Exemplos:
Ex1:
Pretende-se aplicar um esforço
axial F=2,2kN a uma barra de
150×109 =
2200
A
FL
2200 L
0,002=
EA
70 × 10 9 A
L=0,92909 m
L=
F=2200N
A= 0,0000146m2 A= 14,6mm2
0,002 =
2200 L
70 × 10 × 0,0000146
9
F
0.04 × 0,046
F.0250
,
0,0003 =
9
9810
. ×004
, ×0046
,
124.106 =
a=40mm
Tensão de
Rotura (σR)
DISCIPLINA
DE
MM I
Limite de
Limite de Fluência
Proporc.
b=46mm
c=25cm
F=228160 N
F=216384 N
Comparando os valores dos esforços, concluímos que a
força que satisfaz simultaneamente as duas condições é
F = 216,384 kN
Casimiro Pinto
Tensão
máxima (σu)
D
F
Aplica-se um esforço F a um
bloco de cobre (E=98Gpa) com
25 cm de comprimento e secção
transversal 40×46 mm. Calcule o
valor de F de modo que a tensão
normal não exceda 124 Mpa e o
encurtamento do bloco seja no
máximo 0,12% do comprimento
total.
Resolução: δL =250×0,12% =0,3 mm=0,0003 m
F
A
FL
δl =
EA
A B
929,09 mm
Ex2:
σadm =
Z O N A PLÁ STICA
δL=
F
A
C
δL=2 m m
ZO N A ELÁSTICA
σadm =
σ
L
alumínio com σadm= 150 Mpa e E=
70Gpa, para alongar 2 mm.
Calcule:
- O menor diâmetro e o menor
comprimento que a barra deverá
ter.
5
O
MATERIAL DÚCTIL
TENSÕES
E
DEFORMAÇÕES
ε
6
1.ª PARTE
1
F
Lo
Lf
δ
F
Lo = Comprimento Inicial
Lf = Comprimento Final
δ = Deformação
Como F actua na direcção do eixo principal
δ = Lf -Lo
da peça, chama-se Esforço Axial, e por
conseguinte, δ representa a Deformação
δ em (mm, cm, polg,
Axial
etc.)
™ Deformação específica ou Deformação
L f − L0
Observações
ƒ Só para Materiais
homogéneos
ƒ Válido
para
a
condição elástica
Para
achar
σy
σ
e
σy
σ
δ
Frágil
B.1- Diagrama Esforço-Deformação
ZON A E LÁS TIC A
ZON A PLÁST ICA
ZONAS:
σ
O-A: Zona Elástica. Aqui os
C
D
esforços
ou
as
deformações
são
Tensão
Tensão de
máxima (σu)
Rotura (σ R)
proporcionais. A constante
A B
de proporcionalidade, o
Limite de
Limite de
Fluência
pendente da recta, ChamaProporc.
se Módulo de Elasticidade
Longitudinal ou Módulo de
MATERIAL DÚCTIL
Young e representa-se pela
ε
O
letra E.
A-B: Zona de Fluência. Aqui o material começa a perder as suas
propriedades elásticas, pelo que se dão deformações importantes,
sem mudanças grandes de esforço.
B-C: Zona de endurecimento por Deformação. Aqui, devido à
mudança da estrutura interna do material, observa-se incremento
não linear de σ e ε. No entanto, as deformações são irrecuperáveis
(Zona Plástica). Alcança-se o máximo esforço do material (Ponto C).
C-D: Zona de Estricção. O material não é capaz de suportar mais
esforço, e começa a experimentar deformações adicionais ,
enquanto σ diminui até à rotura ( Ponto D).
2
ε
Dúctil
Material Frágil:
frag
rot
Material Dúctil:
tens.
máx.
〈σ
εy
Para
materiais
que
têm
comportamento elástico; sabese que:
σ = E.ε
comp
máx.
Consideremos
o
elemento actuado
esforço axial:
comp.
tens.
σfluênc.
=σfluênc
F
σ
(1)
seguinte
com um
σ = E.ε
F
Lo
δ
Como vimos:
σ =
F
Lo = Comprimento Inicial
(Módulo de Young)
E
=
Módulo
de
Elasticidade Longitudinal
ou Módulo de Young.
Pa, psi, ksi, etc..
3
ε=
δ
L0
ou seja:
vamos
Então a fórmula fica:
A = Área da secção
E = Módulo de Elasticidade Longitudinal
e
designar L0=L
Onde:
ε
F
A
δ
F
=E
A
L0
F .L0
δ =
E. A
F .L
E. A
δ =
Lf
E = Pendente do
troço elástico
Unidades:
A
F
σy
E ε
y
ε
Tendo em conta a lei
de Hooke (1) vem:
B.3- Lei de Hooke (Módulo de Elasticidade Longitudinal)
¾ DEFINIÇÃO
Relação
que
cumprem todos os
materiais
que
apresentam
comportamento
elástico, e é válida
unicamente
para
essa condição.
εmax
0.2%εmax
B.4- Deformação Axial
duct
rot
Não tem zona de estricção
σ
ε
〈〈 ε
Método do
“Offset”
εy
Fragilidade: Propriedade de alguns materiais que apresentam a
condição de rotura sem que apresente uma mudança importante na
percentagem de aumento de comprimento ( ex. vidro, ferro fundido,
pedra, etc.)
ε=
=
Unitária (ε)
L0
L0
Representa
o
alongamento
(ou
o
É
uma
grandeza
encurtamento) por unidade de comprimento
adimensional
da barra.
Nota: Se tivermos em conta o valor percentual, representa a fracção
do comprimento inicial que se deforma, e tem a vantagem que, por ser
um valor relativo, indica como se deforma esse elemento em função do
comprimento inicial.
Casimiro Pinto
⎛δ -δ ⎞
% duct. = ⎜⎜ R F ⎟⎟ ×100
⎝ δF ⎠
tangente
¾ DEFINIÇÃO
Alteração do comprimento
de um corpo devido à acção
de uma força externa
B.2- Ductilidade vs. Fragilidade
¾ DEFINIÇÃO
Ductilidade:
Propriedade
de
alguns materiais terem grandes
deformações
para
pequenos
incrementos de esforço (ex. Aço,
Alumínio, etc.)
paralela
- TENSÃO E DEFORMAÇÃO-ESFORÇO NORMAL SIMPLES
Unidades
de comprimento
ƒ Quando existam vários
troços em série temos:
n
δT = ∑
i =1
Fi .Li
Ei . Ai
ƒ Se E, A ou F é variável
temos:
L
δ =∫
0
F ( x)
dx
E ( x). A( x)
4