LISTA 2 DE GEOMETRIA DIFERENCIAL 2007
PROFESSOR RICARDO SA EARP
(1) Mostre que o comprimento da curva x(t) = cos t+cos2 t, y(t) =
sin t + 1/2 sin 2t, t ∈ [0, π] é 4.
(2) Mostre o seguinte: A evoluta de uma tractrix é uma catenária
que admite uma parametrização da forma t 7→ a(cosh u, u).
A evoluta de uma ciclóide é uma ciclóide, a evoluta de uma
cardióide é uma cardióide e a evoluta de uma espiral logarı́tmica
é outra espiral logarı́tmica (ρ = a ebθ ).
(3) Seja α(t), t ∈ I uma curva regular plana e seja s um número
real fixado. A curva paralela à α é a curva plana β definida por
−
→
β(t) = α(t) + s n
−
→ é o campo de vetores normais unitários ao longo de α
onde n
definido na sala de aula.
(a) Mostre que a curvatura com sinal kβ da curva paralela β é
dada por
kα (t)
kβ (t) =
|1 − skα |
(b) A curva paralela é necessariamente regular ? A paralela de
uma curva simples fechada (mergulhada) é ainda mergulhada (sem auto-interseções) ? Para |s| pequeno a paralela
é uma curva à distância |s| da curva original α ? E para s
grande ?
(c) A paralela à uma elipse é uma elipse ? Estude as curvas
paralelas a uma elipse, levando em conta a regularidade e
curvatura.
(d) Estude as curvas paralelas a uma catenária, levando em
conta a regularidade e curvatura.
(e) Investigue a noção de convexidade. Redija uma bem elaboradae em certa profundidade- discussão sobre o tema.
(f) Assuma que C0 seja uma curva regular, simples, fechada
e estritamente convexa. Assuma que s > 0. Sejam L0 e
A0 o comprimento de C0 e a área da região delimitada por
C0 , respectivamente. Sejam L(s) e A(s) o comprimento e
−
→, sendo n
−
→
a área relativos à paralela a C(s) := C0 + s n
um normal exterior a C0 .
1
2
LISTA 2–GEOMETRIA DIFERENCIAL 2007
(i) Mostre que C(s) é uma curva regular fechada e estritamente convexa.
(ii) Mostre que que o comprimento L(s) da paralela é
L(s) = L0 + 2πs e que a área A(s) englobada por
C(s) é A(s) = A0 + sL0 + 2πs2 .
(4) Obtenha uma parametrização da curva obtida pela interseção
do cilindro (x − a)2 + y 2 = a2 com a esfera x2 + y 2 + z 2 = 4a2 ,
chamada de curva de Viviani. Usando o MAPLE, estude a
curvatura, a torção, e desenhe a curva.
(5) Considere a hélice dada por α(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈
R, a > 0. Encontre um grupo à um parâmetro de isometrias
G de R3 de forma que a hélice seja invariante por G.
A cada ponto da hélice trace a reta passando por este ponto
e perpendicular ao eixo z. Obtenha uma parametrização da superfı́cie resultante e responda se tal superfı́cie é invariante pela
ação do mesmo grupo G ?
(6) Mostre que a cúbica retorcida t 7→ (t, t2 , t3 ) tem curvatura k e
torção τ respectivamente dadas por
k(t) =
(4 + 36t2 + 36t4 )1/2
(1 + 4t2 + 9t4 )3/2
τ (t) =
−3
(1 + 9t2 + 9t4 )
Desenhe a curva, usando o MAPLE, fazendo uma análise.
(7) Considere γ uma curva parametrizada pelo comprimento de
arco s cujo traço esteja contido na esfera de centro p e de raio r.
Assuma que a torção τ (s) de γ nunca se anule e que k 0 (s) 6= 0,
onde k é a curvatura de γ. Mostre que γ satisfaz a seguinte
equação diferencial (Monge, 1807)
µ µ ¶0 ¶2
1
1 1
+
= r2 (∗)
2
k
τ k
Mostre que se uma dada esfera de centro p e raio r contém o
traço de uma curva γ (satisfazendo as mesmas hipóteses sobre a
curvatura e a torção dadas acima) então vale a seguinte equação
p = γ(s) +
1 −
→ − 1 ( 1 )0 b
n
k(s)
τ (s) k(s)
−
→ e b são o normal e o binormal ao longo de γ, respeconde n
tivamente.
(8) Dê exemplos variados explı́citos de curvas na esfera de raio 1 e
verifique as equações acima.
LISTA 2
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(9) Defina informalmente o tubo ao redor de uma curva (regular)
movendo um pequeno cı́rculo centrado na curva e ortogonal a
curva ao longo da curva. Agora tente encontrar uma definição
rigorosa de tubo de raio r ao redor de uma curva regular γ
dando vários exemplos, considerando várias curvas (p. exemplo:
hélices). Calcule o volume da região sólida englobada pelo tubo.
(10) Uma hélice cilı́ndrica ou simplesmente hélice é uma generalização das hélices circulares. Estão definidas pela propriedade
que as tangentes fazem um ângulo constante α com uma direção
→
− o vetor unitário diretor de L.
fixada L. Seja n
(a) Mostre que a hélice satisfaz
k
= tan α = constante
τ
onde k e τ são respectivamente a curvatura e a torção de
γ. Esta equação caracteriza as hélices ? Este é um teorema
de Lancret demonstrado por Saint Venant em 1845.
(b) Suponha que L seja o eixo-z. Mostre que a curvatura k ⊥
da projeção da hélice no plano ortogonal a L é dada por
k ⊥ = k cossec2 α
(c) Dê exemplos de hélices generalizadas.
(11) Dada uma função suave f : [a, ∞) → R, tal que lim f (x) =
n→∞
c, (constante); será que existe uma seqüência de pontos {xn },
satisfazendo xn → ∞(quando n → ∞) com lim k(xn ) = 0 ?
n→∞
( Aqui k é a curvatura do gráfico de f ). Generalize.
Sugestão: Use o princı́pio do máximo corretamente .
(12) Exiba outras aplicações do princı́pio do máximo para curvas
planas.