Ajustando Uma Reta Usando Mı́nimos Quadrados
Teoria
Queremos minimizar a soma dos quadrados da reta y = a + bx dos pontos (xi , yi ) que descrevem
os dados experimentais.
Essa soma é
n
q=
X
(yi − a − bxi )2 .
i=1
Para obter um ponto de mı́nimo de q é necessário que
∂q
∂q
=
=0
∂a
∂b
ou seja (daqui em frente supomos que os somatórios são de i = 1 a n)
−2
X
(yi − a − bxi ) = 0 e
−2
X
xi (yi − a − bxi ) = 0.
Já que
X
(yi − a − bxi ) =
X
yi −
X
a−
X
bxi =
X
yi − na − b
X
xi
e que
X
xi (yi − a − bxi ) =
X
X
xi y i − a
xi − b
X
x2i
temos o seguinte para de equações (as equações normais), com incógnitas a e b.
na + b
X
xi =
X
yi ,
a
X
xi + b
X
x2i =
X
xi y i
Exemplo Encontre a reta que melhor descreve o seguinte conjunto de pontos
xi
yi
-1,0
-0,1
0,2
1,0
1,000 1,099 0,808 1,000
Solução Já que temos quatro pontos, n = 4 e
X
X
xi = 0, 1,
x2i = 2, 05,
X
yi = 3, 907,
X
xi yi = 0, 0517.
As equações normais são
4a + 0, 10 b = 3, 9070
0, 1a + 2, 05 b = 0, 0517
com solução a = 0, 9773 e b = −0, 0224. Assim, a reta que melhor se ajusta à tabela de pontos é
y = −0, 0224x + 0, 9773.
Obs: Em geral, as fórmulas para a e b podem ser escritas como:
P
a=
b=
y x2i − x xi yi
yi x2i − xi xi yi
=
P 2
P
P 2
n xi − ( xi )2
xi − nx2
P
n
P
P
P
P
xi y i − xi y i
xi yi − nx y
=P 2
P 2
P
P
2
n x i − ( xi )
xi − n( xi )2
P
P
P
1
P
Qualidade do Ajuste
A proporção da variação total dos dados em torno da média é dada pela coeficiente de determinação
(coloquialmente o ”r quadrado”),
P
(a + bxi − y)2
2
r = P
,
(yi − y)2
onde y = yi /n. Quanto mais próxima da unidade estiver r2 , melhor é o ajuste. O numerador de r2
representa a soma dos quadrados dos desvios de cada ponto da reta de ajuste ao ponto médio, y, dos
pontos dados. O denominador de r2 representa a soma dos quadrados dos desvios de cada ponto dado
ao ponto médio, y.
Já qu
X
X
X
(yi − y)2 = (yi − a − bxi )2 + (a + bxi − y)2
P
podemos reescrever r2 como:
2
(yi − y)2 − (yi − a − bxi )2
P
(yi − y)2
P
r −
P
Como
(yi − y)2 =
X
yi2 − 2y
=
X
yi2 − n−1
X
X
yi + n
X
yi
2
podemos também escrever
(yi − a − bxi )2
r =1− P 2
.
P
yi − n−1 ( yi )2
2
P
2
X
y2