Ensino Superior
Álgebra Linear
1.1 – Revisão de alguns conceitos básicos
Amintas Paiva Afonso
Conceitos
• Escalar
• Vector
• Matriz
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
–
–
–
–
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
2
Conceitos: Vector e Escalar
• Sempre que temos um conjunto E e um corpo K tal
que:
– Está definida uma adição em E que goza das
propriedades associativa, comutativa, existência de um
só elemento neutro (0) e um só elemento simétrico.
– Está definida uma multiplicação de K por E que goza das
propriedades de distribuição relativamente às adições de
E e K, associatividade e elemento neutro (I).
Temos que E é um espaço vectorial relativo ao corpo K, os
elementos de E designam-se por vectores e os de K por
escalares.
3
Exemplificação
• Vectores
 v1 
 u1 
v 
u 
V   2 ; U   2 
  
  
 
 
v
 n
u n 
• Escalar – kn 
(V+U)+T = V+(U+T)
V+U = U + V
V+0=V
V + (-V) = 0
k1(V+U)= k1 V+ k1 U
(k1+ k2)V= k1 V+ k2 V
k1 (k2 U)=(k1 k2 )U
1.V=V
4
Matrizes
 a 11
a
21
A
 

 a i1
a 12
a 22

a i2
 a1 j 
 a 2 j 
  

 a ij 
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
5
Matrizes
 a 11 a 12
a
a 22
21

A
 


 a i1 a i 2
 b11 b12
b
b 22
21

B
 


 b i1 b i 2
 a1 j 
 a 2 j 
  

 a ij 
 b1 j 
 b 2 j 
  

 b ij 
A  B  a mn  b mn ;

m 1, 2 , 3...,i
n 1, 2 , 3...,j
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
6
Matrizes
 a 11 a 12  a 1 j 
a

a

a
21
22
2j

A
 
   


a
a

a
 i1
i2
ij 

a11 a 21  a i1 
a

a

a
12
22
i2 
T

A  A' 
 
   


a
a

a
 1 j
2j
ij 

–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
7
Matrizes
 a 11
a
21
A
 

 a i1
a 12
a 22

a i2
 a1 j 
 a 2 j 
  

 a ij 
Se e só se i  j
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
8
Matrizes
a 11
0
A
 

0
0
a 22

0
0 
 0 
  

 a nn 

–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
9
Matrizes
a
0
E


0
0
a

0




0
0
,a 


a
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
10
Matrizes
1
0
I


0
0
1

0




0

0


1
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
11
Matrizes
 a11 a12
a
a 22
21

A
 


 a n1 a n 2
 a1n 
 a 2 n 
, se a ij  a ji
  

 a nn 
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
12
Matrizes
0 0
0 0
N
 

0 0




0

0


0
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
13
Matrizes
 a 11
a
21

A
 

 a i1
a 12
a 22

a i2
 a1 j 
 a 2 j 
  

 a ij 
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Igualdade de matrizes
Matriz transposta
Matriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidade
Matriz simétrica
Matriz nula
Submatriz
14
Adição de Matrizes
 a11 a 12
a
 21 a 22
 


 a i1 a i 2
 a 11  b11
a  b
21
 21
 

 a i1  b i1
 a 1 j   b11 b12  b1 j 
 a 2 j  b 21 b 22  b 2 j 


    
   
 

 a ij   b i1 b i 2  b ij 
a12  b12  a 1 j  b1 j 
a 22  b 22  a 2 j  b 2 j 


 

a i 2  b i 2  a ij  b ij 
15
Multiplicação de Matrizes por um escalar
 a11 a 12
a
a 22
21


 


 a i1 a i 2
 
 a 1 j   a 11
 a 2 j  a 21

    
 
 a ij   a i1
a 12
a 22

a i 2
 a 1 j 
 a 2 j 

 

 a ij 
16
Multiplicação de Matrizes
 a11 a12
a
 21 a 22
 


a m1 a m 2
 a1n   b11 b12

 a 2 n  b 21 b 22

    
 
 a mn  mn b n1 b n 2
 b1 j 
 b 2 j 

  

 b nj 
nj
...
a11b11  a12 b 21  ...  a1n b n1

...





...
a m1b12  a m 2 b 22  ...  a mn b n 2

 ...
 ...
 

 ... mj
Traço de uma matriz
 a11 a12
a
a 22
21

A
 


a n1 a n 2
 a1n 
 a 2 n 
  

 a nn 
tr(A)  a11  a 22  a 33  ... a nn
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