Questão 19
CURSO E COLÉGIO
Dizemos que uma sequência de números reais não nulos 𝑎!, 𝑎!, 𝑎! , 𝑎!, … é uma progressão
harmônica se a sequência dos inversos 1 𝑎!, 1 𝑎!, 1 𝑎! , 1 𝑎!, … é uma progressão aritmética
(PA).
a) Dada a progressão harmônica (2 5 , 4 9 , 1 2 , … ) encontre o seu sexto termo.
b) Sejam 𝑎, 𝑏 e 𝑐 termos consecutivos de uma progressão harmônica. Verifique que
𝑏 = 2𝑎𝑐 (𝑎 + 𝑐)
Resposta
CURSO E COLÉGIO
a)
b)
Pela a definição, a sequência
Pela definição, se 𝑎; 𝑐; 𝑏 é uma progressão
aritimética, 1/𝑎; 1/𝑐; 1/𝑑 é uma progressão
aritimética. Assim,
! !
; ; 2; 𝑎! ; 𝑎! ; 𝑎! ; … é uma P.A. cuja razão
! !
vale:
!
!
!!
!
!
!
𝑟= − →𝑟=
!
!!
!
!
𝑎! = + 6 −1
1 1 1 1
− = −
𝑏 𝑎 𝑐 𝑏
.
𝑎−𝑏 𝑏−𝑐
=
𝑎𝑏
𝑏𝑐
!
, portanto, 𝑎! = .
!
O sexto termo da progressão harmônica é
𝐻! = 4 5.
𝑎𝑏𝑐 − 𝑏 ! 𝑐 = 𝑎𝑏 ! − 𝑎𝑏𝑐
2𝑎𝑏𝑐 = 𝑏²(𝑎 + 𝑐)
Com b≠0,
2𝑎𝑐 = 𝑏(𝑎 + 𝑐)
𝒃=
𝟐𝒂𝒄
𝒂+𝒄