Texto complementar
Algumas técnicas
operatórias (de outros
tempos e de outros lugares)
Ronaldo Nicolai
MATEMÁTICA
1
Matemática
Assunto: Operações
Algumas técnicas operatórias (de outros tempos
e de outros lugares)
Aprendemos na infância – e usamos inúmeras vezes – algoritmos para efetuar as 4 operações elementares: adição, subtração, multiplicação e divisão.
Esses algoritmos estão intrinsecamente ligados ao nosso sistema de numeração, mas podemos nos perguntar: será que são os únicos existentes? Foram sempre usados? São universalmente reconhecidos como
os melhores?
Neste artigo descrevemos algumas técnicas operatórias, de aparência talvez exótica, usadas em outros
tempos e outros lugares. Apresentaremos também pequenas variações dos algoritmos habituais que ajudam a compreender por que estes algoritmos fornecem as respostas desejadas.
Adição
584  97  (500  80  4)  (90  7) 
1 1
58 4
 9 7
68 1
ou
 500  (80  90)  (4  7) 
 500  170  11  500  (100  70)  (10  1) 
 (500  100)  (70  10)  1 
 600  80  1  681
O algoritmo da adição realiza, simultaneamente, a maior parte das operações acima detalhadas.
Multiplicação
a) U
sando uma decomposição como a anterior e aplicando a propriedade distributiva, temos:
584 3 97 5 (500  80  4)  (90  7) 
5 45 000  7 200  360  3 500  560  28
ou, de
modo um
pouco
mais
prático:

3
7
4 5
5 6
5 8
9
2
5 6
5 0
3 6
2 0
0 0
6 4
4
7
8
0
0
0
0
0
8
1
b) Multiplicação em gelosia
Os dois quadros abaixo ilustram o algoritmo em gelosia para efetuar 584 × 97. Não se sabe quando ou onde a
multiplicação em gelosia apareceu, mas a Índia parece ser a fonte mais provável. Lá foi usada pelo menos desde o
século XII e depois parece ter sido levada à China e à Arábia.
◆◆5
◆◆8
7
2
◆◆4
3
6
◆◆5
◆◆8
9
5 4 5
7
7
6
3
5
5
6
2
6
4
◆◆4
3
6
2
8
9
7
8
c) Técnica camponesa ou russa
Foi uma técnica comum na Europa medieval. Chamou-se multiplicação russa pois era supostamente
usada pelos camponeses russos até a 1a Guerra Mundial. A multiplicação de 584 por 97 ilustrará o processo:
97
48
24
12
6
3
1
58 4*
1 16 8
2 33 6
4 67 2
9 34 4
18 68 8*
37 37 6*
584
18688
1 37376
56648
O processo consiste em dividir por 2 um dos fatores (com aproximação para menos, se for ímpar) e,
simultaneamente, dobrar o outro fator. Somam-se os resultados das linhas dobradas onde a correspondente
metade for ímpar. Tente descobrir por que funciona.
Subtração
Várias técnicas podem ser usadas para efetuar uma subtração:
a) Adicionar o mesmo número aos dois termos da subtração:
5 8 7
5 8 4 é o mesmo que, somando 3, efetuar 1 0 0
9
7


4 8 7
Outro exemplo:
304  76  308  80  328  100  228
14
+ 20
b) Podemos também subtrair o mesmo número dos dois termos:
584  97  580  93  500  13  490  3  487
–4
– 80
– 10
c) Quanto devemos acrescentar ao 97 para obter 584?
97
3
100
100
400500
500
 84 584
487
2
d) Quanto devemos tirar de 584 para obter 97?
5844
580
58080500
500400100
100 3 97
487
Divisão
Sabemos que, dados dois números inteiros positivos a e b, existe um único par de números inteiros q e r,
chamados quociente e resto, tais que a = bq + r e 0  r  b. O algoritmo da divisão nos fornece o quociente
q e o resto r.
Em alguns países, como a Inglaterra e os Estados Unidos, o algoritmo inicial para achar q e r é diferente
do nosso. (Também a maneira de dispor a, b, q e r difere um pouco da nossa.)
Vamos exemplificar:
8
7
0
1 0
2 0
7
8
3 1 7
0
2
4
0
3
0

ou começar, por exemplo,
5
7
9
7 7
com 30 no quociente:
0
3 9
 7 2
4
7
5
2
3 9
5
Qualquer número poderia ser colocado no lugar reservado ao quociente desde que o produto deste
número pelo divisor seja menor do que ou igual ao respectivo dividendo. Na prática, o que fazemos é tomar
o maior número possível nessas condições, a fim de abreviar o processo. O quociente da divisão é a soma
dos quocientes parciais.
Mais um exemplo:
37) 10  2  1  13
3 7
5 0 9
509
1 0
 3 7 0
370
2
1 3 9
ou como os americanos
139
7 4
1

e ingleses inscrevem:
74
6 5
1 3
 3 7
65
2 8
37
28
Cada criança, a seu tempo, vai encurtando o processo, chegando eventualmente ao algoritmo usual:
3 1
8

2 3
 1 6
7
 4
3
 3
8
3 1 7
8
3 1 7
3 9
 2 4
ou
7 7
7 7
3 9
5
 7 2
5
Convém observar que o último algoritmo, predominante em nossas escolas, é o que exige um cálculo
mental maior.
NICOLAI, Ronaldo. Algumas técnicas operatórias (de outros tempos e de outros lugares).
Texto cedido pela Sociedade Brasileira de Matemática, publicado originalmente na Revista do Professor de Matemática
(http://www.rpm.org.br/). São Paulo: IME-USP, n. 8, p. 42-45, 1986.
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