matA12
teorema de Bolzano-Cauchy
1.
1.1.
Esboce um gráfico de uma função f de domínio  2, 4 , com f  2   3 e f  4   5 , tal
que a equação f  x   0 seja impossível.
1.2.
Esboce um gráfico de uma função g de domínio  2, 4 , com f  2    e f  4   7 , tal
que a equação f  x   5 seja impossível.
1.3.
2.
As funções representadas anteriormente são contínuas?
Consideremos uma função f de domínio
. Sabe-se também que:

f 1  3 e f  4   7
 é contínua
Das afirmações seguintes, indique as que são necessariamente verdadeiras:
(A) “A função f tem pelo menos um zero.”
(B) “A equação f  x   k , com k   3,7 , é possível no intervalo 1, 4 .”
(C) “O contradomínio de f é  3,7 .”
3.
, definida por f  x   4 x3  3x 2   . Mostre
Considere a função polinomial, de domínio
que a função tem pelo menos um zero no intervalo 1, 2 .
4.
Considere a função de domínio

, definida por f  x   e x ln x . Prove que a equação
f  x   300 tem, pelo menos uma solução no intervalo 1,6 .
5.
Considere a função f definida por:
 2 x2

f  x   x  5
 8

se x  5
se x  5
Indique, justificando, em qual dos intervalos o Teorema de Bolzano permite afirmar que a
equação f  x   15 é possível:
(A)
6.
4,6
(B)
1, 4
(C)
1, 2
Prove, recorrendo ao Teorema de Bolzano, que a equação e x  x , tem pelo menos uma
solução no intervalo 0,1 .
Sugestão: Faça e x  x  e x  x  0 e prove que a função definida por f  x   e x  x ,
tem pelo menos um zero no intervalo 0,1 .
www.matematicaonline.pt
[email protected]
1/4
matA12
teorema de Bolzano-Cauchy
7.
, em que f  2   3 e f  8  4 .
Seja f uma função de domínio
Indique, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras:
7.1.
5  Df
7.2.
A equação f  x   0 , tem solução no intervalo x  2,8 .
7.3.
f não tem zeros se não for contínua em 2,8
7.4.
Se f é contínua no intervalo  2,8 , então existe k  2,8 , tal que f  k   2 .
7.5.
Se f é contínua no intervalo  2,8 , então f  x   6 .
8.
Mostre que o gráfico de f  x   e x  3x , interseta a bissetriz dos quadrantes ímpares num
ponto pertencente ao intervalo 2,3 .
9.
, sabe-se que 1 é zero de g e que g  3  0 . Prove que a
De uma função g, contínua em
equação: g  x  
g  3
2
tem, pelo menos, uma solução no intervalo 1,3 .
10. Considere as funções f  x   e x e g  x   ln  x  5  .
2
Mostre que os gráficos de f e g intersetam-se num ponto de abcissa pertencente ao intervalo
1,0 .
11. Seja f uma função contínua em  0, 2 , tal que f  0  f  2   f 1  f  0  .
Prove que  c  0,1 em que f  c   f  c  1 .
12. Seja f uma função definida por f  x   ln ea  x  1 e a  1,   .
Mostre que f tem pelo menos um zero em 3,0 .
13. Considere a função f, real de variável real, definida por f  x    x 2  e x .
13.1. É verdadeira ou falsa a proposição seguinte? Justifique.
 x 0,1 : f  x   2
13.2. Prove que a função admite pelo menos um zero no intervalo 1,0 .
www.matematicaonline.pt
[email protected]
2/4
matA12
teorema de Bolzano-Cauchy
14. Considere uma função real de variável real contínua de domínio  a, b . Prove que a média
aritmética de quaisquer dois valores da função é também um valor da função.
15. No referencial está representada parte do gráfico da função
f, de domínio 1,  , definida por f  x   log 2 x .
O ponto P pertence ao gráfico de f e o ponto Q é o ponto
do eixo Oy que tem a mesma ordenada de P.
Mostre, por processos analíticos, que existe um ponto com
abcissa no intervalo 2, 4 para o qual a área do triângulo
OPQ é igual a  .
16. Sejam f e g duas funções contínuas de domínio
tais que:
f  2  g  2 e f  3  g  3
Qual das afirmações é necessariamente verdadeira?
(A) A função f  g tem um zero no intervalo  2,3 .
(B) A função f  g tem um zero no intervalo  2,3 .
(C) A função
g
tem um zero no intervalo  2,3 .
f
(D) A função g  f tem um zero no intervalo  2,3 .
17. Prove que a equação
3x 3  4 x 2  8 x  7  0
tem pelo menos uma solução em
.
18. Num ateliê, a temperatura, T, ambiente, em graus Celsius, t horas após as zero horas do dia
1 de agosto de 2011, é dada, aproximadamente, por:
T  t   15  0,1t 2e0,15t com t 0,20
18.1. Mostre, recorrendo ao Teorema de Bolzano, que existiu um instante, entre as 8 horas e as
13 horas e 30 minutos, em que a temperatura ambiente no ateliê foi de 17ºC.
18.2. Recorrendo à calculadora gráfica, determine uma aproximação do instante da alínea
anterior. Apresente o resultado em horas e minutos, arredondados às unidades.
Bom trabalho!!
www.matematicaonline.pt
[email protected]
3/4
matA12
teorema de Bolzano-Cauchy
Soluções
1.
1.1.
1.1.1. -1
1.1.2. 1
1.1.3. 1
1.1.4. -2
1.1.5. -2
1.1.6. -1
1.1.7. 0
1.1.8. 0
1.1.9. 0
1.2.
2.
3.
f: x  2
g: x  2
g: não tem
h: x  0
4.
4.1.
4.2.
1
3
4.2.1.

5.
5.1.
5.3.
1

6.
6.1.
4
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
16.1.
16.2.
4
4.2.2.
6.2.
0
5.2.
5.4.

0
6.3.
4
6.4.
4
D
Às 8 horas e 24 minutos
www.matematicaonline.pt
[email protected]
4/4