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Capítulo 5
Flambagem
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
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Resistência dos Materiais II
Estruturas III
5.1 – Experiências para entender a
flambagem
1) Pegue uma régua escolar de plástico e pressione-a
entre dois pontos bem próximos, um a cinco
centímetros do outro. Você está simulando uma
estrutura em compressão simples. Agora,
pressione dois pontos distantes 15cm um do outro.
Algo começa a aparecer nessa nova posição, é
visivelmente mais fácil criar condições para a
barra começar a encurvar. A barra está começando
a sofrer o fenômeno da flambagem. Faça agora
com pontos distantes a 30cm. Force a régua até a
ruptura. A régua se quebra, pois o plástico é um
material frágil.
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2) Pise em cima de uma lata vazia de refrigerante. Você notará que a lata,
sem se quebrar, amassa. Não quebrou porque, ao contrário do plástico
que é frágil, o alumínio é dúctil e se deforma bastante antes de perder
sua unidade.
Conclusões
Peças comprimidas de grande altura podem flambar, fato que é
reduzido sensivelmente se a altura for pequena.
 Quanto maior for a espessura da peça comprimida, menor a tendência
a flambar.
 Quanto mais flexível for o material
(menor E), mais fácil é a ocorrência da
flambagem.
Deve-se a Leonhard Euler (1744) a primeira formulação de uma
quantificação do limite que se pode colocar uma peça comprimida,
para que ela não flambe.

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5.2 – Carga crítica – fórmula de Euler
para coluna ideal com apoios de pinos
Elementos estruturais compridos e esbeltos, sujeitos a
uma força de compressão axial são denominados
colunas.
Uma coluna ideal é uma coluna perfeitamente reta
antes da carga. A carga é aplicada no centroide da
seção transversal.
A deflexão lateral que ocorre é denominada
flambagem.
A carga axial máxima que uma coluna pode suportar
quando está na iminência de sofrer flambagem é
denominada carga crítica, Pcr.
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d2 y
EI 2  M   Py
dx
d2 y  P 
  y0
2
dx  EI 
Essa equação diferencial linear homogênea de segunda
ordem com coeficientes constantes de solução geral é:
 P 
 P 
y  C1 sen 
x   C2 cos 
x 
 EI 
 EI 
Condições de contorno: y=0 em x=0, C2=0 e y=0 em x=L:
 P 
0  C1 sen 
L 
 EI 
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 P 
0  C1 sen 
L 
 EI 
C1  0  y  0
 P 
sen 
L   0
 EI 
 P 
L   n

EI


n2 2EI
P
L2
n  1,2,3....
O menor valor de P é obtido com n=1, de modo que a carga crítica é:
Pcr 
 2EI
L2
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 2EI
Pcr  2
L
 2E
σcr 
2
 L/i 
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Pcr ⟶ carga crítica ou carga axial
σcr ⟶tensão crítica
E ⟶módulo de elasticidade para o material
I ⟶ menor momento de inércia para a área da seção
transversal
L ⟶ comprimento da coluna sem apoio
 2E( Ai 2 )
Pcr 
L2
 2E
P
 A 
2
 cr  L / i 
I
A
λ=L/i ⟶ índice de esbeltez – medida da flexibilidade
i⟶ menor raio de giração da coluna i 
da coluna
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Gráfico Tensão crítica x λ
 E
P
 A   2
 cr
2
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A coluna sofrerá flambagem em torno do eixo
principal da seção transversal que tenha o menor
momento de inércia
(o eixo menos resistente).
Na coluna da figura ao lado, sofrerá flambagem em
torno do eixo a-a e não do eixo b-b.
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Exercício de fixação
1)Um tubo de aço A-36 com 7,2m de
comprimento e a seção transversal
mostrada ao lado deve ser usado como
uma coluna presa por pinos na
extremidade. Determine a carga axial
admissível máxima que a coluna pode
sofrer flambagem. Resposta: P =228,2kN
crit
E  200GPa
 e  250MPa
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Exercício de fixação
2)Uma coluna de aço A-36 tem 4m de
comprimento e está presa por pinos
em ambas as extremidades. Se a área
da seção transversal tiver as dimensões
mostradas na figura, determine a carga
crítica. Resposta:
E  200GPa
 e  250MPa
Pcrit=22,7kN
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Exemplo 1O elemento estrutural A-36 W200 X 46
de aço mostrado na figura ao lado deve
ser usado como uma coluna acoplada
por pinos. Determine a maior carga
axial que ele pode suportar antes de
começar a sofrer flambagem ou antes
que o aço escoe.
A  5890 mm2 , I x  45,5  106 mm4 , I y  15,3  106 mm4
 e  250MPa, E  200GPa
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Ocorrerá flambagem em torno do eixo y–y (menor):
Pcr 
 2EI
L2

 2(200  103 N / mm2 ) 15,3  106 mm4 
(4000mm)2
 1887,6  103 N  1887,6kN
Quando totalmente carregada, a tensão de compressão média na coluna é:
Pcr 1887,6  103 N
N
 cr 


320,5
 320,5MPa
A
5890 mm2
mm2
Visto que a tensão ultrapassa a tensão de escoamento,
250
N
P

 P  1472,5  103 N  1472,5kN
2
2
mm 5890mm
Resposta: P  1472,5kN
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5.3- Colunas com vários tipos de
apoios
A fórmula de Euler foi deduzida para uma coluna com extremidades
acopladas por pinos ou livres para girar. Todavia, muitas vezes as colunas
podem ser apoiadas de outro modo.
Le é denominado comprimento efetivo da coluna.
Um coeficiente dimensional K, fator de comprimento efetivo, é usado para
calcular Le.
Le  KL
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Portanto, temos, Pcr 
 2EI
 Le 
2
λ=Le/i ⟶índice de esbeltez efetivo
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 cr 
 2E
 Le / i 
2
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Exercício de fixação
3)Determinar a carga crítica se a coluna for engastada na base e presa
por pinos no topo.
Resposta: P =46,4kN
crit
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Exercício de fixação4) O elemento estrutural W200x100 é feito de
aço A—36 e usado como uma coluna de 7,5m
de comprimento. Podemos considerar que a
base dessa coluna está engastada e que o topo
está preso por um pino. Determine a maior
força axial P que pode ser aplicada sem
provocar flambagem. Considere:
E = 200GPa
Ix = 113(106)mm4
Iy = 36,6(106)mm4
σe=250MPa
A=12700mm2
Resposta:
Pcrit=2621,2kN
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5.4 – A fórmula da secante
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d2 y
EI 2  M   P(e  y )
dx
d2 y  P 
P

y   e
dx 2  EI 
 EI 
Essa equação tem solução geral é:
 P 
 P 
y  C1 sen 
x   C2 cos 
x   e
 EI 
 EI 
Condições de contorno: y=0 em x=0, C2=e e y=0 em x=L:
 P 
e[1  cos 
L ]
EI 

C1 
 P 
sen 
L 
 EI 
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Usando identidades trigonométricas:
 P L
C1  e  tg 

EI
2


  P L
 P 
 P  
y  e tg 
x   cos 
x   1
 sen 
  EI 2 
 EI 
 EI  
Deflexão máxima: (x=L/2)
ymáx
  P L 
 e sec 
  1
EI
2
 
 
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 máx 
P Mc

A I
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σmáx ⟶ tensão elástica máxima na coluna
P ⟶ carga vertical aplicada a coluna
M  Pymáx
e ⟶ excentricidade da carga P
  P L 
ymáx  e sec 
  1
  EI 2  
  P L 
M  Pe sec 
  1
  EI 2  
c ⟶ distância do eixo neutro até a fibra
 máx
 máx
externa da coluna onde ocorre a tensão de
compressão máxima
A ⟶ área da seção transversal da coluna
  P L   c Le ⟶ comprimento não apoiado da coluna no
P
  Pe sec 
  1 plano de flexão.
A
EI
2
 I
 
 Le P  
P  ec
 1  2 sec 

A i
2
i
EA


E ⟶ módulo de elasticidade para o material
i⟶ raio de giração
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Gráficos Aço A-36
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Exercício de fixação5) A coluna W8x48 de aço estrutural A-36 está
engastada na base e presa por pino no topo. Se
for submetida à carga excêntrica de 75kip,
determine se ela falha por escoamento.
A
coluna está escorada de modo a não sofrer
flambagem em torno de y-y. Considere:
E = 29(103)ksi
σe = 36ksi
Resposta: não falha
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Exercício de fixação6) Um elemento estrutural W10x15 de aço A-36 é usado como uma
coluna engastada. Determine a carga excêntrica máxima P que pode
ser aplicada de modo que a coluna não sofra flambagem ou
escoamento. Considere:
E = 29(103)ksi
σe = 36ksi
d=9,99in
A = 4,41in2
Ix = 68,9in4
Iy = 2,89in4
ix=3,95in
Resposta: P=36,8kN
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Exercício de fixação7) A coluna de alumínio tem a seção transversal mostrada abaixo. Se
estiver engastada na base e livre no topo, determine a força máxima
que pode ser aplicada em A sem provocar flambagem ou escoamento.
Considere:
E = 70 GPa
σe = 95MPa
Resposta: P=23,6kN