Sistemas Estuarinos Costeiros
MÓDULO IV:
Formulação Matemática dos processos ambientais
Parte 3 – Equação de transporte e aplicações em
estuários.
Carlos Ruberto Fragoso Júnior, Centro de Tecnologia, UFAL
CONTEÚDO:I
Revisão
II
Introdução
III
Equação de transporte de massa
IV
caso bidimensional
V
caso unidimensional
VI
O termo de perdas e ganhos
IV
Exercício
2
I
REVISÃO
3
II
INTRODUÇÃO
Processos de
Transporte no
Sistema
Representados
usando
Equações
Matemáticas do
transporte
Resolvidas
usando
Métodos Numéricos
Modelo
Computacional
Predições do
Modelo
4
II
INTRODUÇÃO
Processos no
Sistemas
Físicos
Químicos
Biological
Hidrodinâmica
Hidrólise
Crescimento
Transporte de Massa
Nitrificação
Respiração
Deoxigenação
Mortalidade
Reaeração
Assimilação de
Nutrientes
Decaimento
5
Advecção
6
Advecção
7
Advecção
Substância não se espalha, apenas percorre uma distância
na mesma velocidade (média) da água
8
Difusão
9
Difusão
10
Difusão
Substância se espalha pelo movimento aleatório das moléculas
mesmo que a velocidade média seja zero.
11
1a Lei de Fick - Difusão
C
J  D 
x
• D é um coeficiente de difusão (unidades de m2/s)
• J é o fluxo de massa de C
• massa vai de regiões de mais alta para mais baixa concentração
12
Dispersão
13
Dispersão
14
Dispersão
Substância percorre uma distância com a velocidade
média da água e além disso se espalha, porque a velocidade
da água não é sempre igual à média
15
Dispersão
Velocidades diferentes e turbulência criam um efeito semelhante
ao da difusão
Em rios o efeito da dispersão é mais importante do que
o da difusão, embora os dois ocorram juntos e contribuam para
16
o espalhamento.
1a Lei de Fick - Dispersão
C
J  E 
x
• E é um coeficiente de dispersão (unidades de m2/s)
• J é o fluxo de massa de C
• massa vai de regiões de mais alta para mais baixa concentração
17
Coeficiente de dispersão longitudinal
u B
E  0.011
*
h U
2
2
Chapra (1997) cap. 14
U *  velocidade de cisalhamento  g  h  S
E: coeficiente de dispersão longitudinal (m2/s)
B: largura do rio (m)
h: profundidade (m)
u: velocidade da água (m/s)
S: declividade média (m/m)
18
III
EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DE MASSA
W
V
U
• Transporte de massa
– Balanço de massa de uma substância através de um volume de
controle
19
III
EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DE MASSA
20
III
EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DE MASSA
volume de controle
alteração da massa
ao longo do tempo
saídas
Variação da massa dentro do volume
de controle em um intervalo de tempo =

Vol  C 
t
entradas
Lembrando que
Vol  dxdydz
21
III
EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DE MASSA
Entradas
C
Difusão   E x 
 dydz
x
Taxa de massa que entra por difusão
Advecção  u  dy  dz  C
Taxa de massa que entra por advecção
22
III
EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DE MASSA
Saídas (usando série de Taylor)
Dispersão   E x 
C
 
C

 dydz    E x 
 dydz dx
x
x 
x

Advecção  udydz  C 

udydz  C dx
x
Taxa de massa que sai por difusão
Taxa de massa que sai por advecção
23
III
EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DE MASSA
Saídas menos as entradas no volume do controle
Na direção x:
Sai

 
entra


C
 
C
C
 
C 

Dispersão   Ex 
 dydz    Ex 
 dydz dx  Ex 
 dydz    Ex 
dxdydz
x
x 
x

x

x

x



sai


entra



 

Advecção  udydz  C  udydz  C dx  udydz  C  u  C dxdydz
x
x
24
III
EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DE MASSA
Analogamente nas outras direções
Direção y:
 
C 
dxdydz
Dispersão    E y 
y 
y 
Advecção 

v  C dxdydz
y
Direção z:

C 
Dispersão    E z 
dxdydz
z 
z 

Advecção  w  C dxdydz
z
25
III
EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DE MASSA
C uC  vC wC    C    C    C 
   E z



  Ex
   E y

t
x
y
z
x  x  y 
y  z  z 


 

termosde adveção
termosde difusão
Equação do transporte de massa para uma substância conservativa
Ex, Ey e Ez são os coeficientes de dispersão nas direções x, y e z,
respectivamente.
26
III
EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DE MASSA
Simplificações da Equação de transporte
- Escoamento permanente
C
0
t
uC  vC wC    C    C    C 
   Ez


  Ex
   E y

x
y
z
x  x  y 
y  z  z 
27
IV
O CASO BIDIMENSIONAL
Simplificações da Equação de transporte
- Escoamento não permanente e bidimensional
C uC  vC   C    C 



  Ex
   E y
t
x
y
x  x  y 
y 
28
IV
O CASO BIDIMENSIONAL
Simplificações da Equação de transporte
- Escoamento permanente e bidimensional
uC  vC   C    C 


  Ex
   E y
x
y
x  x  y 
y 
29
V
O CASO UNIDIMENSIONAL
Simplificações da Equação de transporte
- Escoamento não permanente e unidimensional
C  uC    C 

  Ex

t
x
x  x 
t=0
t=T
C
C
30
x
x
V
O CASO UNIDIMENSIONAL
Simplificações da Equação de transporte
- Escoamento permanente e unidimensional
 uC    C 
  Ex

x
x  x 
t=0
t=T
C
C
31
x
x
V
O CASO UNIDIMENSIONAL
Simplificações da Equação de transporte
- Escoamento não permanente e unidimensional, desprezando os efeitos difusivos
t=0
C uC 

0
t
x t = T
C
C
32
x
x
V
CONDIÇÃO DE CONTORNO
33
VI
O TERMO DE PERDAS E GANHOS
Substâncias conservativas
• Substância que não reagem, não alteram a sua
concentração por processos físicos, químicos e biológicos,
exceto a mistura.
• Exemplo: sais
34
VI
O TERMO DE PERDAS E GANHOS
Exemplo parâmetro conservativo
QA CA
QR CR
QR  C R  Q A  C A
CF 
QR  Q A
QF CF
C
35
distância
VI
O TERMO DE PERDAS E GANHOS
Substâncias não conservativas
• Reagem com o ambiente alterando a concentração da
substância.
• Exemplo: DBO, temperatura, coliformes, OD
• Reações químicas
• Consumo na cadeia trófica
• Sedimentação = deposição no fundo
• Trocas com a atmosfera
36
VI
O TERMO DE PERDAS E GANHOS
Exemplo parâmetro não conservativo
QA CA
QR CR
QF CF
QF2 CF2
QR  C R  Q A  C A
CF 
QR  Q A
C
37
distância
VI
O TERMO DE PERDAS E GANHOS
Exemplo parâmetro não conservativo
C uC  vC wC    C    C    C 
   Ez



  Ex
   E y
S
t
x
y
z
x  x  y 
y  z  z 
onde S é a taxa de perda ou ganho de massa de uma substância
38
VI
O TERMO DE PERDAS E GANHOS
Transporte de poluentes não conservativos em rios
C uC    C 

  Ex
  kC
t
x
x  x 
k inclui termos de cinética e outras perdas e ganhos
39
VI
O TERMO DE PERDAS E GANHOS
Transporte de poluentes não conservativos em rios,
regime permanente e dispersão desprezível
uC 
 kC
x
k inclui termos de cinética e outras perdas e ganhos
40
VI
O TERMO DE PERDAS E GANHOS
Exemplo (Produção Primária Aquática):
 HB  uBH  vBH    HB     HB 
 Kh
   eff BH



 Kh

t
x
y
x 
x  y 
y 
41
VI
O TERMO DE PERDAS E GANHOS
Equação de transporte/crescimento/consumo:
 HB  uBH  vBH    HB     HB 
 Kh
   eff BH



 Kh

t
x
y
x 
x  y 
y 
42
Fatores de Produtividade
NUTRIENTES
RADIAÇÃO
SOLAR
TEMPERATURA
PRODUÇÃO
PRIMÁRIA
PREDAÇÃO
PROFUNDIDADE
43
Fatores de Produtividade
NUTRIENTES
RADIAÇÃO
SOLAR
TEMPERATURA
PRODUÇÃO
PRIMÁRIA
PREDAÇÃO
PROFUNDIDADE
44
Fatores de Produtividade
NUTRIENTES
RADIAÇÃO
SOLAR
TEMPERATURA
PRODUÇÃO
PRIMÁRIA
PREDAÇÃO
PROFUNDIDADE
45
Radiação solar
46
Radiação solar
Algas
Zooplâncton
Outros
organismos
Nutrientes
Organismos47
bentônicos
Radiação solar
Advecção
Difusão
Algas
Consumo
Zooplâncton
Outros
organismos
Respiração
Advecção
Difusão
Nutrientes
Fontes
Organismos48
bentônicos
Radiação solar
Consumo
Advecção
Difusão
Algas
Consumo
Zooplâncton
Outros
organismos
Respiração
Advecção
Difusão
Nutrientes
Fontes
Organismos49
bentônicos
Radiação solar
Consumo
Advecção
Difusão
Algas
Consumo
Zooplâncton
Respiração
Advecção
Difusão
Outros
organismos
Sedimentação
Nutrientes
Regeneração
pelágica
Fontes
Organismos50
bentônicos
Radiação solar
Consumo
Advecção
Difusão
Algas
Consumo
Zooplâncton
Respiração
Advecção
Difusão
Outros
organismos
Sedimentação
Nutrientes
Regeneração
pelágica
Fontes
Regeneração
bentônica
Organismos51
bentônicos
Cálculo da taxa efetiva de crescimento:
Nutrientes
(μN)
Luz e Temperatura
(μLT)
Perdas
(μP)
52
Cálculo da taxa efetiva de crescimento:
Nutrientes
(μN)
Luz e Temperatura
(μLT)
Fotossíntese
(μF=μNxμLT)
Perdas
(μP)
53
Cálculo da taxa efetiva de crescimento:
Nutrientes
(μN)
Luz e Temperatura
(μLT)
Fotossíntese
(μF=μNxμLT)
Perdas
(μP)
Taxa efetiva
(μeff)
54
Modelagem Fitoplâncton/Nutrientes:
Clorofila a:
 Ha  uHa  vHa
   Ha     Ha 
 Kh



  eff Ha 
 Kh

t
x
y
x 
x   y 
y 
Nitrogênio total:
 Hn  uHn  vHn
   Hn     Hn 
 Kh



  ana eff Ha 
 Kh

t
x
y
x 
x  y 
y 
Fósforo total:
 Hp  uHp  vHp
   Hp     Hp 
 Kh



  apa eff Ha  k phosp 
 Kh

t
x
y
x 
x  y 
y 
55
Modelagem Fitoplâncton/Nutrientes:
 Ha  uHa  vHa
   Ha     Ha 
 Kh



  eff Ha 
 Kh

t
x
y
x 
x   y 
y 
 Hn  uHn  vHn
   Hn     Hn 
 Kh



  ana eff Ha 
 Kh

t
x
y
x 
x  y 
y 
 Hp  uHp  vHp
   Hp     Hp 
 Kh



  apa eff Ha  k phosp 
 Kh

t
x
y
x 
x  y 
y 
56
EXERCÍCIO
• Determine distribuição de salinidade no estuário, considerando regime
permanente e o sal como uma substância conservativa.
z,w
Qf (rio)
y,v
S = S0
x=0
x,u
x=L
S=0
B
57