Geometria I
Aula 9.1
Curso
Licenciatura Plena em
Matemática
Aula
9.1
Tempo
Estratégia
18:10 / 18:15
5’
Vh Abertura
18:15 / 18:50
35’
P1 –
Iêda
1
Turno
Noturno
Disciplina
Geometria I
Carga Horária
90h
Período
2.0
Data
11/12/2006 – 2ª. feira
Planejamento
Descrição (Arte)
Unidade IV: Relações métricas
Tema 21: Teorema de Tales
Objetivo: Mostrar as aplicações do teorema de Tales.
(4) Tales Mileto
Principais contribuições
Círculo – diâmetro
(5) Tales Mileto
Principais contribuições
Triângulo isósceles – bases congruentes
(6) Tales Mileto
Principais contribuições
Retas que se cortam formam ângulos iguais.
(7) Tales Mileto
Principais contribuições
Congruência de triângulos
(9) Teorema de Tales
Conceito
Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais
segmentos proporcionais.
A
B
C
R
S
T
Geometria I
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2
(10) Teorema de Tales
A
R
B
S
C
AB
=
BC
AB
RS
ST
=
AC
BC
T
RS
RT
=
ST
AC RT
(11) Aplicação
Encontre o valor de x na figura.
A
4
B
C
R
x
S 6
5
(12) Solução
4 6
10
= ⇒ 6 x = 20 ⇒ x =
x 5
3
(13) Aplicação
Este mapa mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três
vias transversais. Algumas das distâncias entre os cruzamentos
dessas vias e estradas estão indicadas no mapa (em km), mas as
outras precisam ser calculadas. Complete o mapa com as distâncias
que faltam.
Geometria I
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3
(14) Solução
x
12 2
=
=
15 18 3
3x = 15 . 2
3x = 30
X = 10 km
y
2
20
=
=
10 15 1
Y = 2. 15
Y = 30 km
10 15 2
=
=
15
z
3
2.z = 15 . 3
2.z = 45
45
=
2
Z = 22,5 km
Z=
(15) Teorema
Bissetriz interna
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em
segmentos (aditivos) proporcionais aos lados adjacentes.
x y
=
c b
(16) Aplicação
AS é bissetriz interna do ângulo Â. Calcule o valor de x.
(17) Solução
x 2x + 3
=
3
7
7x = 3( 2x + 3 )
7x = 6x + 9
7x - 6x = 9
X=9
(18) Teorema
Geometria I
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4
Bissetriz externa
Se a bissetriz externa de um triângulo intercepta a reta suporte do lado
oposto, ela divide este em segmentos proporcionais.
x y
=
c b
(19) Aplicação
Se AP é bissetriz do ângulo externo em A, determine x.
(20) Solução
6
8
=
⇒ 12 + x = 16 ⇒ x = 4
12 12 + x
18:50 / 19:15
25’
P1/DL
Iêda
(21) Dinâmica Local
19:15 / 19:20
5’
Retorno DL
(22) Solução
Calcule x e y no triângulo, sabendo que AD é bissetriz do ângulo  e
x + y = 22 .
y 18
y + x 18 + 15
22 33
=
⇒
=
⇒
=
x 15
x
x 15
15
⇒ x = 10 e y = 12
Geometria I
Aula 9.3
Licenciatura em Matemática
Geometria I
Aula 9.2
Tempo
19:20 / 19:55
35’
Estratégia
P2 –
Vítor
Descrição (Arte)
Unidade IV: Relações métricas
Tema 22: Semelhança de triângulos
Objetivo: Identificar triângulos semelhantes e resolver problemas.
(2) Triângulos Semelhantes
Definição
Dos triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os
três ângulos correspondentes congruentes e os lados homólogos
proporcionais.
ΔABC ~ ΔDEF ⇔ Â ≡ Dˆ , Bˆ ≡ Eˆ
a b c
Cˆ ≡ Fˆ e = = = k , k ∈ IR+*
d e f
(3) Triângulos Semelhantes
Teorema fundamental
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e
intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o
triângulo determinado pela reta é semelhante ao primeiro.
(4) Teorema fundamental
Demonstração
Dado
Hipótese: r // BC
Tese: ΔABC ~ ΔADE
(5) Teorema fundamental
Demonstração
ABˆ C ≡ ADˆ E e ACˆ B ≡ AEˆ D
Geometria I
Aula 9.3
AD DE AE
=
=
AB BC AC
ΔABC ~ ΔADE
(6) Aplicação
Calcule x e y no triângulo ABC
y y + 21
=
⇒ 2 y + 42 = 5 y ⇒ y = 14
8
20
14
35
=
⇒ 84 + 7 x = 210 ⇒ x = 18
12 12 + x
(7) Semelhança de triângulos
1º Caso (A.A.)
Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes, então eles são
semelhantes.
Hipótese:
Tese: ΔDEF
~ ΔABC
(8) 1º Caso (A.A.)
Demonstração
Tome o ponto P ∈ AC , onde PC ≡ DF , por ele trace a reta
r // DE .
ΔPQC ≡ ΔDEF (LAAo)
ΔPQC ~ ΔABC (Teorema Fundamental)
Geometria I
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ΔDEF ~ ΔABC
(9) Semelhança de triângulos
2º Caso (L.A.L.)
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e
os ângulos compreendidos entre eles congruentes, então eles são
semelhantes.
a d
= e Cˆ ≡ Fˆ
b e
ΔABC ~ ΔDEF
(10) 2º Caso (L.A.L.)
Exemplo
Dados os triângulos
, calcule x.
20 15 5
=
=
12 9 3
24 x
= ⇒ x = 18
12 9
(11) Semelhança de triângulos
3º Caso (L.L.L.)
Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então
eles são semelhantes.
a b c
= =
d e f
ΔABC ~ ΔDEF
(12) Semelhança de triângulos
Cevianas homólogas
Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então a razão
entre duas cevianas homólogas é k; e os ângulos homólogos são
congruentes.
Geometria I
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(13) Aplicação
(14) Solução
15 10 20 5
=
=
=
6
4
8 2
25
x 5
= ⇒x=
5 2
2
19:55 / 20:20
25’
P2 /DL
Vítor
(15) Dinâmica Local
1. Calculando x na figura dos quadrados abaixo, encontramos:
(16) Dinâmica Local
2. Num triângulo isósceles de 20 cm de altura e
50
cm de base
3
está inscrito um retângulo de 8 cm de altura com base na base do
triângulo. Calcule a medida da base do retângulo.
20:20 / 20:25
5’
Retorno
DL
(17) Solução 1
3 6− x
=
⇒ 3 x = 36 − 6 x ⇒ 9 x = 36 ⇒ x = 4
x
6
(18) Solução 2
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50
20
50
= 3 ⇒ 20 x = 12. ⇒ 2 x = 4.5 ⇒ x = 10
12
x
3
20:25 / 20:45
20’
Intervalo
Licenciatura em Matemática
Geometria I
Aula 9.3
Tempo
20:45 / 21:20
35’
Estratégia
P3 –
Clício
Descrição (Arte)
Unidade IV:
Tema 23: Relações métricas no triângulo retângulo
Objetivo: Estudar os principais casos de relações métricas no
triângulo retângulo, bem como as suas aplicações no cotidiano.
(1) Relações métricas
Definição
b
c
h
n
m
a
a : hipotenusa
b, c : catetos
h : altura relativa à hipotenusa
m, n : projeções dos catetos
(2) Relações métricas no triângulo retângulo
1.º Caso
b
c
h
m
h
n
c m h
= =
b h n
bm = ch
bh = cn
h2 = mn
(3) Relações métricas no triângulo retângulo
2.º Caso
Geometria I
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b
c
c
h
m
a
c b a
= =
m h c
bm = ch
bc = ah
h2 = am
(4) Relações métricas no triângulo retângulo
3.º Caso
b
c
b
h
n
a
c b a
= =
h n b
cn = bh
bc = ah
b2 = an
(5) Relações métricas
Resumo
b
c
h
n
m
a
b2 = a.n
c2 = a.m
b.c = a.h
b.m = c.h
c.n = b.h
h2 = m.n
•
(6) Teorema de Pitágoras
(8) Teorema de Pitágoras
c2 = a.m e b2 = a.n
b2 + c2 = a.(m + n) → a = m + n
b2 + c2 = a. a
b
c
b2 + c2 = a2
a
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(9) Aplicação 01
Determine o valor de x na figura.
13
m
5
m
x
(10) Solução
13
5
x
132 = 52 + x2
x2 =169 – 25
x2 =144
x = 12
(11) Aplicação 02
Determine o valor de x na figura.
6
x
12
(12) Solução (passo a passo)
6
x
12
62 = x . 12
36 = 12x
x=3
•
(13) Aplicação 03
Determine o comprimento da circunferência na figura.
Geometria I
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4
12
(14) Solução
4
r
6
r2 = 42 + 62
r2 = 16 + 36
r2 = 52
r = 2 13
(15) Aplicação 04
A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede 12cm.
Se a hipotenusa mede 25cm, calcular os catetos.
(16) Solução (passo a passo)
12
25
b² + c² = 25²
b.c = 25. 12
b² + c² = 625
b.c = 300
2
⎛ 300 ⎞
b² + ⎜
⎟ = 625
⎝ b ⎠
4
b – 625b² + 90000 = 0
b² = x
x² – 625x + 90000 = 0
b² = 200 → b = 10 2 → c = 15 2
b² = 450 → b = 15 2 → b = 10 2
Geometria I
21:20 / 21:45
25’
Aula 9.3
P3 /DL
Clício
(17) Dinâmica Local
Determine o valor de x na figura
4 5
4
x
21:45 / 21:50
5’
Retorno
DL
(18) Solução
4 5
4
x
(4 5 ) = 4² + y²
80 = 16 +y²
64 = y²
y=8
4² = xy
16 = 8x
x=2
21:50 / 22:00
10’
Tira
Dúvidas