GST0190 – Métodos Quantitativos para Tomada de Decisão Aula 04b
PROGRAMAÇÃO LINEAR - Método Algébrico
Exemplo - Uma empresa desenvolve sua atividade de produção e vendas fabricando 2 tipos de produtos, com uma
estrutura de custos fixos e variáveis que determina a seguinte configuração, em termos de custo fixo e margem de
contribuição: Custo Fixo de R$ 10.000,00 e margens de contribuição de 100,00 (produto X1) e de 160,00 (produto X2)
1.
A empresa dispõe somente de R$ 700,00 de capital (recursos) para produção dos dois produtos.
A utilização desse capital é R$ 4,00 para o produto X1 e R$ 3,00 para o produto X2.
2.
O produto X1 consome 2 kg de matéria-prima e o produto X2 consome 6 kg, e a empresa só tem condições de adquirir
no mercado 900 kg de matéria-prima.
3.
O produto X1 utiliza 8 horas/máquina e o produto X2 utiliza 1 hora/máquina, e a empresa só dispõe de 600
horas/máquinas.
Pede-se determinar a quantidade de cada produto que deve ser fabricada para que o lucro seja o máximo possível.
1º passo: Restrições e Função objetivo
Definir as restrições:
1) 4X1 + 3X2 ≤ 700
2) 2X1 + 6X2 ≤ 900
3) 8X1 + X2 ≤ 600
4)
X1 ≥ 0
5)
X2 ≥ 0
Definir a função objetivo: (a ser maximizada)
Lucro = 100.X1 + 160.X2 - 10.000
2º passo: transformação das desigualdades em igualdades.
1) 4X 1  3X 2  700
2) 2X 1  6 X 2  900
3) 8X 1  X 2  600
4)
X1  0
5)
X2  0
1
Atualizado em 31/08/2014
GST0190 – Métodos Quantitativos para Tomada de Decisão Aula 04b
3º passo: resolver duas a duas as equações para determinações dos vértices do polígono
Como são 5 equações de 2 incógnitas, vamos resolver 10 sistemas de 2 equações cada um, para achar 10 pontos que serão
possíveis soluções do problema.
a) Equações 1 e 2 (Aqui vamos resolver apenas o 1º sistema)
2175  0,75X 2   6X 2  900
1) 4X1  3X 2  700
2) 2X1  6 X 2  900
Substituindo em (2), temos:
4X1  700  3 X 2
350 - 1,5X 2  6X 2  900
700  3 X 2
4
X 1  175  0,75 X 2
4,5X 2  550
550
4,5
X 2  122,22
X1 
X2 
Para determinar X1, substituímos X2, pelo valor 122,22:
X 1  175  .0,75.122,22
X 1  83,34
Ponto A: (83,34; 122,22)
b) Resolvendo os outros 9 sistemas, encontramos:
Ponto B:
(55; 160)
Ponto C:
(0; 233,33)
Ponto D:
(175; 0)
Ponto E:
(58,70;130,43)
Ponto F:
(0; 150)
Ponto G:
(450; 0)
Ponto H:
(0;600)
Ponto I:
(75;0)
Ponto J:
(0; 0)
4º passo: Determinação dos vértices do polígono de soluções viáveis, ou seja, substituição dos pontos nas
restrições:
a) Ponto A (83,34; 122,22):
4× (83,34) + 3 × (122,22) = 700 
2× (83,34) + 6 × (122,22) = 900 
8 × (83,34) + 122,22 = 789 
c) Ponto C (0; 233,33)
4× (0) + 3× (233,33) = 700 
2× (0) + 6 (233,33) = 1.400 
8× (0) +
233,33 = 233,33 
b) Ponto B (55; 160)
4× (55) + 3 × (160) = 700 
2 × (55) + 6 × (160) = 1.070 
8 × (55) + 160 = 600. 
d) Ponto D (175; 0)
4 × (175) + 3 × (0) = 700 
2 × (175) + 6 × (0) = 350 
8 × (175) +
0 = 1.400 
2
Atualizado em 31/08/2014
GST0190 – Métodos Quantitativos para Tomada de Decisão Aula 04b
e) Ponto E (58,70; 130,43)
4 × (58,70) + 3 × (130,43) = 626,09 
2× (58,70) + 6 × (130,43) = 900 
8 × (58,70) +
130,43 = 600 
O ponto E satisfaz ao conjunto de inequações, portanto
ele pertence ao conjunto polígono convexo (vértice E).
f) Ponto F (0; 150)
4 × (0) + 3× (150) = 450 
2× (0) + 6× (150) = 900 
8× (0) +
150 = 150 
O ponto F também satisfaz ao conjunto de inequações,
portanto ele pertence ao conjunto polígono convexo
(vértice F).
g) Ponto G (450; 0)
4 × (450) + 3× (0) = 1.800 
2 × (450) + 6× (0) = 900 
8 × (450) +
0 = 3.600 
h) Ponto H (0; 600)
4 × (0) + 3× (600) = 1.800 
2× (0) + 6× (600) = 3.600 
8× (0) + 600 = 600 
i) Ponto I (75; 0)
4× (75) + 3× (0) = 300 
2 × (75) + 6 × (0) = 150 
8 × (75) + 0 = 600 
O ponto I satisfaz ao conjunto de inequações, portanto ele pertence ao conjunto polígono convexo (vértice I).
O Ponto J (0; 0) - satisfaz ao conjunto de inequações, portanto ele pertence ao conjunto polígono convexo (vértice J).
5º passo: substituição dos vértices na função objetivo para determinar a solução ótima
Função objetivo (a ser maximizada):
Lucro = 100.X1 + 160X2 - 10.000
a) Vértice E (58,7; 130,43)  L = 100,00 (58,70) + 160,00 (130,43) – 10.000,00 = 16.738,80
b) Vértice F (0; 150)  L = 100,00 ( 0 ) + 160,00 (150,00) – 10.000,00 = 14.000,00
c) Vértice I (75; 0)  L = 100,00 ( 75 ) + 160,00 ( 0 ) – 10.000,00 = – 2.500,00
d) Vértice J (0, 0)  L = 100,00 ( 0 ) + 160,00 ( 0 ) – 10.000,00 = – 10.000,00
3
Atualizado em 31/08/2014