Professor José Luiz de Morais
CONJUNTOS
SIMBOLOGIA
∈ : pertence
∉ : não pertence
⊂ : está contido
⊃ : contém
| : tal que
⇒ : implica que
⇔ : se, e somente se ∃ : existe
∀ : qualquer que seja ∅ : conjunto vazio
R : conjunto dos números reais
N : conjunto dos números naturais
Z : conjunto dos números inteiros
Q : conjunto dos números racionais
I : conjunto dos números irracionais
DEFINIÇÃO
MATEMÁTICA
Para o conjunto vazio podemos ter, ainda, outras duas representações:
xx≠x
1. C=
2. C=
Opostamente ao conjunto vazio temos o conjunto de todos os elementos, chamado de conjunto
universo, é representado pelo símbolo U.
SUBCONJUNTOS
É a divisão de um conjunto.
Para que um conjunto (A) seja subconjunto de
outro (B), todos os elementos desse conjunto
(A) devem pertencer, também, ao outro (B).
Sendo assim, note que:
Por se tratar de um conceito primitivo, não há
necessidade de definição, mas a idéia de conjunto nos remete a toda reunião de coisas agrupadas em um mesmo espaço, sem repetição,
tendo como melhor definição: “junto simultaneamente” (Aurélio).
I- O conjunto vazio é subconjunto de qualquer
conjunto.
II- Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
III- Um subconjunto de outro é também chamado
de parte do conjunto.
IV- Sendo um conjunto tal, que possua elementos, então ele possui subconjuntos.
Exemplo:
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
O conjunto dos números pares positivos:
C=
{ 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12... }
Sendo “x” qualquer um dos elementos do conjunto “C”, podemos representá-lo da seguinte
forma:
C = {x ∈ Rx é par} lê-se: x pertence aos reais,
tal que, x é par.
(∈
∈ = pertence = tal que)
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Sendo “x” um elemento do conjunto C, temos a
notação: x ∈ C e sendo “y” um elemento que
não pertence a C, temos a notação: y ∉ C onde:
“∈” significa pertence a e ∉ significa não pertence a.
Ao conjunto que não possui elementos, damos
o nome de conjunto vazio e representamos por
∅.
União (∪
∪)
Sendo dois conjuntos A e B, o conjunto união será definido por A ∪ B.
A
Onde: A ∪ B = {xx ∈ A ou x ∈ B}
B
Exemplo:
{0,1,3} ∪ {3,4,5 } = {0,1,3,4,5}. Ou seja, o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades:
I- A ∪ ∅ = A
II- A ∪ A = A
III- A ∪ U = U , onde U é o conjunto universo.
1
Professor José Luiz de Morais
IV- A ∪ B = B ∪ A (a união de conjuntos é uma
operação comutativa).
V- A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C) (propriedade distributiva).
MATEMÁTICA
Os elementos do conjunto diferença são os elementos que pertencem ao primeiro conjunto,
mas não pertencem ao segundo conjunto.
Exemplo:
{0, 4, 7} - {0, 3,7} = {4}.
VI- A ∪ (A ∩ B) = A (lei da absorção).
{1, 2, 4, 6} - {1, 2, 3} = {4, 6}.
Na união de dois conjuntos, o número de elementos contidos nessa união é chamado de cardinal do conjunto (que na verdade é o nome do
número de elementos de qualquer conjunto) que
pode ser calculado da seguinte maneira: Sejam
A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja representado por n(A) e o número de elementos de B por n(B) podemos definir: n(A∪
∪B)= n(A)+n(B)-n(A∩
∩B).
Interseção (∩
∩)
Sendo dois conjuntos A e B, o conjunto interseção será definido por A ∩ B.
A
Onde: A ∩ B = {xx ∈ A e x ∈ B}
B
Exemplo:
{0,2,4,5} ∩ {4,6,7} = {4}. Ou seja, o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades:
I- A ∩ ∅ = ∅
II- A ∩ A = A
III- A ∩ B = B ∩ A (a interseção é uma operação
comutativa).
IV- A ∩ U = A onde U é o conjunto universo.
V- A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) (propriedade distributiva).
Propriedades:
I- A - ∅ = A
II- ∅ - A = ∅
III- A - A = ∅
IV- A - B ≠ B - A (a diferença de conjuntos não
é uma operação comutativa).
Complementar
No caso da diferença entre dois conjuntos A e B,
onde B ⊂ A, a diferença A - B chama-se: Complementar de B em relação a A.
Exemplo:
{0, 4, 7, 8} - {0, 7} = {4, 8}.
Dessa forma, um caso particular da diferença de
conjuntos dá-se no complementar de um conjunto qualquer, em relação ao conjunto universo.
Sendo B o primeiro conjunto e U o conjunto universo, representaremos o complementar de B
em relação a U por “Bc” obtendo as possíveis relações:
I- B ∪ Bc = U
II- B ∩ Bc = ∅
Observe que, como o conjunto B está contido,
necessariamente, em U, os elementos de Bc serão aqueles que não pertencem a B.
Assim: Bc = {x  x ∉ B}.
VI- A ∩ (A ∪ B) = A (lei da absorção).
Diferença (A – B)
2
Professor José Luiz de Morais
MATEMÁTICA
IGUALDADE E DESIGUALDADE
Um conjunto (A) é igual ao outro (B), se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto
B e o conjunto B está contido no conjunto A,
nesse caso usa-se a notação A = B e lê-se: A é
igual a B.
Quando a condição acima não for satisfeita dizemos que os conjuntos são diferentes, nesse
caso usa-se a notação A ≠ B e lê-se: A é diferente de B.
b) A união de “C” e o complementar de “C”
relação a “U” é “U”.
c) A interseção de “C” e o complementar de
em relação a “U” é “C”.
d) A união de “C” e o complementar de “C”
relação a “U” é ∅.
e) A interseção de “C” e o complementar de
em relação a “U” é “U”.
em
“C”
em
“C”
Alternativa b
5. Dados dois conjuntos C e D, sendo C= {2,4,6}
e B= {3,5,6}, qual o conjunto interseção A∩B?
Exemplos:
A={X,Y,Z} e
B={Y,Z,X}
Nesse caso todos os elementos de A se encontram em B e vice-versa, portanto A = B.
A={1,2,X} e B={1,2,3,Y}
Nesse caso nem todos os elementos coincidem,
portanto A ≠ B.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Dados dois conjuntos A e B, sendo A= {0,2,3}
e B= {0,2,4,5,6}, qual o conjunto união A∪B?
A∩B= {2,4,6} ∩ {3,5,6} = {6}
6. O conjunto diferença P-Q sendo P={0,1,2,3,4}
e Q= {2,3,4,5}, é:
P - Q = {0,1,2,3,4} - {2,3,4,5} = {0,1}
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto numérico é todo conjunto em que todos
os elementos são números, portanto existem infinitos conjuntos numéricos entre eles estão os
conjuntos numéricos fundamentais.
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS(N)
A∪B= {0,2,3} ∪ {0,2,4,5,6} = {0, 2, 3, 4, 5, 6}
Considerando que os números naturais têm início com o zero, teremos o seguinte conjunto:
2. Qual o conjunto diferença (A - B) entre os conjuntos: A= {1,2,4} e B= {1,3,5,6} ?
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...} onde, as reticências
indicam ser este um conjunto infinito.
A-B = {1,2,4} - {1,3,5,6} = {2,4}
Podemos ter o conjunto dos números naturais
não nulos que é representado por N*. Nesse caso o zero é excluído da representação do conjunto.
3. Qual o complementar de B em A, dados os
conjuntos: A= {2,3,4,5,6,8} e B= {3,5}?
Como “B” está contido em “A” o complementar
de “B” em “A” é {2,4,6,8}.
4. Considerando-se um conjunto qualquer “C” e
o conjunto universo “U”, assinale a alternativa
que apresenta uma correspondência verdadeira.
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9...}
Operações fechadas em N
São as operações onde o valor do resultado tem
condição de existência dentro do conjunto dos
valores envolvidos na operação, neste caso no
conjunto dos números naturais(N).
a) O complementar de “C” em relação a “U” é ∅.
3
Professor José Luiz de Morais
MATEMÁTICA
Adição
Exemplo:
Propriedades
2x4 = 4x2
IV- Distributiva: O produto entre, um valor e a
adição entre outros dois, será igual, a soma entre os produtos desses mesmos valores.
I- Elemento Neutro: O elemento neutro da adição é o zero (0), pois não altera o resultado da
adição dos valores envolvidos na operação.
Exemplo:
Exemplo:
1+2=3 = 1+2+0=3
II- Associativa: Indica que não importa o modo
com que se adiciona os números naturais, pois
sempre se obtém o mesmo resultado.
Exemplo:
1+2+3 = (1+2)+3 ou 1+(2+3)
III- Comutativa: Indica que não importa a ordem
dos elementos envolvidos na adição, assim podemos adicionar o primeiro ao segundo, ou viceversa, para obtermos o mesmo resultado.
Exemplo:
1+2 = 2+1
3 x (2+3) = (3 x 2 + 3 x 3) ou 3 x 5
Operações não fechadas em N
São as operações onde o valor do resultado pode não ter condição de existência dentro do conjunto dos valores envolvidos na operação, neste
caso no conjunto dos números naturais(N).
Subtração
A diferença (resultado da subtração) entre dois
números naturais, só terá condição de existência, dentro do conjunto dos números naturais,
quando for positiva.
Exemplos:
Multiplicação
10 - 5 = 5 ( 5 ∈ N)
Propriedades
10 - 15 = -5 (-5 ∉ N)
I- Elemento Neutro: O elemento neutro da multiplicação é o número um (1), pois não altera o
produto dos valores envolvidos na operação.
Exemplo:
2x3=6 2x3x1=6
II- Associativa: Indica que não importa a seqüência com que se multiplica os números naturais, pois sempre se obtém o mesmo resultado.
Exemplo:
1 x 2 x 3 = (1 x 2) x 3 ou (1 x 2) x 3
III- Comutativa: Indica que não importa a ordem
dos elementos envolvidos na multiplicação, assim podemos multiplicar o primeiro pelo segundo, ou vice-versa, para obtermos o mesmo resultado. Ou seja, a ordem dos fatores não alterará o
produto dos valores envolvidos na operação.
Divisão
O quociente (resultado da divisão) entre dois
números naturais, só terá condição de existência, dentro do conjunto dos números naturais(N),
quando a divisão for exata.
Exemplos:
32 : 8 = 4 (4 ∈ N)
10 : 4 = 2,5 (2,5 ∉ N)
Note que: No conjunto dos números naturais(N),
o produto entre o quociente e o divisor sempre
será igual ao dividendo.
4
Professor José Luiz de Morais
MATEMÁTICA
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS(Z)
É o conjunto dos números naturais, acrescido de
seus simétricos negativos. A origem do símbolo
Z vem da palavra alemã “Zahl”, que significa
número. Assim:
1+2+3 = (1+2)+3 ou 1+(2+3)
III- Comutativa: Indica que não importa a ordem
dos elementos envolvidos na adição, assim podemos adicionar o primeiro ao segundo, ou viceversa, para obtermos o mesmo resultado.
Exemplo:
I- Z = {...-3,-2,-1,0,1,2,3...} Inteiros
II- Z* = {...-3,-2,-1,1,2,3...}
Inteiros não nulos
III- Z+ = {0,1,2,3,4...}
Inteiros não negativos
IV- Z- = {...-3,-2,-1,0}
Inteiros não positivos
V- Z*+ = {1,2,3,4...}
Inteiros positivos
VI- Z*- = {...-3,-2,-1}
Inteiros negativos
1+2 = 2+1
Subtração
Ao contrário do universo dos números naturais, a
subtração que envolve números inteiros é uma
operação fechada em Z, pois todos os resultados
possíveis farão parte desse conjunto.
Exemplos:
10 - 2 = 8 (8 ∈ Z)
2 - 10 = -8 (-8 ∈ Z)
Como todo número natural é também um número inteiro, temos que o conjunto dos números naturais(N) está contido no conjunto dos números
inteiros(Z) (N ⊂ Z ou Z ⊃ N).
Note que: 10 - 2 = 10 + (-2)
Dessa forma é correto afirmar que, o conjunto N
é um subconjunto de Z.
Propriedades
Operações fechadas em Z
I- Elemento Neutro: O elemento neutro da multiplicação é o número um (1), pois não altera o
produto dos valores envolvidos na operação.
São as operações onde o valor do resultado tem
condição de existência dentro do conjunto dos
valores envolvidos na operação, neste caso no
conjunto dos números inteiros(Z).
Adição
Propriedades
I- Elemento Neutro: O elemento neutro da adição é o número zero (0), pois não altera o resultado da adição dos valores envolvidos na operação.
Exemplo:
1+2=3 = 1+2+0=3
II- Associativa: Indica que não importa o modo
com que se adiciona os números inteiros, pois
sempre se obtém o mesmo resultado.
Multiplicação
Exemplo:
2x4=8 2x4x1=8
II- Associativa: Indica que não importa a seqüência com que se multiplica os números inteiros, pois sempre se obtém o mesmo resultado.
Exemplos:
1 x 2 x 3 = (1 x 2) x 3 ou (1 x 2) x 3
3 x (-2) x (-4) = 24 ou -2 x 3 x (-4) = 24
III- Comutativa: Indica que não importa a ordem
dos elementos envolvidos na multiplicação, assim podemos multiplicar o primeiro pelo segundo, ou vice-versa, para obtermos o mesmo resultado. Ou seja, a ordem dos fatores não alterará o
produto dos valores envolvidos na operação.
Exemplo:
5
Professor José Luiz de Morais
Exemplos:
2x4 = 4x2
-2 x 4 = 4 x (-2)
IV- Distributiva: O produto entre, um valor e a
adição (ou subtração) entre outros dois, será igual, a soma (ou subtração) entre os produtos
desses mesmos valores.
MATEMÁTICA
teiro, daí a origem do símbolo Q, que vem da palavra inglesa “quotient” que significa quociente.
Estão entre os números racionais todas as frações, os números decimais exatos e as dízimas
periódicas. Assim:
I- Q = {x | x = a/b onde a e b ∈ Z com b ≠ 0}
II- Q* = {x ∈ Q | x ≠ 0}
Racionais não nulos
III- Q+ = {x ∈ Q | x ≥ 0} Racionais não negativos
Exemplo:
3 x (2+3) = (3 x 2 + 3 x 3) ou 3 x 5
IV- Q- = {x ∈ Q | x ≤ 0}
Racionais não positivos
V- Q*+ = {x ∈ Q | x > 0} Racionais positivos
3 x (2-3) = (3 x 2 + 3 x (-3)) ou 3 x -1
Note que: A segunda operação só é fechada,
pois trata-se aqui do conjunto dos números inteiros(Z), que aceita tanto os valores positivos como, também, seus simétricos negativos.
Operações não fechadas em Z
São as operações onde o valor do resultado pode não ter condição de existência dentro do conjunto dos valores envolvidos na operação, neste
caso no conjunto dos números inteiros(Z).
Divisão
O quociente (resultado da divisão) entre dois
números inteiros, só terá condição de existência,
dentro do conjunto dos números inteiros(Z),
quando for exato.
VI- Q*- = {x ∈ Q | x < 0} Racionais negativos
Operações fechadas em Q
São as operações onde o valor do resultado tem
condição de existência dentro do conjunto dos
valores envolvidos na operação, neste caso no
conjunto dos números racionais(Q).
Adição
Propriedades
I- Elemento Neutro: O elemento neutro da adição é o número zero (0), pois não altera o resultado da adição dos valores envolvidos na operação.
Exemplo:
1+3=4 = 1+3+0=4
Exemplos:
32 : -8 = -4 (-4 ∈ Z)
10 : 4 = 2,5 (2,5 ∉ Z)
Note que: No conjunto dos números inteiros(Z), o
produto entre o quociente e o divisor sempre será igual ao dividendo.
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS(Q)
É o conjunto dos números representados por
uma parte inteira e outra fracionária, resultado da
divisão de um número inteiro por um número in-
II- Associativa: Indica que não importa o modo
com que se adiciona os números racionais(Q),
pois sempre se obtém o mesmo resultado.
Exemplos:
1+2+3 = (1+2)+3 ou 1+(2+3)
2,5 + 3,4 + 5,1 = (2,5+3,4)+5,1 ou 2,5+(3,4+5,1)
III- Comutativa: Indica que não importa a ordem
dos elementos envolvidos na adição, assim podemos adicionar o primeiro ao segundo, ou viceversa, para obtermos o mesmo resultado.
6
Professor José Luiz de Morais
Exemplos:
MATEMÁTICA
Divisão
1+2 = 2+1
1 2
2 1
+ = 1 ou
+ =1
3 3
3 3
5 3 21
3 5 21
+ =
ou + =
4 6 12
6 4 12
O quociente (resultado da divisão) entre dois
números racionais(Q), só terá condição de existência, dentro do conjunto dos números racionais(Q), quando for diferente de uma dízima não
periódica.
Exemplos:
Subtração
32 : -8 = -4 (-4 ∈ Q)
A subtração que envolve os números racionais é
uma operação fechada em Q, pois todos os resultados possíveis farão parte desse conjunto.
10 : 4 = 2,5 (2,5 ∈ Q)
Exemplos:
10 : 3 = 3,3333... (3,3333... ∈ Q)
11 : 7 = 1,57142... (1,57142... ∉ Q)
10 - 2 = 8 (8 ∈ Q)
2 - 10 = -8 (-8 ∈ Q)
0,3333 - 0,2525 = 0,0808 (0,0808 ∈ Q)
19 : 7 = 2,71428... (2,71428... ∉ Q)
-37 : 13 = -2,84615... (-2,84615... ∉ Q)
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS(I)
0,2727 - 0,5252 = -0,2525 (-0,2525 ∈ Q)
Operações não fechadas em Q
São as operações onde o valor do resultado pode não ter condição de existência dentro do conjunto dos valores envolvidos na operação, neste
caso no conjunto dos números racionais(Q).
São as dízimas não periódicas. Números com infinitas casas após a vírgula que não se repetem
periodicamente.
Exemplos:
5 = 2,2360679...
Multiplicação
π(pi) = 3,1415...
O produto (resultado da multiplicação) entre dois
ou mais números racionais(Q), só terá condição
de existência, dentro do conjunto dos números
racionais(Q), quando for diferente de uma dízima
não periódica.
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS(R)
Reúne todos os números racionais(Q) e todos os
números irracionais(I). Assim:
Exemplos:
3 x 4 = 32 (32 ∈ Q)
-3 x 4 = -32 (-32 ∈ Q)
0,2525... x 0,3333...= 0,08415... (0,08415... ∉ Q)
-0,1717...x 0,2323...= -0,03988...(-0,03988...∉
∉ Q)
I- R= {x ∈ R | x = Q ou x = I} Reais
II- R*= R - {0}
Reais não nulos
III- R+= {x ∈ R | x ≥ 0}
Reais não negativos
IV- R- = {x ∈ R | x ≤ 0}
Reais não positivos
V_ R*+ = {x ∈ R | x > 0}
Reais positivos
VI- R*- = {x ∈ R | x < 0}
Reais negativos
7
Professor José Luiz de Morais
Assim podemos concluir que:
N⊂Z⊂Q⊂R
O conjunto dos Reais(R) contém o conjunto dos
Irracionais(I) e dos Racionais(Q) que contém o
conjunto dos Inteiros(Z) que contém o conjunto
dos Naturais(N). Note que o conjunto dos Irracionais(I) está contido, apenas, no conjunto dos
Reais(R).
INTERVALOS NUMÉRICOS
Sejam dois números reais a e b, define-se como
intervalo o conjunto de todos os números reais
que estejam dentro do domínio do intervalo sendo que, esse intervalo, pode ser aberto (quando
os extremo (a e b) não fazem parte do domínio)
ou fechado (quando os extremos (a e b) fazem
parte do domínio).
É chamada de amplitude (h) a diferença entre os
extremos do intervalo (b – a (para a < b)).
Exemplos de conjuntos de intervalos numéricos:
]a;b[ = { x ∈ R | a < x < b} Intervalo aberto
[a;b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} Intervalo fechado
]a;b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} Int. fechado a direita
[a;b[ = { x ∈ R | a ≤ x < b} Int. fechado a esquerda
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Assinale a alternativa que apresenta números
que fazem parte do conjunto dos números naturais(N).
a)
b)
c)
d)
e)
0; 1; 2; 3,5; 4
-1; 0; 2; 5; 9
2; 4; 6; 8; 10
¾; 2; 0; -2; 1
2; 3; -5; 4; 0
MATEMÁTICA
2. Os elementos neutros, da adição e da multiplicação são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
0e1
1e2
-1 e -2
2e0
1e0
3. Assinale a alternativa que apresenta uma relação correta.
a) O conjunto dos números reais(R) está
contido no conjunto dos números racionais(Q).
b) O conjunto dos números naturais(N) está
contido no conjunto dos números irracionais(I).
c) O conjunto dos números reais(R) está
contido no conjunto dos números racionais(Q).
d) O conjunto dos números inteiros(Z) está
contido no conjunto dos números racionais(Q).
e) O conjunto dos números racionais(Q)
contém o conjunto dos números irracionais(I).
4. O número 1,567812, pertence:
a)
b)
c)
d)
e)
ao conjunto dos números irracionais(I).
ao conjunto dos números naturais(N).
ao conjunto dos números racionais(Q).
ao conjunto dos números inteiros(Z).
ao conjunto dos números irreais(I).
5. A subtração é uma operação não fechada,
a)
b)
c)
d)
e)
no conjunto dos números naturais(N).
no conjunto dos números inteiros(Z).
no conjunto dos números irreais(I).
no conjunto dos números racionais(Q).
no conjunto dos números reais(R).
6. A amplitude do intervalo 2, 6 é:
a)
b)
c)
d)
e)
6
4
1
2
5
8
Professor José Luiz de Morais
7. A expressão ]a;b[={ x ∈ R | a < x < b} indica
um intervalo:
a) fechado
b) aberto a direita
c) fechado a direita
d) aberto
e) fechado a esquerda
8. Os números com infinitas casas após a vírgula, que não se repetem, pertencem:
a)
b)
c)
d)
e)
MATEMÁTICA
Área das figuras planas
Quadrado
Retângulo
ao conjunto dos números reais(R).
ao conjunto dos números racionais(Q).
ao conjunto dos números irracionais(I).
ao conjunto dos números naturais(N).
ao conjunto dos números inteiros(I).
9. O número π(pi) pertence:
a)
b)
c)
d)
e)
ao conjunto dos números racionais(Q).
ao conjunto dos números naturais(N).
ao conjunto dos números reais(R).
ao conjunto dos números inteiros(I).
ao conjunto dos números irracionais(I).
Triângulo
Paralelogramo
Trapézio
Losango
Gabarito
1-C 2-A 3-D 4-A 5-A 6-B 7-D 8-C 9- E
Triângulo eqüilátero
9