1º Exame de Sistemas e Sinais
(LEIC – Alameda – 28/06/2008)
Duração: 2h30m
• Resolva os grupos em folhas separadas.
• Identifique todas as folhas com número, primeiro e último nome.
• Justifique todas as respostas.
Grupo 1 (5 valores)
a) Considere o sistema representado pela seguinte equação entrada/saída:
y ( n ) = 0.4 × y ( n − 2 ) + x ( n )
a1) Determine uma representação em Espaço de Estados para o sistema descrito.
A representação que determinou é única? Justifique a sua resposta.(1.5 valores)
a2) Obtenha a resposta impulsiva do sistema, justificando a sua resposta.
Apresente graficamente, os primeiros 5 pontos da resposta.
(1 valor)
a3) Caracterize o sistema quanto às seguintes propriedades: memória,
causalidade, linearidade, invariância temporal e estabilidade. Justifique a sua
resposta.
(1 valor)
n
⎛1⎞
b) Considere que um sistema possui a seguinte resposta impulsiva: h ( n ) = ⎜ ⎟ × u ( n ) ,
⎝2⎠
(
e que o sinal de entrada x(n) é dado por: x ( n ) = 1 − 0.6
n
) × u ( n ) , em que u(n)
representa o degrau unitário. Determine a saída y(n) do sistema. A resposta do sistema
converge para um valor constante? Se sim, para que valor?
(1.5 valores)
Grupo 2 (4 valores)
a) Descreva, utilizando o diagrama de transição de estados, uma máquina de estados
finitos que possui como alfabeto de entrada o conjunto {0,1,nulo}, e como alfabeto de
saída o conjunto {A,D,nulo}, e cujo o objectivo é detectar “flancos” ascendentes (A) e
descendentes (D) na sequência de entrada. Exemplo: seq. entrada [0010110] , seq. saída
(1.5 valores)
[nulo,nulo,A,D,A,nulo,D].
1
b) Considere as duas máquinas de estado apresentadas na figura seguinte.
ME1
{2}/2
{2}/1
ME2
b
{1}/1
{1}/1
e
{1}/2
{1}/2
a
{2}/2
{2}/1
d
c
{1}/1
{2}/1
b1) Determine a composição em cascata de ME1 seguida de ME2, utilizando o
diagrama de transição de estados. Apresente apenas os estados alcançáveis da
máquina composta.
(1.5 valores)
b2) Determine a composição em realimentação da máquina composta obtida na
alínea anterior, utilizando o diagrama de transição de estados. Apresente apenas
os estados alcançáveis da máquina composta.
(1 valor)
Grupo 3 (6 valores)
a) Considere o sistema descrito pela seguinte equação diferencial:
d 2 y (t )
dt 2
+ 2×
dy ( t )
dt
+ 5 × y (t ) = 2 ×
dx ( t )
dt
,
em que x(t) e y(t) são respectivamente, a entrada e a saída do sistema.
a1) Determine a função resposta em frequência, H(w), do sistema. (1.5 valores)
a2) Se a entrada do sistema for dada por x ( t ) = 2 + 4 × sin ( 2 × π × 5 × t ) ,
(1.5 valores)
determine, em regime estacionário, a saída y(t).
b) Considere o sinal periódico z(t), descrito na figura seguinte. Nota: as coordenadas dos
pontos Pi são descritos pelo par ordenado (t,z(t)).
z(t)
P1=(1,2)
P3=(4,1)
t
P2=(2,-1)
P4=(5,-1)
2
(1.5 valores)
Determine os coeficientes da série de Fourier do sinal z(t).
c) Assuma que um sinal discreto, q(n), possui um período de P = 5 amostras. Sabendo
que os coeficientes da série de Fourier são dados por:
⎧2 ,
⎪ 2
⎪−
⎪ i
⎪
Qk = ⎨-2 ,
⎪2
⎪
,
⎪i
⎪⎩2 ,
se k = −2
, se k = −1
se k = 0
se k = 1
se k = 2
Determine o sinal q(n), e represente graficamente um período do sinal obtido.
(1.5 valores)
Grupo 4 (5 valores)
a) Considere um sistema SLIT, denominado S1, com resposta impulsiva dada por:
n
⎛1⎞
h ( n ) = 2 × ⎜ ⎟ × u ( n ) , em que u(n) representa o degrau unitário.
⎝ 3⎠
Determine a função resposta em frequência do seguinte sistema com realimentação:
x(n)
+
S1
z(n)
y(n)
S2
em que S2: z ( n ) = 3 × y ( n ) .
(1.5 valores)
b) Considere um sinal q(t), que possui como transformada de Fourier a função Q(w).
Relacione a transformada de Fourier de r(t) com Q(w), sabendo que:
r ( t ) = 2 × q ( t − 1) − q ( −t )
(1.5 valores)
3
c) Considere um sinal contínuo, y(t), que possui o seguinte espectro de amplitude:
|Y(w)|
2π
π
-2π×f2
-2π×f1
2π
π
2π×f1
2π×f2
w
em que f1=300 Hz e f2= 700 Hz.
c1) Determine a frequência mínima que pode amostrar o sinal sem ocorrer o
fenómeno de aliasing.
(0.5 valores)
c2) Considere que a frequência de amostragem de y(t), foi a seguinte:
f 2 − f1
. Apresente o espectro de amplitude do sinal discretizado.
2
Justifique numericamente a sua resposta.
(1.5 valores)
Fs = f1 +
4