A MASSA DO MÓDULO LUNAR
Sérgio Noriaki Sato
[email protected]
Resumo
Muitas vezes os colegas professores, até por saberem que trabalho com
Modelagem Matemática, perguntam-me o que a Modelagem é e como podem implementála em seus trabalhos. Minha concepção de Modelagem Matemática é a mesma de
BARBOSA, 2001, ou seja, a de um ambiente de aprendizagem.
Este relato de experiência apresenta um acompanhamento de investigação
matemática que realizei junto a um grupo de alunos que trabalhavam com o software
Lunar Lander1.
Desta forma, iniciou-se um trabalho de modelagem e investigação matemática,
nos moldes de PONTE, 2003, sobre um módulo espacial em pouso na Lua.
Meu objetivo era que eles realizassem uma investigação matemática e extraíssem
informações sobre o tema escolhido; e, desta forma, pudessem praticar a Modelagem
Matemática. O grupo atuou comigo de forma satisfatória e conseguimos determinar a
massa do módulo lunar do software2 em 7670 kg.
Palavras-chave:
Investigação
Matemática;
Projeto
Interdisciplinar;
Modelagem
Matemática
Relato
Sou professor de Matemática3 do Ensino Médio de uma escola particular na
cidade de São Paulo, de grande tradição, até mesmo por completar, em 2010, 50 anos de
fundação. A disciplina de Matemática que desenvolvo ocorre apenas para os alunos do
terceiro ano do Ensino Médio. A minha disciplina é oferecida como uma frente (ou
1
Bolder,
O Lunar Lander é um software free desenvolvido pela equipe do PhET da Universidade do Colorado, em
EUA,
e
que
pode
ser
conseguido
no
endereço
http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Lunar_Lander
2
Apenas como comentário, o site Wikipédia informa, em sua versão em inglês, que o módulo lunar, chamado
de Eagle (águia) tinha massa de 16.448kg.
3
Além de professor universitário.
741
divisão) da disciplina principal e minha função é trabalhar com os conteúdos já vistos nos
anos anteriores (revisão) e realizar uma preparação especial para os processos seletivos do
ITA (Instituto Tecnológico da Aeronáutica) e do IME (Instituto Militar de Engenharia).
Sempre que posso (e não posso tanto quanto gostaria, pois o colégio é muito tradicional)
desenvolvo projetos de “convite à modelagem matemática” e isto passou a ser um modo
interessante de envolver os alunos numa perspectiva de formação científica, conforme
ZEICHNER, 1993.
De forma geral os alunos têm os pré-requisitos matemáticos e particularmente o
grupo que atendi está acima da média.
O professor de Física estava usando um software denominado Lunar Lander que
essencialmente é um jogo. Neste jogo o participante controla um módulo lunar, uma
pequena nave que desce na Lua. De fato, visualmente, é muito parecido com os módulos
lunares que pousaram na Lua no final dos anos sessenta e início dos anos 70 do século XX.
Um dos motivos da atividade é que, este ano, em 20 de julho, comemoram-se os
40 anos da chegada dos astronautas ao nosso satélite natural.
No jogo o módulo é controlado pelas setas direcionais do teclado, pela barra de
espaço e temos, ainda, vários indicadores, que formam o painel de controle, como pode ser
visto na figura a seguir.
O módulo inicialmente está em repouso a 50m acima da superfície da Lua. O
painel de controle de fundo amarelo, no alto à direita, contém: uma seta azul que indica a
inclinação do eixo vertical do módulo; um altímetro (na figura indicando 37m), um
medidor denominado range, que indica a que distância se está do alvo principal da missão
(na figura indicando 45m); um medidor de velocidade vertical, v_y, em metros por
segundo (na figura, -6,5); um medidor de velocidade horizontal, v_x, também em metros
por segundo (na figura 0,0); um indicador do empuxo recebido do motor principal,
denominado thrust, em newtons; e a indicação de quanto combustível resta a disposição do
742
módulo, tanto na barra vertical verde, quanto no indicador digital, logo abaixo, que na
figura mostra 817kg de combustível.
Pode-se, ainda, habilitar ou não o som e a visualização dos vetores de velocidade
e aceleração que atuam sobre o módulo.
O objetivo do jogo é pousar o maior número de vezes no solo lunar, o mais
suavemente possível (protegendo assim a nave e a tripulação), com o combustível
disponível, inicialmente em 817kg. Vence a competição o participante que marcar mais
pontos. Os pousos devem ocorrer nas regiões planas, pois as rochas e penhascos destroem
a nave e a missão se encerra. Pousar mais de uma vez na mesma região plana não concede
novos pontos. A pontuação é maior se o pouso é realizado em locais estreitos, entre rochas,
e menor se nas grandes áreas planas. De fato, são 5 pontos nas grandes áreas planas e 50
pontos nas regiões estreitas. Dez pontos extras são concedidos se o pouso ocorre com
velocidade inferior a 2,0m/s, velocidade total do módulo, como a resultante dos efeitos
vertical e horizontal. A nave também é destruída, mesmo que seja uma zona plana, se a
velocidade do módulo superar 12m/s.
Como controles adicionais existem os botões do teclado R e P que,
respectivamente, são usados para reiniciar (reset) e para pausa (pause).
A barra de espaço desliga o motor principal, se ele estiver ligado, e liga o motor
principal, em máximo empuxo, de 45.000N, se ele estiver originalmente desligado.
A intenção do professor de Física, neste jogo, exceto as comemorações do pouso
na Lua, era estudar os efeitos da gravidade na queda livre, no lançamento vertical, a
dinâmica dos vetores, velocidade e aceleração, na movimentação do módulo. Para os
alunos, obviamente, trata-se de um jogo, e, portanto, de um ambiente no qual podem
brincar, ainda que também possam discutir conceitos de Física.
O jogo permite que se possa determinar a altura máxima que o módulo atinge, ou
mesmo com que velocidade ele pousa na Lua. Uma das primeiras perguntas que os alunos
fizeram ao professor de Física foi “Qual a aceleração da gravidade na superfície da Lua?”.
O professor respondeu de memória que seria algo próximo de um sexto da
gravidade terrestre. De fato é o valor que costumeiramente é usado! Como na superfície da
Terra a aceleração é próxima de 9,8m/s2, a aceleração na superfície lunar é de 9,8/6 =
1,63m/s2.
Parte das atividades que fizeram com o jogo Lunar Lander foi exatamente
determinar a aceleração gravitacional lunar. Com os dados disponíveis, quais sejam: a
743
altura em que o módulo é inicialmente abandonado e a velocidade de impacto do modulo
na Lua, um dos alunos, com um sorriso malicioso, me disse que tiveram que matar a
tripulação do módulo, mas eles conseguiram esta informação. “Tudo pela Ciência!”.
De fato, como se pode ver na figura a seguir, a tripulação virtual não sobreviveu
ao desastrado pouso, se é que podemos dizer assim.
O módulo foi abandonado da altura de 50m e atingiu o solo com velocidade final
de 12,6m/s. Como os próprios alunos me disseram, a equação de Torricelli4 resolve este
problema. A equação de Torricelli é v2 = v02 + 2.a.Δy, onde v e v0 representam,
respectivamente, a velocidade final e a velocidade inicial do módulo; a aceleração a que o
módulo está sujeito e Δy é a distância percorrida entre as posições inicial e final.
Para o problema em questão, v = 12,6m/s; v0 = 0 (o módulo é abandonado no
início da simulação – para tanto basta não acionar o motor principal do módulo) e Δy =
50m. Assim posto, v2 = v02 + 2.a.Δy Î 12,62 = 2.a.50 Î 158,76 = 100.a Î a =
158,76/100 = 1,59m/s2, o que está bem razoável, dadas as imprecisões que desconhecemos
dos cálculos do próprio software5. Para efeito deste trabalho, adotar-se-á o valor de 1,6m/s2
para a aceleração da superfície lunar.
Aproveitei a oportunidade para lembrar aos alunos que a equação de Torricelli é
ela mesma um modelo. E como modelo permite interpretar um fenômeno a partir dos
parâmetros deste fenômeno, nos levando a conclusões.
4
Torricelli foi um físico e matemático italiano, aluno de Galileu Galilei, que viveu entre 1608 e 1647.
De acordo com o site Wikipédia, a aceleração equatorial na superfície lunar é de 0,1654g, onde g = 9,80m/s2,
o que produz a aceleração da superfície da Lua, 1,62m/s2.
5
744
Na verdade o próprio jogo Lunar Lander utilizava equações como esta para
simular (e mesmo modelar) a situação de um pouso na Lua.
Mas o que eles, os alunos, propuseram ao professor de Física?
Depois de terem brincado com o jogo e respondido as várias questões que o
professor de Física formulou, eles perguntaram ao professor qual é a massa do módulo. O
professor disse-lhes que esta informação não estava disponível e que, mesmo tendo
consultado o site que originou o jogo, ele não sabia a resposta. E ficou nisto!
Os alunos perguntaram se não havia uma forma de se determinar isto e o professor
disse-lhes apenas que a massa não tinha relação com a queda livre, pois corpos com massas
diferentes caem com a mesma aceleração (o que está corretíssimo!) e encerrou a questão e
aula.
Um dos alunos perguntou se não seria possível determinar esta massa, pois o
professor de Matemática de revisão sempre insistia que se pode explorar um fenômeno
matematicamente. O professor disse que mesmo que isto seja possível o problema envolvia
uma massa variável e isto implicaria em Matemática Superior, o que estava além do
conhecimento deles! Questão encerrada.
Até pelo menos eles me procurarem.
De fato, sempre os estimulo a questionar a realidade e sempre reafirmo que a
matemática pode ser o instrumento para discutí-la, conforme BASSANEZI, 2002.
O fato é que eles me trouxeram o problema. Qual é a massa do módulo espacial
usada no jogo de simulação Lunar Lander?
De fato a postura do colega de Física não me é nova!6. Por isso, preferi omitir os
nomes dos envolvidos e da instituição.
Formulação do problema
Após uma reunião com o grupo, fora do horário de aula7, estabelecemos que
precisávamos determinar como a massa da nave varia e se de fato o software se utilizava
deste conceito de massa variável.
6
Há ainda alguma relutância de colegas professores em ver o ambiente de Modelagem Matemática como
facilitador na negociação de significados, mas como prática profissional insisto, conforme afirmou D’AMBRÓSIO, na
oportunidade da palestra de abertura do IV CNMEM, em Piracicaba, SP, em 2003, que “(...) o professor deve subverter o
status quo (...)”.
7
Fizemos a reunião no período da tarde, depois da aula regular da manhã e antes das atividades de revisão.
745
Era evidente, pelo painel de controle, que a massa de combustível variava, mas
talvez esta variação fosse desprezada pelo software.
O que sugeri e o grupo acatou, após rápida discussão, era que usássemos os
modelos de Galileu e Torricelli para o chamado MUV – Movimento Uniformemente
Variado. Se a aceleração do módulo lunar se mostrasse constante nas equações, isto
significaria que a massa total do módulo era constante. Caso encontrássemos variações
significativas nesta aceleração, isto significaria que a massa do módulo lunar variava e esta
variação seria a do combustível.
Como o painel de controle do Lunar Lander nos informa altura e velocidades, mas
não tempo, a equação de Torricelli novamente nos seria útil. A ideia era tabular as alturas e
velocidades e determinar a aceleração total sobre o módulo. Pedi que os alunos fizessem a
coleta de dados e me trouxessem no próximo encontro.
De fato não tive que esperar muito. Por e-mail recebi os dados, que me permitiram
organizar na tabela a seguir.
y(m)
50
115
202
320
622
1009
1540
3054
4038
v_y(m/s)
0,0
23,8
36,4
48,5
71,0
92,3
115,6
165,8
192,0
Os que eles me relataram é que com o jogo em pausa o motor principal foi
acionado (eles haviam descoberto durante as muitas partidas que disputaram que poderiam
fazer isto sem consumir combustível) e com a pausa liberada a nave subia verticalmente e
cada vez mais rápido, dado que o empuxo do motor, era de 45.000N. Importante destacar
que um dos alunos do grupo já havia mencionado que se este empuxo é capaz de fazer com
que o módulo suba verticalmente então é porque este empuxo é superior ao peso do
módulo na Lua. E assim ele já havia me trazido alguns rascunhos de onde se pode
escrever: 45000 > Peso Î 45000 > m.g Î 45000 > m.1,6 Î m < 45000/1,6 = 28125 kg.
Assim, já sabíamos que o módulo não poderia ter massa superior a 28125kg, pois,
não fosse isto, o empuxo não seria capaz de erguer a nave.
Retomando os dados da última tabela e adaptando a equação de Torricelli para as
condições que os alunos haviam colocado no jog,o temos: v2 = v02 + 2.a.Δy Î v2 = 2.a.(y
746
– 50) Î a = v2/(2y – 100). Se a massa do módulo é constante, então a aceleração advinda
das forças constantes que atuam sobre o módulo (empuxo e peso) deveriam produzir uma
aceleração constante.
O grupo de alunos já havia concluído que se a massa do módulo se reduz, em
função da queima de combustível, a aceleração ascendente deveria crescer.
Mostrei a eles os valores encontrados8 e que podem ser vistos abaixo.
y(m)
50
115
202
320
622
1009
1540
3054
4038
v_y(m/s) a (m/s2)
0,0
23,8
4,36
36,4
4,36
48,5
4,36
71,0
4,41
92,3
4,44
115,6
4,48
165,8
4,58
192,0
4,62
Ao observar os resultados o grupo foi unânime quanto à variação da aceleração,
até porque já havíamos estabelecido a precisão máxima de três algarismos significativos9.
Pensei até em discutir um pouco de análise de variância, para aproveitar o momento para
discutir estatística, mas o grupo considerou tão evidente a variação da aceleração que isto
ficou só na minha vontade.
Eles me perguntaram qual seria o próximo passo? E eu devolvi a pergunta a eles.
Pedi que se reunissem e pensassem no que fazer agora.
Alguns dias depois, pessoalmente e na escola, eles me contaram que conversaram
com o professor de Física que a aceleração do módulo era variável e mostraram como
sabiam disto. Neste momento, o professor de Física teve a certeza de que eu estava
ajudando. Na verdade, se ele se importou, não me disse! Ao contrário, pediu-me que
continuasse ajudando os alunos, pois ele estava sem tempo. Disse-me, ainda, que já havia
adiantado a eles que a massa do módulo seria variável e que apenas com Matemática
Superior o problema poderia ser abordado.
Pessoalmente, me senti como adepto da Modelagem Matemática, desafiado a
ajudar os alunos na análise do problema da massa do módulo, ou usando os recursos que
eles já tinham, ou, então, aprendendo junto com eles um novo caminho.
8
Respondi a eles por e-mail.
O conceito de algarismo significativo é mais robusto estatisticamente do que o popular “quantidade de casas
decimais” e coerente com um experimento.
9
747
Assim, pedi aos alunos que tabulassem a variação de massa do combustível do
módulo para que pudéssemos analisar como era esta variação. E neste caso a informação
de tempo era importante.
O que eles me relataram é que cronometraram o consumo de combustível a
máximo empuxo de 45.000N e os resultados estão na tabela a seguir.
t(s)
0
10
20
30
40
50
m(kg)
817
667
521
380
223
84
Os alunos perceberam que a variação de combustível tinha algo de linear, pela
proporcionalidade na variação da massa. Contudo, alguns deles já me adiantavam que não
existia uma reta que passasse por todos os pontos. O que eles na verdade me diziam é que a
reta que passava por dois pontos escolhidos aleatoriamente não se ajustava aos demais
pontos.
Disse a eles, então, que precisávamos encontrar uma reta que, mesmo que não
passasse perfeitamente por todos os pontos, passasse entre eles, com o menor erro possível.
Pedi que pesquisassem sobre Mínimos Quadrados e Ajustes de funções.
Na verdade estava “escondendo o jogo”, como diz o dito popular. Pensava em
usar o recurso de ajuste de funções (linha de tendência) que o Excel possui. Fiquei surpreso
quando o próprio grupo me informou que este recurso estava lá no Excel, mas que eles não
tinham entendido em que base isto funcionava.
Discutimos por uma hora todas as bases nas quais se apoia o recurso de linha de
tendência do Excel, e só isto já fazia valer a pena a discussão do jogo Lunar Lander.
Aplicada a linha de tendência linear aos valores dados, o R de Pearson encontrado
foi de -0,99991, o que indicava fortíssima tendência linear e que ela era decrescente, pois R
< 0, o que tinha todo o significado para o grupo, pois o combustível sofria redução com o
tempo.
A função ajustada pelo Excel foi m = 816 – 14,68.t, onde m é a massa residual de
combustível, em kg, e t é o tempo de consumo contínuo deste combustível, em segundos.
A função encontrada permitiu prever o tempo máximo de uso do empuxo de
45000 N, pois m = 0 Î 816 – 14,68.t = 0 Î t = 816/14,68 = 55,6 s. Este resultado foi
748
validado pelo próprio software. Na verdade os alunos já sabiam deste tempo devido a sua
experiência em usá-lo como jogo.
Neste momento tínhamos a certeza da variação da massa do módulo e
acreditávamos que esta variação se dá em função da massa de combustível. Mas como ter
certeza disto? Não havia razão, pelo menos assim pensava o grupo inicialmente, de que a
massa variasse em função de outra coisa, que não a massa consumida de combustível. Mas
disse a eles que o rigor científico nos exigia esta certeza.
Um deles sugeriu então que acompanhássemos a velocidade do módulo, após o
término do combustível e tabelássemos a posição do módulo e sua velocidade. Deveríamos
então obter uma aceleração constante.
A tabela a seguir retira qualquer dúvida e novamente a ajuda vem da equação de
Torricelli.
y(m)
7144
8534
10021
11992
13105
v_y(m/s) a (m/s2)
254,2
245,3
-1,60
235,4
-1,60
221,6
-1,60
213,4
-1,60
E para aqueles que ficaram com vontade de saber a altura máxima atingida pelo
módulo, isto também pode ser determinado pela equação de Torricelli e também foi
validado pelo software, onde se registrou o valor máximo da altura em 27.334m, como
atesta a figura a seguir do painel de controle. Ainda que seja bem difícil se conseguir v_y
exatamente igual a zero.
O grupo já estava seguro de que a massa do módulo variava em função da queima
de combustível e apenas isto.
749
Mas a questão ainda permanecia: Qual é a massa do módulo lunar?
Precisamos de alguma expressão matemática em que pudéssemos ter a massa do
módulo. Disse aos alunos, que estão fazendo várias revisões para os vestibulares, que era
missão deles encontrar algo.
E eles encontraram!
O teorema do impulso afirma que o produto entre a força resultante e o tempo de
aplicação da força é igual ao produto entre a massa e a variação de velocidade. Em termos
matemáticos10 F.Δt = m.Δv. Mas há um problema! Isto só é verdadeiro se a massa for
constante.
Sabemos que a massa varia linearmente com o tempo. Fiz a sugestão de levar em
conta esta variação e considerar uma massa média. Na verdade, a ideia foi usar como
massa constante a massa média do intervalo Δt considerado.
Assim, o teorema do impulso fica:
F.Δt = m.Δv.
Onde F é a força resultante, ou seja, a diferença entre o empuxo e o peso do
módulo, F = E – P. Ocorre que o peso do módulo também depende da massa do módulo,
pois P = m.g, então F = E – m.g. A massa do módulo deveria ser uma massa M fixa, menos
aquela perda média de massa, no intervalo considerado. Isto posto ficamos com F = 45000
– (M - Δm/2).g. Então, o teorema do impulso torna-se finalmente:
[45000 – (M - Δm/2).g].Δt = (M - Δm/2).Δv
Pedi a eles, então, que a partir da massa residual no tanque do módulo e da
velocidade vertical, ambas dadas pelo painel de controle, e também das medidas de tempo
cronometradas, calculássemos o valor de M.
Da última equação, tem-se que M =
Δm
Δm
.gt +
.v
2
2
v + gt
45000.t +
A tabela a seguir mostra os dados obtidos e a massa estimada para o módulo.
Combustível Velocidade vertical
residual (kg)
na pausa (m/s)
768
747
10
11
14,1
20,2
Tempo de
impulso
estimado11 (s)
Perda de
massa
(kg)
Semiperda
(kg)
Massa
estimada
(kg)
3,27
4,70
48
69
24,0
34,5
7635,32
7664,69
Na verdade uma variação da segunda lei de Newton, F = m.a.
O tempo de impulso foi estimado pela equação ajustada entre a massa residual e o tempo.
750
722
701
684
640
609
572
505
412
329
265
201
153
103
85
72
50
33
17
5
27,7
33,8
38,8
51,9
61,3
72,4
93,0
121,7
147,9
168,1
188,8
204,6
220,9
226,9
231,4
238,5
244,3
248,8
253,8
6,40
7,83
8,99
11,99
14,10
16,62
21,19
27,52
33,17
37,53
41,89
45,16
48,57
49,80
50,68
52,18
53,34
54,43
55,25
94
115
132
176
207
244
311
404
487
551
615
663
713
731
744
766
783
799
811
47,0
57,5
66,0
88,0
103,5
122,0
155,5
202,0
243,5
275,5
307,5
331,5
356,5
365,5
372,0
383,0
391,5
399,5
405,5
7640,76
7665,74
7673,74
7677,90
7670,00
7677,57
7668,22
7674,39
7671,38
7678,52
7676,53
7672,20
7675,81
7674,70
7670,33
7675,49
7672,78
7691,44
7670,52
Os alunos ficaram um pouco preocupados ao ver os resultados para a massa do
módulo, pois esperavam uma massa fixa na última coluna.
Os tranquilizei de que estamos estimando a massa do módulo a partir de dados
que variam.
Como eles já haviam estudado um pouco de estatística, pedi que calculassem o
coeficiente de variação para a massa do módulo. Eles não se lembravam o que era
inicialmente. Lembrei-os que era a razão entre o desvio padrão e a média dos dados, e que
eles poderiam facilitar as operações com o uso do Excel novamente.
Por e-mail eles me retornaram o valor de 0,158%, que é baixíssimo!
Por fim, adotamos a média das massas encontradas, 7.670kg, como sendo a massa
do módulo.
Considerações finais
Levamos nossos resultados para a classe e o grupo foi aplaudido pelos colegas. O
professor de Física ficou impressionadíssimo, mas não tem “puxado” muita conversa
comigo. Pedi que o grupo apontasse o que chamou mais a atenção a eles neste evento:
1. A aquisição de conhecimentos relativos à Estatística, na prática.
2. Aplicação dos conceitos de Física na prática, ainda que simulada.
3. Consideraram o Lunar Lander um jogo pedagógico muito bem feito e
parabenizam à equipe do PhET da Universidade do Colorado.
751
4. A aquisição de habilidades quanto ao emprego da planilha de cálculo Excel
para a determinação de tendências no comportamento de uma variável.
5. Que a Matemática é um instrumento interessante para mediar nossa
comunicação com a realidade – o que validou a fala popular “Gente... A
Matemática serve para alguma coisa!”.
6. Que mesmo um simples jogo de computador, ainda que tenha pretensões
pedagógicas, pode proporcionar um cenário para mais aprendizagem.
Assim, isto ratifica minha posição quanto à Modelagem Matemática como um
ambiente de aprendizagem onde o aluno também fala além de ouvir; onde o professor
coordena e não apenas transmite conteúdo; conteúdo este que é aberto e não fechado e no
qual a visão de mundo possa ser mais relacional a partir de uma perspectiva que não é
apenas cognitiva, mas cognitiva-emocional. A partilha de valores, como a tenacidade,
medida através da vontade em resolver o problema, foi para mim um troféu.
Referências
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem Matemática: concepções e experiências de
futuros professores. Tese de doutorado. Rio Claro: Unesp, 2001.
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São
Paulo: Contexto, 2002.
PONTE, João Pedro da et al. Investigações Matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte:
Autêntica, 2003.
ZEICHNER, Keneth. A formação reflexiva de professores: idéias e práticas. Lisboa,
Portugal: Educa, 1993.
752