TIPO DE PROVA: A
Questão 1
Um objeto é vendido em uma loja por R$ 26,00.
O dono da loja, mesmo pagando um imposto
de 20% sobre o preço de venda, obtém um lucro de 30% sobre o preço de custo. O preço de
custo desse objeto é:
a) R$ 16,00
b) R$ 14,00
c) R$ 18,00
d) R$ 14,80
e) R$ 16,80
alternativa A
Descontado o imposto de 20% sobre o preço de
venda, restam (1 − 20%) ⋅ 26 = 0,8 ⋅ 26 reais, valor que corresponde ao custo mais o lucro.
Sendo c o preço de custo do objeto e sabendo
que o lucro corresponde a 30% do custo, temos
0,8 ⋅ 26
c + 0,3c = 0,8 ⋅ 26 ⇔ c =
= R$ 16,00.
1,3
Questão 2
Uma pessoa quer distribuir, entre seus amigos, um determinado número de convites. Se
der 2 convites a cada amigo, sobrarão 25
convites; entretanto, se pretender dar 3 convites a cada amigo, faltarão 15 convites.
Caso essa pessoa pretenda dar 4 convites a
cada amigo, ela precisará ter mais:
a) 45 convites.
b) 55 convites.
c) 40 convites.
d) 80 convites.
e) 70 convites.
alternativa B
Seja n o número de amigos. Distribuindo 2 convites a cada amigo, sobram 25 convites, ou seja, o
número de convites é 2n + 25. Como ao se tentar
distribuir 3 convites por amigo faltam 15 convites,
o número de convites também é 3n −15. Logo
3n −15 = 2n + 25 ⇔ n = 40 e o número de convites
é igual a 2 ⋅ 40 + 25 = 105.
Para distribuir 4 convites por amigo será necessário um total de 40 ⋅ 4 = 160 convites. Portanto essa
pessoa precisará ter mais 160 − 105 = 55 convites.
Questão 3
O consumo de combustível de um carro de
fórmula 1 é de 2 litros por km rodado. A bomba de reabastecimento injeta 12 litros por segundo. Durante uma parada para reabastecer, supondo que o tanque esteja vazio, injeta-se gasolina por 7 segundos. Se a extensão
da pista é de 3,5 km, a quantidade máxima
de voltas que ele pode percorrer, antes de um
novo reabastecimento, é:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 12
e) 16
alternativa D
A bomba injeta 12 litros por segundo; logo em 7
segundos há 12 ⋅ 7 = 84 litros de combustível no
tanque.
Como o consumo do carro é de 2 litros por quilômetro rodado e a pista tem 3,5 quilômetros, o carro gasta 2 ⋅ 3,5 = 7 litros de combustível para dar
uma volta.
Assim o número máximo de voltas que ele pode
84
percorrer é
= 12 .
7
Questão 4
Um instituto de meteorologia informa que é
70% provável que chova em determinado dia.
Uma pessoa afirma que suas chances de realizar uma viagem nesse dia são de 20% e
80%, caso venha a chover ou não, respectivamente. A probabilidade de essa pessoa viajar
nesse dia é:
a) 38%
b) 56%
c) 24%
d) 42%
e) 18%
alternativa A
A probabilidade de que chova e a pessoa viaje é
70% ⋅ 20% = 14%. A probabilidade de que não
chova e a pessoa viaje é (100% − 70%) ⋅ 80% =
= 24%.
Logo a probabilidade de essa pessoa viajar nesse
dia é14% + 24% = 38%.
matemática 2
Logo log 8 (xy) = log
Questão 5
A soma de todos os termos da seqüência infinita (a1 , a2 , ......), definida por a1 = 3 e a n + 1 =
a
= n se n ≥ 1, é:
3
11
8
9
d)
e)
a) 9
b) 7
c)
2
3
2
23
2 =
1
.
3
Questão 8
Se os gráficos esboçados na figura são os das
funções f(x) = 2
−x
2
e g(x) = ax2 + b , o valor
de g(f(0)) é:
alternativa E
an
a
1
, n ≥ 1,
⇔ n +1 =
3
an
3
tal seqüência é uma PG infinita de primeiro termo
1
.
a1 = 3 e razão q =
3
a
Logo a soma de todos os seus termos é 1 =
1 −q
3
9
.
=
=
1 − 13
2
Como a1 = 3 e an + 1 =
Questão 6
a)
Adotando-se log 2 = 0,3, então o valor de x,
tal que 2x + 2 = 20, é:
7
9
11
5
4
a)
b)
c)
d)
e)
3
4
4
3
5
alternativa A
= 20 ⇔ log 2 x + 2 = log 20 ⇔
log 2 + 1
⇔ (x + 2)log 2 = log(2 ⋅ 10) ⇔ x =
−2
log 2
Adotando a aproximação log 2 ≅ 0,3,
0,3 + 1
7
.
x ≅
−2 =
0,3
3
2
x+2
Se 7 x = 81 e 9y = 7, então o valor de log8 (xy)
a)
3
2
b)
1
3
c) 2
d) 3
e)
3
4
alternativa B
7 x = 81
9y = 7
b)
11
4
c) 3
d)
15
4
e) 2
alternativa D
−x
Temos f(x) = 4 ⇔ 2 2 = 2 2 ⇔ x = −4. Portanto, analisando o gráfico, vemos que x = −4 é uma
raiz da função quadrática g(x), e tendo esta seu
vértice sobre o eixo Oy, suas raízes são simétricas em relação à origem. Logo x = 4 é a outra
raiz de g(x) e g(x) = a ⋅ (x − 4) ⋅ (x + 4), a ≠ 0.
Como g(0) = 4 ⇔ a ⋅ (0 − 4)(0 + 4) = 4 ⇔
1
1
⇔ a = − , g(x) = − (x 2 − 16) e g(f(0)) =
4
4
−0
15
.
= g(2 2 ) = g(1) =
4
Questão 7
é:
13
4
⇒ (9 y ) x = 81 ⇔ 9 xy = 9 2 ⇔ xy = 2
Questão 9
Para que a equação x 3 + kx + 2 = 0 admita
uma raiz real dupla, o valor de k deve ser:
a) −2
b) 2
c) −4
d) 3
e) −3
alternativa E
Sejam a, a, b as raízes da equação. Utilizando as
relações entre raízes e coeficientes:
matemática 3
b = −2a
a +a +b =0
a ⋅ a + a ⋅ b + a ⋅ b = k ⇔ a2 + 2ab = k ⇔
a ⋅ a ⋅ b = −2
a3 = 1
alternativa B
Temos α + β = 90o ⇔ 3( α + β) = 3 ⋅ 90o ⇔
⇔ 2 α + 3 β = 270o − α.
Logo sen(2 α + 3 β) = sen(270o − α) =
3
= −sen(90o − α) = −cosα = − .
4
a =1
⇔ b = −2
k = 12 + 2 ⋅ 1( −2) = −3
Questão 12
Questão 10
Assinale, entre as alternativas, o par (x, y)
que satisfaz a igualdade x 3 − 2x2 y +
+ xy2 − 2y 3 = 0.
a) (−150, 75)
b) (−75, −150)
c) (75 , 150)
d) (150 , −75)
e) (−150 , −75)
2
⇔ (x
4π ⎤
b) ⎡π ;
3 ⎦⎥
⎣⎢
2π 5π ⎤
d) ⎡
;
⎢⎣ 3
6 ⎥⎦
5π
e) ⎡
; 2π ⎤
⎢⎣ 3
⎥⎦
4 π 3π ⎤
c) ⎡
;
2 ⎦⎥
⎣⎢ 3
2
2
3
x − 2x y + xy − 2y = 0 ⇔
⇔ x 2 (x − 2y) + y 2 (x − 2y) = 0 ⇔
2
5π 11π ⎤
a) ⎡
;
6 ⎦⎥
⎣⎢ 3
alternativa D
alternativa E
3
Para que a equação x2 + 4x − 8senθ = 0 tenha, em x, duas raízes reais e distintas, θ poderá assumir todos os valores do intervalo:
x2 + y 2 = 0
ou
⇔
+ y )(x − 2y) = 0 ⇔
x − 2y = 0
A equação x + 4x − 8 senθ = 0 tem duas raízes
reais e distintas se, e somente se, ∆ > 0 ⇔
1
⇔ 4 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −8 senθ) > 0 ⇔ senθ > − .
2
2
x2 + y 2 = 0
⇔
ou
x = 2y
Assim, dentre as alternativas, apenas o par apresentado em E satisfaz a igualdade.
Questão 11
Se, no triângulo retângulo da figura, tem-se
3
, então o valor de sen (2α + 3β) é:
4
cos α =
Observando o diagrama anterior,
7π
⎤ π
⎡
θ ∈ ⎥ − + 2kπ;
+ 2kπ ⎢ , k ∈ Z , ou seja, θ
6
6
⎦
⎣
pode assumir todos os valores do intervalo apresentado em D.
Questão 13
a)
3
4
b) −
3
4
c)
2
3
d) −
2
3
e) −
1
2
O segmento OA descreve um ângulo de 30o
em torno da origem, como indica a figura.
Adotando π = 3, a distância percorrida pelo
ponto A é:
matemática 4
alternativa B
a) 2,5
b) 5,5
c) 1,7
d) 3,4
e) 4,5
alternativa A
A distância percorrida pelo ponto A corresponde
a um arco de raio OA = 3 2 + 4 2 = 5 e medida
30o
5π
angular 30o , ou seja,
⋅ 2π ⋅ 5 =
≅ Como AOB é um triângulo retângulo isósceles,
6
$ = 45 o .
360o
m (ABO)
5 ⋅3
OD
≅
= 2,5, adotando a aproximação dada.
No triângulo OBD,
= sen 45 o ⇔
6
OB
2 2
2
=
⇔ OB = 4. Assim, BE = OB − OE =
OB
2
= 4 − 3 = 1 e, no triângulo BPF, BF = 2. Dessa forma, OF = OB − BF = 4 − 2 = 2.
No triângulo OFC, OC = OF = 2. Conseqüentemente, a ordenada do ponto C é −2.
⇔
Questão 14
Na figura, AOB é um triângulo isósceles e
OD = 2 2 . A ordenada do ponto C é:
Questão 15
A soma das raízes da equação x x = x2 , com
x > 0, é:
1
3
a)
b) 2
c) 5
d)
e) 3
2
4
alternativa C
Sendo x > 0, x x = x 2 ⇔ x = 1 ou x = 2 ⇔
⇔ x = 1 ou x = 4.
Logo a soma das raízes da equação é 1 + 4 = 5.
Questão 16
a) −
4 2
3
b) −2
d) −
3 2
2
e) −
7
3
c) −
9
4
Os quadriláteros ABCD e ADEF têm áreas
9
iguais. Se BC = 4, CE =
e EF = 6, o valor
4
de AF é:
matemática 5
alternativa C
a) 3
b) 6
5
c)
2
7
d)
3
Temos:
⎛ 1
⎜
⎝ −1
0 ⎞ ⎛0
⎟ ⋅⎜
1 ⎠ ⎝1
⎛ 1
⇔⎜
⎝ −1
e) 5
1
0
−1 ⎞
⎟
2⎠
⎛x ⎞
⎜ ⎟ ⎛0 ⎞
⋅ ⎜y ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔
⎜ ⎟ ⎝0 ⎠
⎝1 ⎠
0 ⎞ ⎛ y − 1 ⎞ ⎛0 ⎞
⎟ =⎜ ⎟ ⇔
⎟ ⋅⎜
1 ⎠ ⎝ x + 2 ⎠ ⎝0 ⎠
y −1
y −1 = 0
⎞ ⎛0 ⎞
⎛
⇔
⇔⎜
⎟ =⎜ ⎟ ⇔
x − y +3 =0
⎝1 − y + x + 2 ⎠ ⎝0 ⎠
y =1
x = −2
Logo x + y = −1.
⇔
alternativa E
Nesta resolução, admitiremos que ABCD é um retângulo.
9
Sejam DE = x e CD =
− x.
4
Como o retângulo ABCD e o trapézio ADEF têm áreas iguais:
(6 + 4) ⋅ x
⎛9
⎞
4 ⋅ ⎜ − x⎟ =
⇔
⎝4
⎠
2
⇔ x =1
Seja G a intersecção de BA com
FE. O triângulo AGF é retângulo em G e tem AF =
Questão 18
Um objeto, que tem a forma de um tetraedro
regular reto de aresta 20 cm, será recoberto
com placas de ouro nas faces laterais e com
placa de prata na base. Se o preço do ouro é
R$ 30,00 por cm2 e o da prata, R$ 5,00 por
cm2 , das alternativas dadas, assinale o valor
mais próximo, em reais, do custo desse recobrimento.
a) 24 000
b) 12 000
c) 16 000
d) 18 000
e) 14 000
alternativa C
= AG 2 + GF 2 = 12 + 2 2 =
= 5.
$ ) > 90o , é possível deObservação: dado m (BCE
terminar AF nas condições do enunciado, sendo
que AF pode assumir infinitos valores.
Questão 17
Cada face do tetraedro regular é um triângulo eqüi20 2 3
látero de lado 20 cm e área
= 100 3 cm 2 .
4
A área recoberta por ouro corresponde à área lateral, que é 3 ⋅ 100 3 = 300 3 cm 2 , e a área recoberta por prata corresponde à base, com
100 3 cm 2 de área.
Adotando 3 ≅ 1,7, o custo total dessa cobertura
será de 30 ⋅ 300 3 + 5 ⋅ 100 3 ≅ 9 000 ⋅ 1,7 +
+ 500 ⋅ 1,7 ≅ R$ 16.150,00. Dentre as alternativas
dadas, a que apresenta o valor mais próximo do
custo é a C.
Se o produto de matrizes
⎛ x⎞
⎛ 1 0⎞ ⎛0 1 −1⎞ ⎜ ⎟
⎜
⎟ ⋅⎜
⎟ ⋅ y é a matriz nula, x + y
⎝ −1 1⎠ ⎝1 0 2⎠ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝1 ⎠
é igual a:
a) 0
b) 1
c) −1
d) 2
e) −2
Questão 19
Um atleta, treinando para uma maratona, corre 15 km no primeiro dia e aumenta o seu percurso de 500 m a cada dia. Depois de 61 dias
matemática 6
consecutivos de treinamento, o atleta terá percorrido:
a) 2 400 km
b) 1 420 km
c) 1 760 km
d) 1 830 km
e) 2 560 km
alternativa D
Seja ai o número de quilômetros percorridos pelo
atleta no i-ésimo dia. A seqüência (a1 , a2 , ..., a61 )
é uma PA de primeiro termo a1 = 15 e razão
500
r =
= 0,5.
1 000
Logo a61 = a1 + 60 ⋅ r = 15 + 60 ⋅ 0,5 = 45 e, depois
de 61 dias, o atleta terá percorrido a1 + a2 + ... +
+ a61
=
(a1 + a61 ) ⋅ 61
2
= 1 830 km.
Questão 20
⎧x − ay = 1
O sistema ⎨
⎩ax − 4y = a
=
(15 + 45) ⋅ 61
2
=
a) tem solução única, para um único valor de a.
b) tem solução única, para exatamente dois
valores de a.
c) sempre admite solução, qualquer que seja
o valor de a.
d) não tem solução, para um único valor de a.
e) não tem solução, para exatamente dois valores de a.
alternativa C
x − ay = 1
x − ay = 1
⇔
ax − 4y = a
(a2 − 4)y = 0
O sistema é possível e determinado se, e somente se, a2 − 4 ≠ 0 ⇔ a ≠ −2 e a ≠ 2.
Para a = −2 ou a = 2, o sistema é possível e indeterminado.