Lugar Geométrico das Raízes
• Construído diretamente a partir dos pólos e zeros da
função de transferência de malha aberta G(s)H(s).
• Os pólos de malha fechada são solução da equação
1 + G(s)H(s) = 0, ou:
→ arg( G(s)H(s) ) = ± 180o (2k+1), k = 0, 1, 2, ...
→ | G(s)H(s) | = 1
u
Para cada ponto so (do plano complexo s) que satisfaz a
condição de ângulo, arg( G (so)H(so) ), há um ganho K
correspondente que satisfaz a condição de módulo.
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• LGR: Gráfico dos pólos de malha fechada para todos
os valores do ganho K de 0 a ∞.
• Para traçarmos o gráfico, vimos que precisamos apenas
achar os pontos que satisfazem a condição angular (a
aplicação da condição do módulo dirá que valor de K
corresponde a uma dada localização no LGR).
• Primeiro passo: localizar os pólos (pontos de partida do
LGR) e zeros (pontos de chegada do LGR) de malha
aberta (ou seja, da função de transferência G(s)H(s) ).
• A seguir: determinar que porções do eixo real
pertencem ao LGR (ponto de teste so).
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→ Regra geral 1: Os pontos no eixo real que encontramse à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros
são parte do LGR. (por que?)
• Próximo passo:determinar o número de ramos do LGR.
→ Regra geral 2: Um ramo do LGR parte de cada pólo de
malha aberta do sistema (correspondente a K = 0). Para
K → ∞, cada ramo irá terminar em um zero de malha
aberta. Se o sistema tiver n pólos e m zeros finitos, com
n ≥ m, m ramos irão terminar nos m zeros finitos, e os
n – m ramos restantes irão terminar nos n – m zeros no
infinito. (→ Mas onde estão estes zeros no infinito?)
1
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• Zeros no infinito e assíntotas – Regra geral 3:
→ Vimos que as assíntotas originam-se no eixo real no
ponto:
∑ pólos − ∑ zeros
σ=
n−m
→ e partem ao longo dos ângulos:
θ=
180o (2k + 1)
, k = 0, 1, 2...
n−m
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• Exemplo:
G(s) =
1
, H (s) = 1
s s 2 + 2s + 2
(
)
→ Passo 1: Determinar os pólos e zeros de malha aberta
• não há zeros de malha aberta;
• pólos de malha aberta: s = 0 e s = −1 ± j
→ Passo 2: Determinar o LGR no eixo real ⇒ o eixo real
negativo (por que?)
→ Passo 3: Zeros no infinito ⇒ 3 zeros no infinito e,
portanto, 3 assíntotas (por que?)
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• Assíntotas:
0 + (−1 + j ) + (−1 − j )
2
• ponto de partida: σ =
=−
3
3
• ângulos: θ =
180o (2k + 1)
3
→ Passo 4: Cada ramo do LGR parte de um pólo de
malha aberta e termina em um zero finito (nenhum,
neste caso) ou em um zero no infinito.
• Um ramo inicia-se em s = 0 e percorre o eixo real
negativo (→ − ∞);
• E os outros dois ramos?
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• Os outros dois ramos partem dos pólos complexo
conjugados e “caminham” na direção dos zeros no
infinito → Mas de que modo?
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• Ângulos de partida (a partir dos pólos complexos
conjugados): determinam a direção em que os ramos
partem dos pólos de malha aberta.
→ Considere um ponto de teste so muito próximo (à uma
distância ε > 0) do pólo em s = – 1 + j.
• Suponha que um vetor partindo do pólo para so faça
um ângulo θ em relação ao eixo real positivo. Neste
caso, como fica a condição de ângulo?
m
n
i =1
j =1
∠G ( so ) H ( so ) = ∑ ∠( s − zi ) − ∑ ∠( s − pi ) = −θ − 135o − 90o
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m
n
i =1
j =1
∠G ( so ) H ( so ) = ∑ ∠( s − zi ) − ∑ ∠( s − pi ) = −θ − 135o − 90o
⇒ Estes ângulos serão
constantes, independentes
de θ, somente se a
distância ε entre so e o
pólo em s = – 1 + j for
muito pequena.
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m
n
i =1
j =1
∠G ( so ) H ( so ) = ∑ ∠( s − zi ) − ∑ ∠( s − pi ) = −θ − 135o − 90o
• Condição angular: ∠G ( so ) H ( so ) = − θ − 225o = −180o
⇒ θ = − 45°
• Assim, o LR parte do pólo em s = – 1 + j com um
ângulo de − 45°
• Como as raízes complexas ocorrem em pares
conjugados ⇒ ângulo de partida a partir do pólo em
s = – 1 – j é + 45°.
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• Uma questão permanece: como os pólos de malha
fechada partem dos pólos de malha aberta (K = 0) e
atingem as assíntotas (K → ∞) ?
• Considere a reta a − 45° a partir do pólo em s = – 1 + j.
• Se nos movermos ao longo desta linha:
→ As contribuições ao argumento dos pólos em s = 0
e s = – 1 + j não irão mudar.
→ No entanto, a contribuição do pólo em s = – 1 – j
irá diminuir.
⇒ Portanto, a fase será menos negativa do que – 180°
ao longo desta linha.
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• Assim, como θ deve variar para que a condição de
ângulo continue sendo satisfeita?
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• Próximas considerações:
• Em que ponto o LR corta o eixo imaginário?
• Em que ponto sobre o eixo real os ramos partindo de pólos de
malha aberta reais separam-se?
• Para isto, considere o sistema dado por:
1
G ( s ) H ( s) =
s ( s + 1) (s + 2 )
• LGR?
• Pólos e zeros de malha aberta;
• Porção do eixo real pertencente ao LGR;
• Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas.
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K G ( s) H ( s ) = K
1
s (s + 1) ( s + 2)
• Nenhum zero de malha aberta;
• Pólos de malha aberta em: s = 0; s = – 1 e s = – 2;
• Zeros no infinito: n – m = 3 ⇒
• θ=
180(2k + 1)
3
σ=
0 + (−1) + (−2)
= −1
3− 0
• Pólo em s = – 2: LGR parte de – 2 e move-se para a
esquerda, na direção – ∞;
• E nos pólos em s = 0 e s = – 1?
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• Pólos em s = 0 e s = – 1 → Um ramo parte de 0 e outro
de – 1 ⇒ em algum ponto sobre o eixo real, os ramos
se encontram e, a seguir, os pólos tornam-se
complexos.
⇒ Como determinar este ponto em que os ramos se
separam?
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• Determinação do ponto de quebra:
• Até agora: ao variar K de 0 a ∞, como o LGR (ou
seja, os pólos de malha fechada) variam?
• Agora: ao caminharmos ao longo do LGR, como K
varia?
→ Começando de s = 0, e movendo-se para a esquerda (não
há LR à direita de s = 0) ⇒ o valor de K aumenta.
→ Começando de s = – 1, e movendo-se para a direita,
também sabemo que o valor de K aumenta.
→ Se continuássemos em cima do eixo real, ao invés de
acompanharmos os pólos de malha fechada, ao passarmos
do ponto de quebra, o valor de K passa a diminuir, até 0.
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• Determinação do ponto de quebra (continuação):
• Portanto, o ponto de quebra é um ponto de máximo
para K.
• Assim, para determinar o ponto de quebra, podemos
pensar em K como uma função de s, K(s). O ponto
de máximo de K(s), que é o ponto de quebra, pode
ser encontrado por: ∂K ( s)
= 0 . Mas K ( s) = ?
∂s
• Como K somente é definido ao longo do LGR, para
pontos pertencentes ao LR, pode-se obter K(s) a
partir da condição de magnitude.
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• IMPORTANTE: Os pontos de quebra podem ser pontos de
separação de partida ou de chegada em relação ao eixo real.
• Se um lugar das raízes estiver entre dois pólos de malha
aberta adjacentes sobre o eixo real, então existe pelo menos
um ponto de separação de partida entre os dois pólos.
• Analogamente, se existir um lugar das raízes entre dois
zeros adjacentes (um zero pode estar localizado em – ∞)
sobre o eixo real, então sempre existirá pelo menos um
ponto de separação de chegada entre os dois zeros.
• Se existir um lugar das raízes entre um pólo e um zero
(finito ou infinito) de malha-aberta sobre o eixo real, então
não podem existir pontos de separação de partida ou
chegada, ou então, lá existirá tanto pontos de separação de
partida como de chegada.
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• Voltando ao exemplo: K G ( s) H ( s ) = K
1
s (s + 1) ( s + 2)
• Para um ponto s pertencer ao lugar das raízes, devese ter:
K
= −1 → equação característica
s ( s + 1) (s + 2 )
do sistema
• Pode-se definir K(s) como: K ( s) = − s ( s + 1) (s + 2 )
(
)
∂K ( s )
= −(3s 2 + 6 s + 2) = 0
∂s
6 ± 62 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2
3
3s 2 + 6 s + 2 = 0 ⇒ s = −
= −1 ±
6
3
K ( s ) = − s 3 + 3s 2 + 2 s ⇒
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s = −1 ±
3
⇒ s1 = −0.4226; s2 = −1.5774
3
• Como podemos saber qual é o valor de s correspondente ao ponto de quebra?
⇒ Somente s1 pertence ao LGR!!!
• Realmente, substituindo s1 e s2 para determinar o
respectivo valor de K:
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• Portanto, o LGR para o sistema é da forma:
• O que o LGR nos diz a respeito do sistema?
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• Qual é o erro de regime estacionário para uma entrada
degrau unitário?
• Como há um pólo em s = 0, ess = 0 para a entrada degrau.
• Suponha que K = 0,35. O sistema é sobreamortecido,
criticamente amortecido ou subamortecido?
• Como o ponto de quebra só ocorre para K = 0,38 , o sistema
para o K dado possui 3 raízes reais → 2 muito mais lentas
do que a terceira, por estarem mais próximas do eixo jω: são
portanto pólos dominantes. ⇒ Com dois pólos dominantes
reais, o sistema é sobreamortecido.
• Como determinar o valor de K para o qual o sistema
irá cruzar o eixo imaginário?
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• Valor de K para o qual o sistema cruza o eixo
imaginário:
⇒ Pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz.
C ( s)
G(s)
K
=
=
R ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) s 3 + 3s 2 + 2 s + K
⇒ K <6
⇒ K >0
⇒ 0 < K < 6 para o sistema ser estável ⇒ K = 6 : as raízes
da equação característica (pólos de malha
fechada) são imaginárias.
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• Para K = 6, o sistema será oscilatório, sem
amortecimento. Qual é a freqüência de oscilação?
→ Para tanto, é necessário achar os pólos de malha fechada
para este valor de K:
s 3 + 3s 2 + 2 s + 6 = 0
→ O polinômio é cúbico, mas sabemos que a raiz é
imaginária. Assim, s = jω e:
− jω3 − 3ω2 + 2 jω + 6 = 0
→ Assim, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser
iguais a zero:
− ω3 + 2ω = 0 e − 3ω2 + 6 = 0
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− ω3 + 2ω = 0 ⇒ −ω (ω2 − 2 = 0 ) ⇒ ω = 0; ω = ± 2
− 3ω2 + 6 = 0 ⇒ ω2 = 2 ⇒ ω = ± 2
• Isto é, a oscilação senoidal ocorre a uma freqüêcia de
√2 rd/s.
• Em outras palavras, o lugar das raízes corta o eixo
imaginário em ω = √2 .
• Exemplo: Plote o lugar das raízes para um sistema
com realimentação unitária, com:
s+2
G(s) =
s ( s + 1)
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G(s) =
s+2
s ( s + 1)
1) Localizar os pólos e zeros de malha aberta no plano
complexo s. → zeros: s = – 2; pólos: s = 0; s = – 1.
2) Eixo real ∈ LGR: s < – 2 e – 1 < s < 0.
3) Assíntotas: 2 pólos e 1 zero ⇒ 1 zero no infinito e,
portanto, 1 assíntota. θ = 180(2k+1)/1 = 180.
4) Pontos de quebra: K ( s ) = −
1
s2 + s
=−
G(s)
s+2
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4) Pontos de quebra (continuação):
(
)
∂K ( s )
(2s + 1) (s + 2 ) − s 2 + s (1) = 0
=−
∂s
( s + 2)2
(
)
2s 2 + 5s + 2 − s 2 + s = 0 ⇒ s 2 + 4s + 2 = 0
− 4 ± 42 − 4 ⋅ 2
= −2 ± 2
2
→ Observe que estes dois pontos estão no lugar das
raízes ⇒ Um é o ponto de separação de partida e o
outro de chegada em relação ao eixo real.
s=
9
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