EIXO TEMÁTICO III: ESPAÇO E FORMA
Tema 1: Relações geométricas entre figuras planas
Tópico 16: Construções geométricas
Objetivos:
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Possibilitar aos alunos de escolas que tenham laboratório de informática a familiarização com o programa de
geometria dinâmica ZUL.
Capacitar os alunos no uso das ferramentas ponto, reta, segmento, circulo e compasso para algumas
construções geométricas elementares.
Providências para a realização da atividade:
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Verificar se os equipamentos do laboratório de informática estão em condições de uso e se o programa está
instalado e rodando em todos os computadores.
Agendar a data e o horário de ocupação do laboratório.
Providenciar para que a barra de ferramentas do programa exibida em cada máquina seja a que se vê
abaixo:
Observação: Na impossibilidade de se usar um laboratório de informática todos os exercícios da oficina podem ser
feitos usando-se, exclusivamente régua e compasso. Ver, nesse caso, o roteiro de atividades
intitulado “Construções geométricas elementares usando régua e compasso”.
Pré-requisitos:
Familiaridade com os conceitos de ponto, reta, segmento, circunferência, ângulo, compasso, triângulo, paralela,
perpendicular.
Descrição dos procedimentos:
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Fazer uma paciente demonstração do uso de cada uma das ferramentas exibidas, incluindo-se a edição de
cada objeto desenhado, permitindo que os alunos repitam cada uma das ações realizadas pelo professor,
até que seja possível perceber que eles dominam o seu uso.
Distribuir para os alunos (ou grupos) cópia da seqüência de exercícios listados a seguir e acompanhar sua
execução orientado-os no que for necessário.
Antes de cada exercício discutir com os alunos os conceitos geométricos pertinentes.
Finalizando a oficina, mostrar aos alunos as ferramentas perpendicular, paralela e ponto médio e fazer uma
demonstração de seu uso.
Lista de exercícios
Construções geométricas elementares com o uso do ZUL
Exercício 1: Determinar, geometricamente, o ponto médio de um segmento P1P2 .
a. Use a ferramenta
para desenhar o segmento P1P2 .
b. Selecione a ferramenta
.
c. Com centro em P1 desenhe uma circunferência C1 de raio P1P2 .
d. Com centro em P2 desenhe uma circunferência C2 de raio P1P2 .
e. Use a ferramenta
para determinar as duas interseções I1 e I2 de C1 e C2.
f. Com a ferramenta
desenhe o segmento de extremos I1 e I2 .
g. A ferramenta
h. Com a ferramenta
determina a interseção I3 do segmento I1 I2 com o segmento P1P2 .
esconda C1 , C2 , I1 , I2 , I1 I2 .
i. Desenhe, com a ferramenta
os segmentos P1 I3 e I3 P2.
j. Edite P1P2 (s1), P1 I3 (s3 ) e I3 P2 (s4) e exiba suas medidas.
e observe o que acontece com as medidas de s1 ,s3 e s4 .
k. Arraste P2 com a ferramenta
Observação: Se alguma dessas ações não funcionar corretamente, peça ajuda ao seu professor.
Exercício 2: Determinar, geometricamente, a mediatriz de um segmento P1P2 .
a. Repita os passos do item a até o item e do exercício 1.
b. Use
para traçar a reta passando por I1 e I2.
c. Com a ferramenta
esconda C1 , C2 , I1 e I2 . Pronto! A mediatriz está desenhada.
d. Agora, arraste P2 com a ferramenta
e observe o que acontece com a mediatriz do segmento P1P2 .
Exercício 3: Por um ponto P de uma reta r, traçar, usando régua e compasso, uma reta perpendicular a r.
a. Com a ferramenta
desenhe uma reta l1 e edite-a para renomeá-la para r e exibir seus dois pontos P1 e P2 . Para fazer
isso, leve o cursor até que a reta fique alaranjada e dê um clique com o botão direito.
b. Use a ferramenta
para marcar o ponto P3 sobre r. Edite-o para exibir P3.
c. Com centro em P3 use a ferramenta
d. A ferramenta
para traçar a circunferência C1 com um raio qualquer diferente de zero.
determina as interseções I1 e I2 de C1 com a reta r.
e. Com centro em I1 e I2 e raio igual a I1I2 , use novamente a ferramenta
C3.
f. Determine com a ferramenta
g. Use a ferramenta
h. Ative a ferramenta
para traçar as circunferências C2 e
as interseções I3 e I4 de C2 e C3 com r.
para traçar a reta passando por I3 e I4 .
para esconder C1 , C2 , C3 , I1 , I2 , I3 e I4 . Pronto. A perpendicular está desenhada.
i. Agora, arraste P2 com a ferramenta
e observe o que acontece com a perpendicular à reta r.
Exercício 4: Dados três segmentos, s1, s2 e s3, construir, geometricamente, um triângulo que tenha como lados
esses segmentos.
a. Com a ferramenta
desenhe os segmentos s1, s2 e s3 de tal forma que os comprimentos de s1, s2 e s3 tenham
aproximadamente, 3cm, 4cm e 5cm.
b. Edite-os para exibir seus pontos extremos e seus nomes.
c. Para facilitar a visualização da construção, com a ferramenta
uma área livre na tela de trabalho.
mova o segmento s3 (o maior deles) para
d. Selecione a ferramenta
. Clique em P1 e depois em P2 (extremos do segmento s1). Aparecerá uma
circunferência alaranjada que se move com o mouse. Arraste-a até que o dedo da mãozinha esteja sobre o ponto P5
(extremo do segmento s3) e clique o botão esquerdo. Assim estará desenhada uma circunferência de centro em P 5 e
raio igual ao comprimento de s1.
e. Repita o que foi feito em d, clicando em P3 e P4 (extremos do segmento s2) e arraste a circunferência alaranjada
até que seu centro esteja sobre o ponto P6 (o outro extremo do segmento s3). Clique o botão esquerdo. Estará
desenhada uma circunferência de centro em P6 com raio igual ao comprimento de s3.
f. A ferramenta
determina as interseções I1 e I2 dessas duas circunferências.
g. Com a ferramenta
desenhe os segmentos P5 I1, P5 I2, P6 I1 e P6 I2.
h. Esconda, com a ferramenta
as duas circunferências. Pronto! Você construiu dois triângulos P5I1P6 e P5I2P6
que têm as medidas de seus lados iguais as medidas dos segmentos s 1, s2 e s3.
i. AGORA, UM EXPERIMENTO INTERESSANTE!!!!!. Ative a ferramenta
. Selecione o extremo P2 do
segmento s1, mova-o e observe o que acontece com os triângulos desenhados. Faça o mesmo com o extremo P4 do
segmento s2. Discuta com seu colega o resultado desse experimento e peça ao professor que explique o
acontecimento.
Possíveis dificuldades:
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No exercício 1, no item k , o que deve ser observado pelos alunos é que se arrastando um dos extremos P 1
ou P2 do segmento P1 P2 as medidas dos segmentos P1 I3 e I3 P2 continuam iguais à metade da medida do
segmento P1 P2. Isto significa que a construção vale para qualquer segmento de extremos A e B, ou seja
essa construção é geral e não depende do uso de instrumentos de medida. Pode-se comentar que é possível
demonstrar esse fato usando-se, por exemplo, congruência de triângulos.
No exercício 2: Assim que os alunos concluírem a construção da mediatriz e verificarem, pela
movimentação, que essa construção é geral, o professor deve justificá-la relembrando sua definição e,
usando as ferramentas apropriadas mostrar que pontos sobre a reta construída satisfazem essa definição e,
além disso, que esse fato pode ser demonstrado, usando-se, por exemplo, congruência de triângulos.
Dependendo do nível da turma o professor pode avaliar a conveniência de fazer essa demonstração durante
a oficina.
No exercício 3: Observação análoga a do exercício 2. Note que uma forma de usar o Zul, para verificar que
a reta construída é, de fato, perpendicular a reta dada é, por exemplo, verificar que ela é a mediatriz do
segmento I1 I2. A demonstração pode ser feita, novamente, usando-se congruência de triângulos.
No exercício 4: O professor deve aproveitar o experimento para explorar a condição de existência de um
triângulo, qual seja: a medida de qualquer um dos lados de um triângulo deve ser maior que a diferença das
medidas dos outros dois e menor que a soma dessas medidas.
Essa oficina pode exigir um tempo maior para a sua realização. Esse tempo dependerá do nível de
familiaridade dos alunos com o programa ou do hábito que eles tenham na manipulação da régua e do
compasso.
Alerta para riscos:
Não há.
Glossário:
Zul ou C.a.R : Software de geometria dinâmica de uso livre. Por ser encontrado no CD distribuído aos participantes
do curso de capacitação em matemática realizado em 2005 ou, por exemplo, no
endereço: www.professores.uff.br/hjbortol/car/
Indicação de todos os LINKs internos no CRV:
OP 17 – Construções geométricas
Roteiro de Atividade: Oficina: Construções geométricas elementares com o auxílio do programa de geometria
dinâmica ZUL
Currículo Básico Comum - Matemática Ensino Fundamental
Autor(a): Prof. Carlos Afonso Rego - Clbs.: Ângela Maria Vidigal e Maria das Graças Gomes Barbosa
Centro de Referência Virtual do Professor - SEE-MG/2006