Jogo e Resolução de Problemas: o Problema de Perelmán
Fernanda dos Santos Menino
Instituto Federal de Minas Gerais – IFMG/Minas Gerais/ Brasil
[email protected]
Lourdes de la Rosa Onuchic
Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho-UNESP/Rio Claro/Brasil
[email protected]
Resumo
Neste trabalho, pretende-se tratar das relações entre Jogo e Resolução de Problemas, a partir de
concepções de alguns autores para, em seguida, estabelecer a nossa. Na literatura encontra-se o termo
situação-problema, para denominar qualquer situação, em sala de aula, que envolva problematização, o
que amplia a conceituação de resolução de problemas. Dependendo da intencionalidade do professor,
para viabilizar o trabalho com situações-problema, os jogos, se bem trabalhados, atendem às
necessidades. É apresentado o Jogo dos Sete Quadrados ou o Problema de Perelmán e nossos avanços
nesse Problema. Uma das características dos resultados obtidos para o Problema de Perelmán é que eles
são frutos de nossos estudos, pesquisas e ações, que se desenvolveram junto a alunos e professores de
muitas instituições e em diferentes níveis de ensino.
Palavras-chave: Jogo, Resolução de Problemas e Problema de Perelmán
Jogo e Resolução de Problemas
A literatura aponta, como em Lopes e Rezende (2010, p.663), que o ensino tradicional
da matemática que se baseia na apresentação oral do conteúdo pelo docente abordando
definições e posteriormente demonstrações de propriedades, exercícios de fixação e de
aplicação, tem-se mostrado ineficaz.
Segundo os PCN-1997
É relativamente recente, na história da Didática, a atenção ao fato de que o aluno é
agente da construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu
conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas. (BRASIL, 1997, p.
40)
Ainda, esse documento destaca que
um aspecto relevante nos jogos é o desafio genuíno que eles provocam no aluno, que
gera interesse e prazer. Por isso, é importante que os jogos façam parte da cultura
escolar; cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade educativa dos
diferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja desenvolver. (BRASIL, 1997, p.
49)
Nos PCN-1998, lê-se que
Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem
que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na
elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções. Propiciam a simulação
de situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o
planejamento das ações; possibilitam a construção de uma atitude positiva perante
os erros, uma vez que as situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas
de forma natural, no decorrer da ação, sem deixar marcas negativas. (BRASIL,
1998, p. 46)
Para o Ensino Médio os PCN, na sua versão PCN+, deixam escrito
a resolução de problemas é a peça central para o ensino de matemática, pois o pensar
e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado
ativamente no enfrentamento de desafios. (BRASIL, 2002, p. 112)
Para Grando (1995, p. 77),
o jogo representa uma situação-problema simulada e determinada por regras, em que
o indivíduo busca, a todo momento, elaborando estratégias e reestruturando-as,
vencer o jogo, ou seja, resolver o problema. Este dinamismo característico do jogo é
o que possibilita identificá-lo no contexto da resolução de problemas.
Em sintonia com essas ideias, Moura (1992, p.53), ao estabelecer a relação entre jogo
e problema, afirma que
Podemos definir o jogo como um problema em movimento. Problema porque
envolve a atitude pessoal de querer jogar tal qual o resolvedor de problemas que só
os tem quando estes lhe exigem busca de instrumentos novos de pensamento. O jogo
faz esta exigência ao desafiar o sujeito para superar o outro [...]. O jogador busca as
regras e, lançando mão delas, procurará atingir um objetivo: a satisfação pessoal de
ganhar o jogo.
Assim, Moura trata a relação entre jogo e a resolução de problemas enquanto
produtores de conhecimento e enquanto possibilitadores de aquisição de conhecimento
matemático.
Segundo esse autor o primeiro aspecto, que envolve a produção de conhecimento pelo
jogo e pela resolução de problemas, fica evidente no campo psicológico onde muitas
pesquisas já foram realizadas sobre o assunto, sendo que, pelas conclusões que tais pesquisas
chegaram, constatou-se que
o jogo tem fortes componentes da resolução de problemas na medida em que jogar
envolve uma atitude psicológica do sujeito que, ao se predispor para isso, coloca em
movimento estruturas do pensamento que lhe permitem participar do jogo [...]. O
jogo, no sentido psicológico, desestrutura o sujeito que parte em busca de estratégias
que o levem a participar dele. (MOURA, 1992, p. 53)
Grando (1995, p.77) endossa essas ideias e diz que
ambos, o jogo e a resolução de problemas, se apresentam impregnados de conteúdo
em ação e que, psicologicamente, envolvem o pensar, o estruturar-se cognitivamente
a partir do conflito gerado pela situação-problema. A ação no jogo, tanto quanto no
problema, envolve um objetivo único que é vencer o jogo ou resolver o problema e,
em ambos os casos, o estudante se sente desafiado e motivado a cumprir esse
objetivo. Atingir o objetivo implica em dominar, em conhecer, em compreender
todos os aspectos envolvidos na ação e, portanto, produzir conhecimento.
Sob a ótica de Moura a união entre jogo e resolução de problemas está intimamente
vinculada à intencionalidade do professor.
É possível combinar jogo e resolução de problemas nas séries iniciais; porém, fazer
isto é muito mais do que uma simples atitude, é uma postura que deve ser assumida
na condução do ensino. E assumi-la com vistas ao desenvolvimento de conceitos
científicos exige um projeto de ensino, inserido no projeto coletivo da Escola. Fazer
isto é dar um sentido humano ao jogo, à resolução de problemas e, sendo assim, à
Educação Matemática. (MOURA, 1992b, p. 51)
Para ele, nas séries iniciais é que vamos encontrar as maiores possibilidades de
trabalhar o problema e o jogo como elementos semelhantes. O que os unifica é
predominantemente o lúdico. (MOURA, 1992b, p. 51)
Kishimoto (1994, p.21) defende a inserção dos jogos no ambiente escolar,
argumentando que
o jogo favorece o aprendizado pelo erro e estimula a exploração e a resolução de
problemas. O jogo, por ser livre de pressões e avaliações, cria um clima adequado
para a investigação e a busca de soluções. O benefício do jogo está nessa
possibilidade de estimular a exploração da busca de respostas e em não se
constranger quando erra.
Ainda, Grando (1995, p.78) salienta que
o jogo como resolução de problemas possibilita a investigação, ou seja, a interação e
exploração do conceito através da estrutura matemática subjacente ao jogo e que
pode ser vivenciada, pelo aluno, quando ele joga, elaborando estratégias e testandoas a fim de vencer o jogo. Neste sentido, defende-se a inserção dos jogos no
contexto educacional numa perspectiva de resolução de problemas, garantindo ao
processo educativo os aspectos que envolvem a exploração, aplicação e explicitação
do conceito vivenciado.
A autora Borin (2004, p. 8) realça que
A atividade de jogar, se bem orientada, tem papel importante no desenvolvimento de
habilidades de raciocínio como organização, atenção e concentração, tão necessárias
para o aprendizado, em especial da Matemática, e para a resolução de problemas em
geral. [...] Também, no jogo, identificamos o desenvolvimento da linguagem,
criatividade e raciocínio dedutivo, exigidos na escolha de uma jogada e na
argumentação necessária durante a troca de informações.
O texto que apresentaremos a seguir, sobre a temática: Jogo e Resolução de
Problemas, tem, quase que em sua íntegra, embasamento teórico nos livros: Jogos de
Matemática de 1o a 5o ano, Jogos de Matemática de 6o a 9o ano e Jogos de Matemática: de 1o
a 3o ano. O primeiro livro escrito por Kátia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz e Patrícia
Cândido, o segundo é de autoria de Kátia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz e Estela Milani e
o terceiro de Kátia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz, Neide Pessoa e Cristiane Ishihara.
Em nosso entender é importante apresentar a visão dessas autoras sobre a referida
temática, pois, nesses livros, sua proposta de utilização de jogos está baseada em uma
perspectiva de resolução de problemas.
Nossa proposta de utilização de jogos está baseada em uma perspectiva de resolução
de problemas, o que, em nossa concepção, permite uma forma de organizar o ensino
envolvendo mais que aspectos puramente metodológicos, pois inclui toda uma
postura frente ao que é ensinar e, consequentemente, ao que significa aprender. Daí
a escolha do termo, cujo significado corresponde a ampliar a conceituação de
resolução de problemas como simples metodologia ou conjunto de orientações
didáticas.(SMOLE, DINIZ, CÂNDIDO, 2007, p.14; SMOLE, DINIZ, MILANI,
2007, p.12; SMOLE, DINIZ, PESSOA, ISHIHARA, 2008, p.13)
As autoras esclarecem que essa perspectiva metodológica da resolução de problemas
baseia-se na proposição e no enfrentamento do que elas denominam situação-problema. Ou
seja, elas ampliam o conceito de problema, e dizem que essa perspectiva trata de situações
que não possuem solução evidente e que exigem que o resolvedor combine seus
conhecimentos e decida-se pela maneira de usá-los em busca de solução. Elas destacam três
características dessa perspectiva metodológica:
A primeira característica é considerar como problema toda situação que permita
alguma problematização.
A segunda característica pressupõe que enfrentar e resolver uma situação-problema
não significa apenas compreender o que é exigido, a aplicação de técnicas ou
fórmulas adequadas e a obtenção da resposta correta, mas, além disso, adotar uma
atitude de investigação em relação àquilo que está em aberto, ao que foi proposto
como obstáculo a ser enfrentado e até à própria resposta encontrada.
A terceira característica implica que a resposta correta é tão importante quanto a
ênfase a ser dada ao processo de resolução, permitindo o aparecimento de diferentes
soluções, comparando-as entre si e pedindo que os resolvedores digam o que
pensam sobre ela, expressem suas hipóteses e verbalizem como chegaram à solução.
(SMOLE, DINIZ, CÂNDIDO, 2007, p.14-15; SMOLE, DINIZ, MILANI, 2007, p.
12-13; SMOLE, DINIZ, PESSOA, ISHIHARA, 2008, p.13-14)
Para essas autoras a perspectiva metodológica da resolução de problemas caracterizase ainda por uma postura de inconformismo frente aos obstáculos e ao que foi estabelecido
por outros, sendo um exercício contínuo de desenvolvimento de senso crítico e da
criatividade, características primordiais daqueles que fazem ciência e estabelecem objetivos
do ensino de matemática.
Elas enfatizam que,
nessa perspectiva, a essência está em saber problematizar e não faz sentido formular
perguntas em situações que não possuam clareza de objetivos a serem alcançados,
simplesmente porque não se saberia o que perguntar. Assim como questionar por
questionar não nos parece ter sentido algum. (SMOLE, DINIZ, CÂNDIDO, 2007,
p.15; SMOLE, DINIZ, MILANI, 2007, p. 13; SMOLE, DINIZ, PESSOA,
ISHIHARA, 2008, p.14)
Sob a ótica delas, a problematização inclui o que é denominado
processo metacognitivo, isto é, quando se pensa sobre o que se pensou ou se fez.
Esse voltar exige uma forma mais elaborada de raciocínio, esclarece dúvidas que
ficaram, aprofunda a reflexão feita e está ligado à ideia de que a aprendizagem
depende da possibilidade de se estabelecer o maior número possível de relações
entre o que se sabe e o que se está aprendendo. (Idem)
Essas autoras nos chamam atenção para o fato de que as problematizações devem ter
como objetivo alcançar algum conteúdo e um conteúdo deve ser aprendido, porque contém
em si questões que merecem ser respondidas. Entretanto, é necessário esclarecer que a
compreensão que elas têm do termo conteúdo inclui, além dos conceitos e dos fatos
específicos, as habilidades necessárias para garantir a formação do indivíduo independente,
confiante em seu saber, capaz de entender e usar os procedimentos ou as regras características
de cada área do conhecimento. É preciso mencionar que, segundo elas, subjacentes à ideia de
conteúdos estão as atitudes que permitem a aprendizagem e que formam o indivíduo por
inteiro.
De acordo com essas autoras, nessa perspectiva, atitudes naturais do aluno que não
encontram espaço no modelo tradicional de ensino da matemática, como é o caso da
curiosidade e da confiança em suas próprias ideias, passam a ser valorizadas nesse processo
investigativo.
E concluem, afirmando que
Para viabilizar o trabalho com situações-problema, é preciso ampliar as
estratégias e os materiais de ensino e diversificar as formas e organizações didáticas
para que, junto com os alunos, seja possível criar um ambiente de produção ou de
reprodução do saber e, nesse sentido, acreditamos que os jogos atendem a essas
necessidades1.
1
Grifo nosso.
Eu e minha orientadora entendemos o jogo, ou qualquer atividade lúdica, como um
problema. No jogo, as regras do jogo são os dados do problema. Assim, quando se faz uso de
um jogo, na aula de matemática, deve o professor ter em mente quais conceitos e quais
conteúdos ele quer que os estudantes construam, com compreensão e significado, a partir
dele, ao longo de sua resolução.
O Jogo dos Sete Quadrados ou o Problema de Perelmán
A biografia de Perelmán indica que ele publicou vários livros. Neste item,
enfatizaremos especificamente o Problema dos sete quadrados, que aparece no capítulo 23 Juegos y trucos aritméticos - de sua obra Problemas y experimentos recreativos. Esse capítulo
é composto por trinta problemas2, onde, em vários deles, o autor faz uso da estrutura do
Dominó, ou seja, das 28 peças que o compõem.
Perelmán (1907, 1983, p. 343), no mencionado livro, apresenta o seguinte problema:
Los siete cuadrados
Cuatro fichas de dominó pueden elegirse de tal modo que con ellas
pueda hacerse un cuadrado, en el que cada uno de los lados contenga
la misma suma de puntos. Una muestra puede verse en la fig. 270:
sumando los puntos, que hay en cada lado del cuadrado se obtiene 11
Figura 270
en todos los casos.
A partir das informações dadas por Perelmán, observa-se que há várias formas de
construir esses quadrados. Na página 370, de seu livro, o autor admite a existência de várias
soluções para o problema, mas expõe apenas as duas abaixo.
2
No final do capítulo 23 de seu livro, Perelmán apresenta as respectivas soluções para cada um dos trinta
problemas por ele ali propostos.
Los siete cuadrados
Damos dos de las muchas soluciones posibles de este problema.
Figura 282
En la primera solución (fig. 282 arriba) tenemos:
1 cuadrado con la suma 3
2 cuadrados con la suma 9
1 cuadrado con la suma 6
1 cuadrado con la suma 10
1 cuadrado con la suma 8
1 cuadrado con la suma 16
En la segunda solución (fig. 282, abajo):
2 cuadrados con la suma 4
2 cuadrados con la suma 10
1 cuadrado con la suma 8
2 cuadrados con la suma 12
Nossos Avanços no Problema de Perelmán
Tudo indica que Os sete quadrados (conhecido também como o Jogo dos Sete
Quadrados ou Problema de Perelmán) foi proposto por Yakov I. Perelmán, por volta de
1907, como apontam Menino e Barbosa (2002, p.18). Esses autores, por sua vez, enunciam o
problema da seguinte forma: construir, empregando as peças do Dominó, sem repetir, sete
quadrados.
Em cada um a soma dos números indicados em cada lado de um mesmo
quadrado deve ser a mesma.
Desse enunciado resulta que todas as 28 peças deverão ser utilizadas, e infere-se que
não há qualquer exigência de que as somas constantes de cada quadrado sejam diferentes
entre si.
Uma das características dos resultados obtidos para esse problema é que eles são
frutos de nossos estudos, pesquisas e ações, que se desenvolveram junto a alunos e
professores de muitas instituições de ensino e diferentes níveis de escolaridade. Por isso, ao
longo de nossa atuação em formação continuada de professores e devido às inquietações que
essa atuação gerou, foram muitas as questões que nos propusemos a investigar, dentre as
quais destacamos: (1) Quantas soluções existem para o Problema de Perelmán? (2) Seria
possível obter a generalização do ponto de vista matemático, ou seja, uma fórmula
matemática que gerasse todas as soluções desse problema?
Assim, o envolvimento com essa temática nos levou a buscar resposta para primeira
pergunta. Desse modo, obtivemos soluções, como as publicadas no artigo da SBEM-SP, por
Menino e Barbosa (2002, p. 19):
Solução 1 – Somas: 3, 6, 8, 9, 9, 10, 16
Solução 2 – Somas: 4, 4, 8, 10, 10, 12, 12
Solução 3 – Somas: 5, 6, 8, 10, 10, 12, 16
Solução 4 – Somas: 2, 8, 8, 9, 10, 10, 15
Solução 5 – Somas: 3, 4, 10, 10, 10, 12, 12
Solução 6 – Somas: 2, 6, 7, 8, 11, 13, 14
Solução 7 – Somas: 2, 6, 8, 10, 12, 12, 14
Solução 8 - Somas: 2, 6, 8, 9, 10, 12, 12
Apresentamos oito soluções para o Problema de Perelmán, sendo que as soluções (1)
e (2) são as mesmas introduzidas por ele, no capítulo 23 do seu livro, como foi visto
anteriormente. Observamos que a estratégia utilizada para a resolução desse problema foi a de
Tentativa e Erro.
Entretanto, em seu livro, Quatro cores, senha e dominó: oficina de jogos em uma
perspectiva construtivista e psicopedagógica, Macedo e Petty (1997, p. 115) mostram apenas
as duas soluções de Perelmán e chamam atenção para a dificuldade em se descobrir uma nova
estratégia para a resolução desse problema, dizendo
Até o presente momento, não conseguimos descobrir uma estratégia para a
solução da montagem dos sete quadrados, visto que não encontramos ainda uma
regularidade que pudesse expressar uma constante, como já foi feito com o
quadrado mágico. Fizemos algumas descobertas, mas essas não são suficientes
para expressar o raciocínio completo e a lógica do jogo.
Compartilhamos com a opinião dos autores e, também, constituiu nossa preocupação
encontrar estratégias para a resolução plena do Problema de Perelmán.
Dando continuidade ao assunto, vale relatar um fato surpreendente que aconteceu
numa sala de aula, quando propusemos o Problema de Perelmán no Curso3, Atividades
educacionais com dominós, e a professora de matemática da E. E. Cel Almeida Pinto, de
Barretos, Carmen Luisa Alves Palmeira apresentou rapidamente uma solução correta e, até
então, inédita para o Problema.4
Solução 9 – Somas: 2, 5, 8, 9, 9, 13, 16
Solução da Profa. Carmem para o Problema de Perelmán
Conclusões
Avançamos nesse Problema da Matemática Discreta, mas ainda estamos no estado da
Arte e é imprescindível uma ação no sentido de se fazer Ciência. Acreditamos que ainda há
muito para ser investigado e trabalhado, atualmente inclusive com o auxílio dos recursos
computacionais, para dar respostas definitivas às perguntas: (1) Quantas soluções existem
para o Problema de Perelmán? (2) Seria possível obter a generalização do ponto de vista
matemático, ou seja, obter uma fórmula matemática que gerasse todas as soluções do
problema?; que, em nosso entender, até hoje encontram-se em aberto.
3
Realizado no dia 16 de julho de 2004 na FEB em Barretos/SP no Curso de Matemática II do Programa de
Formação Continuada - Teia do Saber da S.E.E.
4
O fato foi notícia no jornal da cidade de Barretos e da Instituição. Conferir em Anexo III. Disponível em:
<http://www.feb.br/jornalset04.htm>. Acesso em: 17. jul. 2010.
Referências Bibliográficas
BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. São
Paulo: IME-USP, 2004.
BRASIL, Ministério da Educação e da Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (PCN+). Brasília: MEC/SEMT, 2002.
BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto e Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática: Ensino de primeira à quarta série.
Brasília: MEC/SEF, 1997. 142p.
GRANDO, R. C. O Jogo e suas Possibilidades Metodológicas no Processo EnsinoAprendizagem da Matemática, 1995. Dissertação (Mestrado em Educação, subárea:
Matemática). UNICAMP-Campinas.
KISHIMOTO, T. M. O Jogo e a Educação Infantil. São Paulo: Pioneira, 1994.
LOPES, J. M. REZENDE, J. C. Um Novo Jogo para o Estudo do Raciocínio Combinatório e
do Cálculo de Probabilidade. Revista BOLEMA, v. 23, no 36, 2010, p.657-682.
MACEDO, L. de., PETTY, A. L. S., PASSOS, N. C. Quatro cores, senha e dominó:
Oficina de jogos em uma perspectiva construtivista e psicopedagógica. São Paulo: Casa
do Psicólogo, 1997.
MENINO, F. S. BARBOSA, R. M. Uma seleção de atividades lúdicas usando dominós.
Revista de Educação Matemática, SBEM-SP. São Paulo, ano 8, n 6-7, p.15-21, 2001-2002.
MOURA, M. O. A Construção do Signo Numérico em Situação de Ensino, 1992. Tese
(Doutorado em Educação, subárea: Matemática). USP-São Paulo.
MOURA, M. O. O Jogo e a construção do conhecimento matemático. São Paulo: FDE,
1992b. (Série Ideias 10).
ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In:
BICUDO, M. A. V.(Org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora
UNESP,1999. cap.12, p.199-220.
ONUCHIC, L. R. Notas de aula da disciplina de Pós-graduação (lato sensu) em Educação
Matemática. Resolução de Problemas na Aprendizagem de Matemática.
FAFICA/Catanduva-SP, 2003.
PERELMÁN,Y.I. Problemas y experimentos recreativos. 2ª ed. Tradução do russo por
Antonio Molina García. Moscú: Mir, 1983.
SMOLE, K. S. DINIZ, M. I. CÂNDIDO, P. Jogos de matemática de 1o a 5o ano. Porto
Alegre: Artmed, 2007. (Série Cadernos do Mathema-Ensino Fundamental)
SMOLE, K. S. DINIZ, M. I. MILANI, E. Jogos de matemática de 6o a 9o ano. Porto Alegre:
Artmed, 2007. (Série Cadernos do Mathema-Ensino Fundamental)
SMOLE, K. S. DINIZ, M. I. PESSOA, N. ISHIHARA, C. Jogos de matemática: de 1o a 3o
ano. Porto Alegre: Artmed, 2008. (Série Cadernos do Mathema-Ensino Médio)