenta. Ressalta-se que os sinais positivos e negativos nos
ângulos de orientação indicam que tanto podem surgir ângulos positivos como negativos
como projetos ótimos.
De modo a observar a evolução do processo de otimização, estudam-se os valores
da função objetivo e da máxima violação de restrição a cada passo do mesmo. A Figura 4.5
mostra tais variações para um exemplo com pint = 20 MPa e pext = 20 MPa.
57
Figura 4.5 – Evolução do processo de otimização (pint = 20 MPa, pext = 20 MPa).
Para tal caso, nota-se que o ponto inicial, escolhido aleatoriamente, era inviável,
pois a violação de restrições é positiva. O algoritmo então corrige o ponto inicial, trazendo-o
para a região viável e tornando a violação nula a partir da terceira iteração. O processo então
converge rapidamente, com o valor ótimo encontrado por volta da décima iteração. O
próximo exemplo é de um caso com pext = 5 MPa e N = 30MN, mostrado na Figura 4.6.
Figura 4.6 – Evolução do processo de otimização (pext = 5 MPa, N = 30MN).
58
Nesse exemplo, o ponto inicial é também inviável. Com a correção, o ponto passa
para o espaço viável e a violação diminui gradativamente. Na décima iteração, ocorre uma
súbita queda da função objetivo. Porém, como tal queda é acompanhada por uma violação de
restrição, até a iteração 15 o valor da função objetivo aumenta. Assim, embora o projeto
obtido na décima iteração tivesse menor custo total, sua viabilidade estava comprometida. Tal
fato demonstra o papel das restrições em diminuir o espaço viável de projeto. Por fim, analisase um caso com pext = 5 MPa e T = 9 MNm, mostrado na Figura 4.7.
Figura 4.7 – Evolução do processo de otimização (pext = 5 MPa, T = 9MN).
Nota-se que, neste exemplo, o algoritmo convergiu para um projeto inviável,
apesar do grande número de iterações. Tal fato é evidenciado pelo valor sempre positivo da
violação de restrição. Neste caso, ressalta-se a importância de escolher um bom ponto inicial
para o processo. Como os pontos escolhidos foram aleatórios, utilizam-se vários pontos
iniciais e considera-se que o ótimo seja o resultado com menor função objetivo, respeitadas
todas as restrições.
59
5
CONCLUSÕES
Neste trabalho foram apresentadas duas formulações de elementos finitos distintas
para análise de tubos laminados de material compósito reforçados por fibras. A primeira
sendo um elemento axissimétrico bidimensional com 3 graus de liberdade por nó e a segunda
um elemento unidimensional de 1 grau de liberdade por nó e 2 graus de liberdade globais.
Apesar de nenhuma das formulações apresentadas ser capaz de receber cargas de flexão, elas
são importantes no pré-dimensionamento de tubos compósitos, etapa na qual os esforços de
maior importância são pressões interna e externa, força axial e momento torsor.
A formulação unidimensional apresenta esforço computacional reduzido, devido à
consideração de um Estado Plano Generalizado de Deformações (EPGD) e, assim, se mostra
eficiente no uso em métodos de otimização. Porém, o elemento bidimensional é importante
para se medir a influência de efeitos de extremidade em tensões, notadamente em laminados
angle-ply e analisar tubos curtos.
Vários exemplos numéricos de tubos cross-ply e angle-ply com e sem liner de aço
foram estudados e os resultados comparados tanto com soluções analíticas quanto com um
elemento tridimensional de casca. Os resultados obtidos pelos elementos implementados se
mostraram confiáveis em todos os exemplos. Porém, é importante ressaltar que, em um dos
tubos, a solução analítica implementada por Herakovich (1998) apresentou resultados
ilógicos, o que merece investigações adicionais.
A formulação do problema de otimização de tubos compósitos laminados foi
também apresentada, considerando como variáveis de projeto as espessuras e ângulos de
orientação das camadas do tubo e procurando minimizar o peso total do mesmo, suposto
proporcional à área de sua seção transversal. Foram impostas ao problema restrições de
resistência e estabilidade, na forma do Fator de Segurança e da Pressão de Colapso,
respectivamente.
Foram apresentados exemplos da formulação de otimização envolvendo tanto
cargas isoladas como cenários de carga combinados. Para todos os casos, a formulação
forneceu bons resultados e permitiu a observação do comportamento da resposta com a
variação nos cenários de carga. De modo geral, mantendo um dos casos de carga constante e
60
aumentando o outro, obtém-se gradualmente uma reposta que tende a uma situação de
aplicação da maior das cargas isoladamente.
Em alguns dos casos analisados, a espessura do tubo aumentou consideravelmente
em resposta ao aumento da carga. Já em outros, ocorreu a mudança na orientação das fibras
sem aumento considerável na espessura. Como a função objetivo depende diretamente das
espessuras das lâminas, a modificação dos ângulos, quando possível, permite adaptar o tubo
ao aumento das cargas sem aumentar significativamente o preço total do projeto.
Analisando os gráficos de progresso da otimização, que relacionam a função
objetivo e a violação máxima de restrição com o número de passos realizados, nota-se a
necessidade de se executar o processo de otimização várias vezes utilizando pontos iniciais
distintos.
Conclui-se que, atualmente, com o aumento no uso de materiais compósitos em
diversas aplicações de engenharia, o desenvolvimento de formulações de análise estrutural e
otimização de projetos para tais estruturas torna-se importante. Neste âmbito, espera-se que
este trabalho traga contribuições relevantes a esta área de pesquisa.
5.1
Sugestões para futuros trabalhos
A utilização das formulações implementadas neste trabalho pode levar a trabalhos
futuros. Como mencionado no Item 4.4, o uso de variáveis contínuas no problema de
otimização, apesar de representar uma situação com menos restrições, na qual se pode
observar o comportamento do problema com mais liberdade, não representa a situação real de
projeto, na qual as variáveis são discretas. Assim, futuros trabalhos podem tratar o problema
de otimização utilizando variáveis discretas.
Adicionalmente, o uso das formulações de análise implementadas podem levar a
trabalhos tratando de estruturas como vasos de pressão. Em tal caso, a consideração de
esforços devidos à mudanças de temperatura deve ser implementada.
61
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