Escoamento em Rios e
Reservatórios
Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.
http://www.ctec.ufal.br/professor/crfj
Prof. Marllus Gustavo F. P. das Neves
http://www.ctec.ufal.br/professor/mgn
Centro de tecnologia -CTEC
Sumário da aula



Revisão
Características do escoamento em rios
e reservatórios
Escoamento em reservatórios


Escoamento em rios


Método de Pulz
Método de Muskingun
Contribuição lateral
Revisão
Pef
HU
Esc. em rio
Esc.
superficial
Esc. em
reservatório
hidrogramas
Características do escoamento em rios e
reservatórios

O tratamento do escoamento em rios e
reservatórios envolve somente o fluxo na
calha do rio
M
Contribuição
lateral
Propagação
J
Escoamento em rios e reservatórios
I(t)
Reservatório
Trecho de rio:
hidrograma de saída
defasado com relação
ao de entrada
Hidrograma de saída
cai na recessão do de
entrada
I, Q
I, Q
I
V
I
V
Q
t
V  volume de amortecimento
Q
t
Q(t)
Elementos para análise

Para obter o hidrograma em uma seção a
jusante é necessário conhecer:

Hidrograma de entrada da seção a montante

Contribuição Lateral entre as duas seções
ESCOAMENTO

Escoamento permanente
uniforme
h
0
x
não – uniforme
Q h

0
t
t
gradualmente variado
variado h  0
x
h
0
x
Ressalto
hidráulico
As equações que regem o escoamento permanente
são: equação da continuidade, equação da
quantidade de movimento e equação de energia
Escoamento permanente
Usado para: cálculo de remanso em rios, análise de perfil
de cheias, escoamento em estiagem (qualidade da água),
dimensionamento de obras hidráulicas
Escoamento não-permanente

Gradualmente variado
Q h

0
t
t
escoamento em rios, reservatórios durante
inundações e outros períodos

variado
Q h

 0
transiente hidráulico
t
t
em canalizações, rompimento de barragem, etc.
Ocorre na maioria dos problemas hidrológicos de escoamento
superficial e de rios e canais e ainda reservatórios
Equação da continuidade

Conservação da
massa
A Q

q
t x
Contribuição lateral em
m3/m/s
q
Variação de vazão no
trecho
Variação de volume no
tempo
dx
Equação da quantidade de movimento

Conservação das forças no tempo  gravidade, fricção
(atrito) e pressão
gravidade
Distribuição de
pressão
hidrostática
Força de pressão por causa da
variação de largura da seção
Atrito
Equação da quantidade de movimento
Q  (Q2 /A)
y

 gA
 gA(So  S f )
t
x
x
Termos de inércia
do escoamento
Termo
de pressão
Termo de atrito
Termo de gravidade
Simplificações:
fluido incompreensível, função contínua, pressão hidrostática,
declividade do fundo, escoamento unidimensional, equação de
atrito
Simplificação das equações
Maneira como são utilizadas as equações  grau de
simplificação dos modelos  dados necessários
Simplificação das equações
Maneira como são utilizadas as equações  grau de
simplificação dos modelos  dados necessários
Utilizar a EQM
Não utilizar a EQM
(somente ECON)
Modelos de
Armazenamento
Modelos de onda
cinemática ou de difusão
ou hidrodinâmicos
Equação da quantidade de movimento
2

y 1 (Q /A) Q 
S f  So  



x gA  x
t 
Declividade da
linha de energia
(atrito)
Declividade da linha
d’água (pressão)
Declividade do fundo
do canal (gravidade)
Declividade causada pela
variação da velocidade ou
vazão no espaço e no
tempo (inércia)
Henderson (1966)  S0 > 0,002 m/m  termos de inércia
pequenos  podem ser desprezados
Cunge (1980)  onda de cheia do rio Reno  ordem de
grandeza: inércia 10-3, atrito e gravidade 10-5
Equação da quantidade de movimento
2

y 1 (Q /A) Q 
S f  So  



x gA  x
t 
Modelo de difusão ou não
inercial
Modelo de onda
cinemática  equação
de Manning do
movimento uniforme
+
A Q

q
t x
Equação da quantidade de movimento
A relação Q x V x y pode ser unívoca (onda
cinemática) ou biunívoca (onda dinâmica)
Q ocorre para 2 y
diferentes
Figura 14.10 Porto
Qmax não ocorre em
ymax
Largura do laço  importância relativa dos termos de
inércia e de pressão
Simplificação das equações

Modelos de armazenamento
Efeitos de armazenamento  preponderam sobre os efeitos
Dinâmicos (desprezados)
Formulação simplificada  menos dados necessários
ECON concentrada + relação entre armazenamento e vazões
(entrada e saída)
Utilizados para simular escoamento em rios e reservatórios,
quando os efeitos dinâmicos são pequenos
Não podem ser utilizado quando existem efeitos de jusante
sobre o escoamento de montante  rios próximo ao mar,
quando tem refluxo
Simplificação das equações

Armazenamento
Equação da continuidade concentrada
dS
 IQ
dt
Função de armazenamento
S = f(Q, I, Q’, I’)
Por exemplo: Muskingum, Pulz, etc
Comportamento em rio e Reservatório
dS
 IQ
dt
dS
IQ
0
dt
S  Smax
Comportamento em rio e Reservatório
Rio
Pode haver o mesmo S
para cotas Z diferentes
I
Q
Z2
Z1
S
Comportamento em rio e Reservatório
Relação biunívoca Z x S
Reservatório
I
Q
S2
Z2
Z1
S1
Propagação em reservatórios
(Método de Pulz)

Equação da continuidade
dS
 IQ
dt
S t 1  S t It  It 1 Q t  Q t 1


Δt
2
2
2S t 1
2S t
Q t 1 
 It  It 1  Q t 
Δt
Δt
Incógnitas
Variáveis conhecidas
1 equação e 2 Incógnitas  equação adicional:
Q = f(S/Dt)
Relação volume x vazão
Q = f(S/Dt)
Função auxiliar Q = f1(Q + 2.S/Dt)
Q
S/Dt
Construídas a partir da curva cota x S e cota x Q saída
pelas estruturas hidráulicas
Metodologia
2S t 1
2S t
Q t 1 
 It  It 1  Q t 
Δt
Δt
f1
G
1. Estabeleça as condições iniciais So (volume inicial)  calcular
Q0 = f(S0/Dt) no gráfico Q = f(S/Dt);
2. Calcule o valor G = lado direito da equação acima
3. Este valor é igual a f1 = lado esquerdo da equação acima
4. No gráfico Q = f1(Q + 2.S/Dt)  determinar Qt+1 e St+1
5. Repete-se os itens 2 a 4 até o último intervalo de tempo.
Metodologia
2S t 1
2S t
Q t 1 
 It  It 1  Q t 
Δt
Δt
Q=f(S/DT)
Qt+1
Q=f1(Q+2S/DT)
Cálculo de G com
o hidrograma de
entrada
St+1/Dt
G
Curva Q = f(S)
Curva cota x volume (armazenamento)
Batimetria do reservatório
Curva Q = f(S)
Curva cota x vazão de saída
Q  CL(Z  Zw )
3/2
Q  C' A 2gΔg
Curva Q = f(S)
z
z
z1
z1
S
S1
Q1
Q
S
S1
Q1
Q
Exemplo

Determine a capacidade de um reservatório
amortecer uma cheia, considerando que o
volume inicial do reservatório deve garantir uma
demanda de irrigação de 0,1 m3/s e de
abastecimento de 0,2 m3/s, durante 60 dias.
Considere também as seguintes relações:
Tempo
(12 hrs)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vazão de entrada
(m³/s)
10
15
30
70
50
35
25
18
10
10
Cota
Volume Vertedor D. Fundo
m
10^6 (m³)
m³/s
m³/s
319
0.01
0
0
320
0.5
0
0
321
0.8
0
2
322
2
0
4
323
2.5
5
13
324
4
18
32
325
7
32
60
326
10
50
70
Propagação em rios
(Método Muskingum)
Como todos os métodos de armazenamento,
baseia-se no prisma de armazenamento e na
cunha de armazenamento
Figura 14.13 Porto
Linha d’água paralela ao fundo
Declividade da linha d’água
diferente da declividade de
fundo e variável
Propagação em rios
(Método Muskingum)
SPrisma  K  Q
I
Ascenção I > Q
SCunha  K  X  (I  Q)
Q
I Q
Q
Q
I
Q
K = tempo de viagem da vazão de
pico ao longo do trecho
X = fator de ponderação das vazões
de entrada e saída (0 ≤ X ≤ 0,5)
Depleção Q > I
QI
Canais naturais  0 ≤ X ≤ 0,3
S  K  [X  I  (1 X)  Q]
I
I
Propagação em rios
(Método Muskingum)
Aplicando a fórmula anterior na equação da
continuidade e utilizando diferenças finitas


Continuidade dS  I  Q
dt
Relação S = K.[X.I +(1 - X).Q]
Qt 1  C1It 1  C2It  C3Qt
Δt
Δt
Δt
K  X 
KX
K  (1 X) 
2 ; C 
2 ; C 
2
C1 
2
3
Δt
Δt
Δt
K  (1 X) 
K  (1 X) 
K  (1 X) 
2
2
2
Propagação em rios
(Método Muskingum)
Qt 1  C1It 1  C2It  C3Qt
A vazão de saída no tempo t+1 depende dos
valores no tempo t e dos valores de K e X
Faixa de validade dos parâmetros

Para que os coeficientes da equação sejam positivos
Δt
2  0 e 2KX  Δt
C1 
Δt
K(1 X) 
2
 KX 
Δt
2  0 e 2  K(1- X)  Δt
C3 
Δt
K  (1 X) 
2
K  (1 X) 
Dt / K
Região válida
2
1
0
0
2  K  X  Δt  2  K  (1 X)
0  X  0,5
Δt
2 X 
 2  (1  X)
K
0,5
X
Faixa de validade dos parâmetros
I(t)
Δt
2 X 
 2  (1  X)
K
Romper este limite
 Dt alto  reduzir
Romper este limite  K alto e a
distância entre as seções alta 
criar subtrechos
Q(t)
Determinação de K e X



IeQ
K  usualmente estimado pelo tempo de trânsito de
uma onde de cheia num trecho de rio
X  geralmente escolhido entre 0,1 e 0,3
Mas se houver hidrogramas de entrada e saída
observados  melhor estimar pelo método da laçada
K  Diferença entre os centros de
gravidade dos hidrogramas
I
Q.t  I.t

K

 Q I
Q
K
t
Método da laçada



Grafica-se o volume acumulado SS contra a vazão
ponderada x.I +(1 - x).Q, para vários valores de X
O gráfico que mais se aproximar de uma função linear
é o que provê o melhor valor de X
K então é o coeficiente angular da reta, dado por
0,5  Δt  [(It  It 1 )  (Qt  Qt 1 )]
K
X  (It 1  It )  (1 X)  (Qt 1  Qt )
Normalmente, o rio deve ser dividido em vários
trechos  vários valores de K e de X
Método da laçada
S/Δt
X=X1
X= Xn
tg = K
Quando a inclinação
mostra várias
tendências o valor
de K varia com a
vazão e o sistema é
não -linear
x.I +(1 - x).Q
S = K.[x.I +(1 - x).Q]
S t 1 1
S
 It 1  It   Q t 1  Q t   t
Δt 2
Δt
Exemplo

Determine o valor do parâmetro K do método de Muskingun,
considerando o seguinte evento observado:
Tempo
dia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
I
m³/s
101
123
408
627
563
393
163
127
116
107
106
Q
m³/s
104
109
356
604
650
516
246
144
123
114
107
Contribuição Lateral



Pode modificar substancialmente a forma do
hidrograma a jusante;
Pode ser obtida através de dados observados
ou simulados (por exemplo, Método do SCS
ou HU);
Para avaliar a influência é
necessário que se
conheça alguns eventos
na seção de montante e
de jusante do trecho de
rio
Contribuição Lateral
Avaliação da influência (ajuste e verificação)


Para cada evento, deve-se calcular o volume
do hidrograma de montante (Vm) e de jusante
(Vj);
A diferença é o volume de contribuição lateral
(bacia intermediária)
Vi = Vj – Vm

A influência da contribuição lateral no
hidrograma de saída pode ser obtida por:

V V 
V
P (%) 
100  100
j
i
m
Vj
i
Vj
Contribuição Lateral
Avaliação da influência (ajuste e verificação)
Para valores de Pi < 15%  influência da
contribuição lateral tende a ser pequena 
deslocamento da onda do rio é o processo
principal;
 Neste caso, pode-se adotar uma distribuição
uniforme para a contribuição lateral
(vazão lateral constante ao longo do
evento):
Vi
QLateral 
período do hidrograma

QLateral
QJusante  Pi

100
Contribuição Lateral
Avaliação da influência (ajuste e verificação)

A vazão de jusante corrigida fica, num
tempo t qualquer
estimada
Q*Jusante  Qdados

Q
Jusante
Lateral
Q
*
Jusante
Q
Q
*
Jusante
dados
Jusante
Q
Q
dados
Jusante
dados
Jusante
Pi

100
Pi 

 1

 100 
Contribuição Lateral
Prognóstico

Quando não é conhecido o hidrograma de
jusante, a contribuição lateral pode ser
estimada com base nos valores de Pi (de
eventos anteriores registrados) e do
hidrograma de montante:
QLateral
Pi 

*
 QMont 1

Q

Q

Mont
Jus  QMont
 100 
QJusante
Contribuição Lateral

E quando não se tem eventos a jusante?
Pode-se utilizar proporção de área
Exemplo
Mesmo exercício anterior, mas com verificação de contribuição
lateral

Tempo
dia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
I
m³/s
101
123
408
627
563
393
163
127
116
107
106
Q
m³/s
104
109
356
604
650
516
246
144
123
114
107