Militar
Prof. Pacher
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Generalizando para termo de ordem n (n = ao número de
termos da progressão), temos a fórmula geral:
a n = a 1 + ( n-1 )r
DEFINIÇÃO:
Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de números reais,
com a1=primeiro termo, a2=segundo termo, a3=terceiro
termo, assim sucessivamente até o último termo an, é uma
progressão aritmética (PA), se a diferença entre um termo
qualquer a partir do segundo, pelo seu antecessor
imediato, produzir um resultado (resto) constante real,
denominado razão ( r ) da progressão.
r
r
r
.
.
.
r
Matemática
= a2
= a3
= a4
.
.
.
= an
Podemos ter um termo de ordem n relacionado com
qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste caso a
fórmula do termo geral abrangente, é:
a n = a k + ( n-k )r
Por exemplo:
01. Na seqüência (10, 6, 2, ...), calcular o décimo termos.
- a1
- a2
- a3
.
.
.
- a n-1
Resolução:
a n = a 1 + ( n-1 )r
a 10 = a 1 + (10 - 1)r
a 10 = 10 + 9(-4)
a 10 = 10 - 36
a 10 = -26
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
r=a2-a1=6-10 = -4
01. Verificar se a seqüência (2, 4, 6, 8, 10) é uma
progressão aritmética (PA) de razão 2.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA COM TRÊS TERMOS
Resolução
Forma simplificada para a representação de uma
progressão aritmética com três termos em duas variáveis.
r
r
r
r
=
=
=
=
a2
a3
a4
a5
-
a1
a2
a3
a4
= 4–2=2
= 6–4=2
= 8–6=2
= 10 – 8 = 2
A constante 2, obtida pela diferença, conforme mostra
quadro, define a seqüência como uma progressão
aritmética (PA) de razão.
FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( r )
r = a n+1 - a n
Para todo o n pertencente
aos naturais positivos
( x-r, x , x+r )
SOMA DOS
ARITMÉTICA
TERMOS
DE
UMA
PROGRESSÃO
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão aritmética
e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... +an .
Segue a fórmula para o somatório de qualquer progressão
aritmética.
Sn =
(a1 + an )
⋅n
2
n é igual ao número
de termos somados.
an é o último termo.
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Seja r a razão de uma progressão aritmética (PA), temos
que:
1 PA estritamente crescente
r>0
2 PA estritamente decrescente r < 0
3 PA constante
r=0
TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
(PA)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Calcular a soma dos 20 primeiros termos de
progressão aritmética (2, 5, 8, ...).
Resolução:
I) Dados para cálculo da soma: a1=2, n=20 e a20 não foi
fornecido, deverá ser calculado, veja item II.
II) Pela fórmula do termo geral,
A definição de progressão aritmética (PA), sugere que:
a 2 = a 1 + 1r
a 3 = a 1 + 2r
a 4 = a 1 + 3r
a 5 = a 1 + 4r
a 6 = a 1 + 5r
e assim sucessivamente
Atualizada 05/05/2008
a n = a 1 + ( n-1 )r
a 20 = a 1 + ( 20-1 )r
a 20 = 2 + 19x3
a 20 = 2 + 57
a 20 = 59
r=a2-a1=5-2=3
II) A soma dos 20 primeiros termos, S20.
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
1
Militar
Prof. Pacher
b) 34
c) 35
d) 36
e) 37
(a1 + an )
⋅n
2
(2 + 59)
=
× 20
2
= 61×10
Sn =
S20
S20
Matemática
06. Determine o sexto termo de uma seqüência em que
a1=2 e a10=47.
S20 = 610
TESTES
01. Complete as seqüências a seguir, mantendo a
formação lógica.
a) ( 2, 4, 6, 8, a5, a6, a7, a8 )
07.(UFRJ-NCE) Uma prova de 50 questões objetivas foi
elaborada de tal modo que o nível de dificuldade é
crescente; assim, cada
questão vale 2 pontos a mais que a questão anterior. Se o
valor da primeira questão é 1, o número máximo de pontos
que se pode obter nessa prova é:
a)
b)
c)
d)
e)
b) ( 35, 30, 25, 20, a5, a6, a7, a8 )
1 300;
1 325;
2 475;
2 500;
2 525.
c) ( 8, 8, 8, 8, a5, a6, a7, a8 )
08. Quantos números pares existem entre 43 e 535?
02. Determine os seis primeiros termos da seqüência
definidos pela lei de formação
an = 1+ 2n, com n pertencente aos números naturais
diferentes de zero.
03. Determine o 20º termo da seqüência (26, 31, 36,
41,...).
04. Anos bissextos são os múltiplos de 4 que não são
múltiplos de 100 e, além desses, os múltiplos de 400.
Quantos anos bissextos há no conjunto {2015, 2018, 2020,
2100, 2400}?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
09. Calcule a soma dos 20 primeiros termos múltiplos de 3
positivos.
10.(Unifor-CE) Em um restaurante, os preços de três
pratos estão em progressão aritmética de razão R$ 12,00.
Se o primeiro e o segundo prato custam juntos R$ 42,00,
então o segundo e terceiro prato custam juntos:
a) R$ 54,00
b) R$ 60,00
c) R$ 66,00
d) R$ 68,00
e) R$ 70,00
11. Determinar x tal que 2x-3, 2x+1, 3x+1, sejam três
termos de uma progressão aritmética.
05.(NC.UFPR) Em uma progressão aritmética, o 11º termo
excede o 2º em 27. Sabendo-se que o 5º termo é 14,
então o 12º é:
a) 33
2
Atualizada 05/05/2008
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
Militar
Prof. Pacher
Matemática
12. A seqüência: 3y; y+1; 5 é uma progressão aritmética.
Determine a razão.
13. Sabendo que a seqüência (1-3x, x-2, 2x+1,...) é uma
PA, então o 10º termo da PA (5-3x, x+7,...), é:
19. Num programa de condicionamento físico uma pessoa
começa correndo 300 metros num dia, 400 metros no dia
seguinte, 500 metros no próximo dia e assim
sucessivamente até chegar aos dois quilômetros por dia. A
partir de que dia ela estará correndo dois quilômentros por
dia?
20. Determine o sexto termo de uma seqüência em que a1
= 2 e a10 = 47.
14. Em uma progressão aritmética em que a4=12 e a9=27.
Calcular a5.
o
15. Numa progressão aritmética com 51 termos, o 26 é
2. A soma dos termos dessa progressão é:
a) 13
b) 52
c) 102
d) 104
e) 112
16. A respeito das sucessões A e B, podemos afirmar que:
A → -8, -6, -4, ....
B → 17, 14, 11 ....
a)
b)
c)
d)
e)
elas não tem termos iguais.
o 10º termo de A e de B são iguais.
elas tem cinco termos iguais.
o 6º termo de A e de B são iguais.
elas tem sete termos iguais.
17.(UFRJ-NCE) Seja f uma função definida no conjunto
dos números naturais tal que f(n+2)=f(n)+3, para todo
n ∈ N (N=naturais) . Sabendo-se que f(0)=10 e f(1)=5, os
valores de f(20) e f(41), são respectivamente:
a) 40 e 65;
b) 21 e 65;
c) 40 e 62;
d) 21 e 42;
e) 65 e 40.
18. O termo geral de uma progressão aritmética é dado
por an= 3n+7 , n natural positivo. Calcule o valor de a1 e r.
Atualizada 05/05/2008
21.(UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, em
geral, mas a sua caracterização exata é a seguinte: são
anos bissextos aqueles que são divisíveis por 4, mas não
por 100; a exceção a essa regra são os anos divisíveis por
400, que também são bissextos. Assim, o número de anos
bissextos entre 1895 e 2102 é:
a) 50
b) 47
c) 48
d) 49
e) 51
22. (FCC) Assinale a opção que apresenta corretamente o
oitavo termo de
uma PA onde a 5 = 6 e a 17 = 30.
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
23. (AFA) Se a soma dos n primeiros termos de uma
progressão aritmética (PA) é dada pela fórmula
Sn =
3n
2
+n
, então a soma do quarto com o sexto
2
termo dessa PA é
a)
b)
c)
d)
25
28
31
34
24. (EXPCEX) Numa modalidade de corrida, ganha a
equipe que percorre uma determinada distância em menor
tempo, revezando seus atletas a cada 800 metros. A
equipe Verde utilizou a tática de organizar seus atletas na
ordem crescente de suas velocidades. Sabe-se que o
atleta menos veloz dessa equipe gastou 5 minutos no
revezamento e que a diferença de tempo entre dois atletas
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
3
Militar
Prof. Pacher
consecutivos foi sempre de 30 segundos. Sabendo que a
equipe Verde realizou a prova em 26 minutos, a distância
total percorrida foi de
a) 4000 metros.
b) 4160 metros.
c) 6400 metros.
d) 10400 metros.
e) 20800 metros.
25. Numa progressão aritmética com 51 termos, o 26o é
2. A soma dos termos dessa progressão é:
a) 13
b) 104
c) 52
d) 112
e) 102
26.(FAE-PR) Um maratonista inicia um treinamento para
uma prova de 50 km, 40 semanas antes de sua realização.
Na primeira semana de treinamento ele percorre 30 km.
Na segunda semana ele percorre ½ km a mais que na
semana anterior e assim sucessivamente. O maratonista:
a) percorrerá 50 km no treino da 37ª semana;
b) percorrerá 50 km no treino da 38ª semana;
c) percorrerá 50 km no treino da 39ª semana;
d) percorrerá 50 km no treino da 40ª semana;
e) percorrerá 50 km no treino da semana da maratona.
27.(FAE-PR) Em um plano especial de consórcio, uma
pessoa pagará 50 prestações, cujos valores estão em
progressão aritmética totalizando R$ 11.125,00. Concluída
a metade do prazo do plano, o total pago é de R$
4.000,00. Com base nessas informações, qual o valor da
primeira prestação?
a) R$ 97,50
b) R$ 100,00
c) R$ 115,00
d) R$ 160,00
e) R$ 222,50
28. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita
(bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e
formou uma seqüência de “T” (a inicial de seu nome),
conforme a figura
Matemática
29. Um auditório possui 12 poltronas na primeira fila, 14 na
segunda e 16 na terceira. As demais fileiras se compõem
na mesma seqüência.
O número de fileiras necessárias para que o auditório
tenha um total de 620 poltronas, é:
a) 20
b) 21
c) 15
d) 19
30. (FCC) Na seqüência de quadriculados abaixo, as
células pretas foram colocadas obedecendo a um
determinado padrão.
Mantendo esse padrão, o número de células brancas na
Figura V será :
a) 101
b) 99
c) 97
d) 83
e) 81
31. (BACEN) A 11ª figura da seqüência abaixo terá:
a)
b)
c)
d)
e)
10 quadradinhos pretos.
10 quadradinhos brancos.
22 quadradinhos pretos.
86 quadradinhos brancos.
110 quadradinhos brancos.
32.(PUC-SP) Um pêndulo, oscilando, percorre
sucessivamente 18 cm, 15 cm, 12 cm, .... A soma dos
percursos até o repouso é em cm:
a) 45
b) 63
c) 90
d) 126
e) 150
Considerando a P.A. de razão
6
, cujo 1º termo é
5
9
,
5
pode-se afirmar que:
Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos
pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele
possuía
a) mais de 300 bolitas.
b) pelo menos 230 bolitas.
c) menos de 220 bolitas.
d) exatamente 300 bolitas.
e) exatamente 41 bolitas.
4
Atualizada 05/05/2008
33. a soma dos vinte e sete primeiros termos da
progressão aritmética não é um número inteiro.
34. (CESGRANIO-BNDES) Quantos são os números
inteiros, compreendidos entre
100 e 200, que são múltiplos de 3 e, simultaneamente,
não são múltiplos de 5?
a) 13
b) 16
c) 21
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
Militar
Prof. Pacher
d) 26
e) 27
36
Matemática
C
35.(UTFPR) A progressão aritmética (x, x + 2, x + 4, x +
6,...) tem a soma de seus 20 termos igual a 2780. Então, o
valor de seu oitavo termo é:
a)
b)
c)
d)
e)
124
126
134
136
240
36.(PUC-SP) Colocando 120 objetos em linha de modo
que na primeira linha haja um objeto e daí até a última
linha um objeto a mais por linha, teremos um número total
de linhas igual a:
a) 11
b) 13
c) 15
d) 16
e) 19
GABARITO
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
a) 10, 12, 14, 16
b) 15, 10, 5, 0
c) 8, 8, 8, 8
(3,5,7,11,13)
121
B
C
27
D
246
630
C
4
7
89
15
C
D
A
10 e 3
18
27
A
B
B
C
E
E
B
B
A
A
E
B
Correta
D
C
Atualizada 05/05/2008
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
5