Determinantes
Vamos associar a cada matriz quadrada A um número a que chamaremos determinante de A.
a11 a12
Uma matriz de ordem 2, A =
, é invertı́vel se e só se
a21 a22
a11 a22 − a21 a12 6= 0,
como vimos.
O número a11 a22 −a21 a12 ser zero ou não é importante. Chama-se determinante
da matriz A e denotamos por |A| ou det(A).


a11 a12 a13
Consideremos agora a matriz de ordem 3, B =  a21 a22 a23 .
a31 a32 a33
Utilizando o método de eliminação de Gauss obtemos:


a11 a12 a13
 a21 a22 a23  →
a31 a32 a33


a11
a12
a13
 0 a11 a22 − a12 a21 a11 a23 − a13 a21  →
0 a11 a32 − a12 a31 a11 a33 − a13 a31


a11
a12
a13
 0 a11 a22 − a12 a21 a11 a23 − a13 a21  ,
0
0
a11 ∆
onde
∆ = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31
O número ∆ é o determinante da matriz B.
Podemos escrevê-lo de outro modo:
∆ = a11 det
a22 a23
a32 a33
− a12 det
1
a21 a23
a31 a33
+ a13 det
a21 a22
a31 a32
ou ainda
a11 det B11 − a12 det B12 + a13 det B13 ,
onde B11 , B11 , B13 são obtidas de B eliminando a primeira linha e uma das três
colunas.
Definição 0.1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Representamos por Aij
a matriz que se obtém de A por supressão da linha i e da coluna j.
Ao det(Aij ) chama-se menor de ı́ndices i e j.
A Cij = (−1)i+j det(Aij ) chama-se co-factor ou complemento algébrico de
ı́ndices i e j.
Chama-se matriz dos co-factores da matriz A, à matriz cuja entrada na linha
i e coluna j é o co-factor Cij .
Definição 0.2 Chama-se adjunta da matriz A, e denota-se por adj(A), à transposta da matriz dos co-factores de A.
Vamos generalizar a noção de determinante para matrizes quadradas de qualquer ordem. Enunciamos um resultado importante.
Teorema 0.3 Teorema de Laplace. Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem
n. O determinante de A é igual à soma dos produtos dos elementos de uma
sua qualquer coluna ou linha pelos respectivos complementos algébricos, isto é,
dados k, p ∈ {1, . . . , n} tem-se
det A = |A| =
n
X
ar,p (−1)r+p det Arp
r=1
ou
det A = |A| =
n
X
ak,r (−1)k+r det Akr
r=1
Proposição 0.4 Se A e B forem matrizes quadradas da mesma ordem, então
det(AB) = det(A)det(B).
Se A é uma matriz não singular, então det(A) é não nulo e
det(A−1 ) =
2
1
.
det(A)
Propriedades
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
1. O determinante de A e da sua transposta são iguais, |A| = |AT |.
De acordo com 1, qualquer teorema que diga respeito a linhas terá resultado
análogo para colunas.
2. Se a matriz A tem uma linha ou coluna (fila) nula então |A| = 0.
3. Se multiplicarmos uma fila por α não nulo então |A| vem multiplicado por
α.
4. |αA| = αn |A|.
5. Se a matriz A for triangular (superior ou inferior) então |A| é o produto dos
elementos da diagonal principal, o termo principal.
6. Se em A trocarmos duas filas paralelas então |A| muda de sinal.
7. Se a matriz A tem duas filas paralelas idênticas então |A| = 0.
8. Se a matriz A tem duas filas paralelas proporcionais então |A| = 0.
9. Se os elementos de cada fila de |A| são polinómios de m termos, então |A| é
igual à soma dos m determinantes que se obtêm a partir de |A| substituindo
a fila considerada pelos seus 1.o termo, 2.o termo, etc, m.o termo.
10. |A| não se altera quando se adiciona aos elementos de uma fila os elementos
correspondentes de outra fila paralela multiplicados por α não nulo.
11. |A| não se altera quando se adiciona aos elementos de uma fila uma combinação
linear de outras filas paralelas.
12. Se a caracterı́stica da matriz A é inferior à sua ordem então |A| = 0.
13. Se a caracterı́stica da matriz A é igual à sua ordem então |A| =
6 0. Assim,
se |A| = 0, a matriz A é singular e portanto não invertı́vel; se |A| =
6 0, a
matriz A é não singular e portanto invertı́vel.
Podemos enunciar uma última propriedade:
3
Proposição 0.5 As seguintes afirmações são equivalentes:
1. A matriz A é invertı́vel.
2. O sistema Ax = b é possı́vel e determinado, para qualquer b.
3. |A| =
6 0.
4. O sistema Ax = 0 é determinado.
Resolução de um determinante utilizando as propriedades
− 1
2
−1
2
1
0
= −(−5) 0
0
2
1 −1 2 1
3
2 −3 =
−1 2
1 −1 2 −3 −1 4 1 3
3
2 −3 0 −5
1 −1 2 =
−
0 5
2
1 −1 0 −9
−3 −1 4
1 3
3
2
−3 0 1
1
1 −8/5 =
5
0 0
5
3
−4 0 0
−9 −5 10 1 3 2
−3
0 1 1 −8/5 =
5 4 0 0 −2
0 0 0 18/5 2 −3 −5 8 =
3 −4 −5 10 2
−3
1 −8/5
−2
4
4 −22/5
= 5 × [1 × 1 × (−2) × 18/5] = −36
4
=
Aplicações do determinante
Cálculo da inversa de uma matriz:
Teorema 0.6 Para qualquer matriz A de ordem n, n ≥ 2, tem-se:
Aadj(A) = det(A)I.
Se det(A) é não nulo, então a inversa de A existe e é dada por
A−1 =
1
adj(A).
detA
Resolução de sistemas:
Para resolver sistemas possı́veis e determinados com matrizes quadradas podemos utilizar:
b = Ax ⇔ x = A−1 b ⇔ x =
adj(A)b
.
det(A)
Então:
Teorema 0.7 Regra de Cramer. Seja A uma matriz invertı́vel de ordem n e seja
b ∈ Rn . Seja Ai a matriz obtida substituindo-se a i-ésima coluna de A por b. Se
x for a única solução de Ax = b, então
xi =
det(Ai )
,
det(A)
para i = 1, . . . , n.
5