Escola Secundária
de D. Luísa de
Gusmão
Disciplina de Matemática
Professora: Dora Almeida
Trabalho elaborado por:
-Andreia Domingos nº 4
-Cátia Santos nº 7
10ºB
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• O que é o Número de Ouro...............................................pág 3, 4 e 5
• A História do Número de Ouro........................................pág 6 e 7
• Rectângulo de Ouro e Espiral de Ouro.............................pág 7
• Trabalho realizado no GEOMETER'S SKETCHPAD....pág 8
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• Bibliografia e outras fontes............................................. pág 9
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O Número de Ouro é um número irracional que nos surge numa infinidade
de elementos da natureza na forma de uma razão. O seu valor numérico é
aproximadamente de 1,618.
A designação adoptada para este número, Φ ( phi maiúsculo), é a inicial do
nome de Fídias que foi escultor e arquitecto grego encarregado da construção do
Pártenon, em Atenas.
Podemos chegar ao valor de Φ construindo um
rectângulo cujos lados tenham uma razão entre si igual
ao Número de Ouro. Esse rectângulo pode ser, por sua
vez, dividido num quadrado e noutro rectângulo, tendo
também ele a razão entre os dois lados igual ao
Número de Ouro.
Este processo pode ser repetido indefinidamente
mantendo-se a razão constante.
Na Antiguidade
O Número de Ouro é considerado como sendo a “proporção divina” e foi
utilizado ao longo da história, em vários contextos:
Na Grande Pirâmide de Gizé, construída pelos egípcios, o quociente entre a
altura de uma face e a metade da lado da base é quase 1,618;
A Fídias atribui-se a construção do Parténon Grego em Atenas, templo
representativo do século de Péricles, usando o Rectângulo de Ouro ( a razão
entre o comprimento e a largura é o Número de Ouro) na sua base e fachada;
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Euclides, no livro “ Os Elementos”, utilizou o Número de Ouro para construir o
primeiro pentágono regular e os dois sólidos regulares mais complexos, O
dodecaedro( 12 faces pentagonais ) e o icosaedro ( 20 fases triangulares );
Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção da estrela
pentagonal;
Mais recentemente
Apesar do nosso estudo se centrar na Antiguidade podemos referir outras
contribuições para o estudo deste número:
A contribuição de Fibonacci ou Leonardo de Pisa para o Número de Ouro está
relacionada com a solução do problema dos coelhos publicado no seu livro
Liber Abaci, que deu origem à sequência de números de Fibonacci: as sucessivas
razões entre um número e o que o antecede vão-se aproximando do Número de
Ouro;
Frei Luca Pacioli publicou em 1509 um livro com o título de “De Divina
Proportione”, com ilustrações de sólidos platonicos realizados pelo seu amigo
Leonardo Da Vinci, no qual relaciona o Número de Ouro com os polígonos
regulares e os sólidos de Platão;
Kepler baseou a sua teoria cósmica nos cinco sólidos platónicos e na sua relação
com o Número de Ouro;
Le Corbusier( arquitecto francês) e Salvador Dali são dois dos muitos artistas
que utilizaram o Número de Ouro nas suas obras.
O número é também utilizado para desenhar espirais semelhantes às que
encontramos na Natureza, por exemplo no centro dos girassóis, nas pinhas e nos
moluscos náuticos.
Na actualidade algumas construções , como por exemplo, o edifício das Nações
Unidas, em Nova Iorque, e até objectos do dia a dia, como por exemplo o cartão
de crédito, estão ligados ao rectângulo de Ouro e como tal estão ligados ao
Número de Ouro.
Concluindo
Pelo que já foi dito é fácil concluir que este Número é conhecido à muito tempo
e nada tem de sobrenatural. É uma proporção que ocorre com muita frequência
na natureza e é referido como a proporção esteticamente ideal.
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Os artistas da Renascença designaram-no por Número De Ouro. Conhecido
desde a mais romota antiguidade, era visto como símbolo cosmológico e fórmula
mágica. Pelas propriedades de que goza, é chave de diversas construções
geométricas utilizadas, desde há muitos séculos, na Arquitectura;
A proporção que ele traduz é considerada particularmente estética e numerosas
obras-primas da pintura e da escultura inspiram-se nele. O número de ouro é
também chamado Divina Proporção, desde que Fra Luca Paccioli, sob a
influência de Piero de La Francesca, escreveu um livro sobre este número com
desenhos de Leornado Da Vinci ( o primeiro a utilizar a expressão sectia aurea).
MODULOR
No século XX o arquitecto Le Corbusier (1948) fundamentou nas propriedades
do Número de Ouro, o seu MODULOR, espécie de tabela, com medidas padrão,
a ser utilizada nas obras arquitectónicas.
O MODULOR, módulo de ouro, é uma tabela para uso da Arquitectura,
inspirada no número Φ .
Matemática
Matematicamente, o Número de Ouro é a raiz positiva da equação : x 2 − x − 1 = 0 .
É uma dizima infinita não periódica.
Também já vimos que pode ser obtido através da sucessão de Fibonacci, cuja
principal propriedade é que cada termo é a soma dos dois termos que o
antecedem. A razão entre cada termo desta sucessão e o anterior converge
rapidamente para Φ , que se chama limite da sucessão. O seu inverso representa
0,618033 e tem também um papel importante na proporção áurea. O inverso de
Φ é a raiz positiva da equação x 2 + x − 1 = 0 .
Geometricamente e para além do que já foi dito anteriormente, o Número de
Ouro pode ainda ser calculado pela razão entre a diagonal e o lado de um
pentágono regular. Ou seja, pela razão entre uma qualquer das linhas do
pentagrama e a distância entre duas extremidades contíguas do mesmo.
Obviamente estas coincidências
excitam as imaginações e facilitam a
elaboração de especulações esotéricas.
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A História deste enigmático número perde-se na antiguidade. Como já
dissemos, no Egipto as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a
razão áurea: a razão entre a altura de uma face e metade do lado da base da
grande pirâmide é igual ao Número de Ouro. O Papiro de Rhind refere-se a uma
«razão sagrada» que se crê ser Φ . Esta razão ou secção áurea surge em muitas
estátuas da antiguidade.
Construído muitas centenas de anos depois ( entre 447 e 433 a . C.), o Pratenon
Grego, templo representativo do século de Péricles, contém a razão áurea no
rectângulo que contem a fachada, o qual revela a preocupação de realizar uma
obra bela e harmoniosa. O construtor e arquitecto encarregado de construir este
templo é o já referido Fídias.
Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção do seu símbolo:
A estrela pentagonal.
Apesar do seu nome só ter surgido dois mil anos depois, pensa-se que foi um dos
primeiros números irracionais conhecidos.
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Os gregos consideraram que o rectângulo cujos lados apresentavam esta relação
apresentava uma especial harmonia estética e consideravam essa harmonia como
uma virtude excepcional.
Endoxus foi um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua teoria
das proporções e ao método da exaustão. Criou uma série de teoremas gerais de
geometria e aplicou o método de análise para estudar a secção que se acredita ser
a secção de ouro.
RECTÂNGULO DE OURO
Se desenharmos um rectângulo cuja razão entre os comprimentos dos lados
maior e menor é igual ao Número de Ouro obtemos um rectângulo de ouro.
O rectângulo de ouro é um objecto matemático que marca forte presença no
domínio das artes, como já referimos, e nomeadamente na arquitectura na
pintura e até na publicidade. Este facto não é uma simples coincidência já que
muitos testes psicológicos demonstraram que o rectângulo de ouro é de todos os
rectângulos o mais agradável à vista.
Até hoje não se conseguiu descobrir a razão de ser dessa beleza, mas a verdade
é que existem inúmeros exemplos onde o rectângulo de ouro aparece. Até
mesmo nas situações mais práticas do nosso dia a dia: bilhetes de identidade,
carta de condução, assim como a forma rectangular de muitos dos nossos livros.
ESPIRAL DE OURO
Como dissemos no inicio do nosso trabalho, é possível dividir um rectângulo de
ouro num quadrado e noutro rectângulo de ouro. Repetindo este processo
infinitamente é possível obter uma espiral de Ouro. Basta desenhar quartos de
circunferência em cada quadrado e reproduzir assim uma espiral que aparece em
alguns exemplos da natureza.
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No laboratório de Matemática construimos rectângulos de ouro e a respectiva
espiral ouro:
DF =16,525 cm
DA =10,213 cm
16,52cm
= 1,618
10,21cm
D
C
F
FE =10,213 cm
CF =6,312 cm
10,21cm
= 1,618
6,31cm
HG =6,312 cm
GE =3,901 cm
HG
= 1,618
GE
HB =3,901 cm
BI =2,411 cm
HB
= 1,618
BI
H
HK =1,490 cm
KT =2,411 cm
K
KT
= 1,618
HK
A
B
U
J
G
V W S
F R
Z S' T
I
E
Escondendo todos os traços auxiliares obtemos a espiral dourada ou logarítmica:
8
• http://semiramis.ewbblog.com.pt/arquivo/167934.html
• http://www.educ.fc.ul.pt./icm/icm2000/icm33/num_ouro.htm
• Diciopédia2003
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