Matrizes
Prof. Jorge
Organizando e analisando dados
 O colégio Tales distribui, durante o ano letivo, 100
pontos por matéria. O quadro a seguir mostra os
totais de pontos obtidos por Ana, Carlos e Pedro,
em Matemática nos anos de 2006 e 2007.
Ana
Carlos
Pedro
2006
80
75
72,5
2007
76
82,5
78
 Quadros como esses ajudam a organizar dados. Fica
mais fácil analisá-los, combiná-los com outros.
Prof. Jorge
Matrizes – Conceitos iniciais
 Foi o matemático inglês, James Joseph, Sylvester,
quem usou pela primeira vez esta forma de
trabalhar com um conjunto de informações,
dispondo-as em linhas e colunas em uma tabela.
 A um quadro desse tipo, damos o nome de Matriz.
Cada número que o constitui é um elemento da
matriz.
 O quadro apresentado é uma matriz 2 x 3, isto é,
possui 2 linhas e 3 colunas.
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Representando matrizes
 Para nomear matrizes, usamos letras latinas
maiúsculas. Seus elementos ficam dentro de
parênteses ou colchetes.
 Exemplo
A=
80
75
72,5
76
82,5
78
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ou
A=
80
75
72,5
76
85,2
78
Representando matrizes
 Nossa matriz tem 2 linhas e 3 colunas. Dizemos
que ela é do tipo 2 x 3 (dois por três) ou,
simplesmente, uma matriz 2 x 3.
A=
80
75
72,5
→ 1ª linha
76
82,5
78
→ 2ª linha
1ª coluna
2ª coluna
3ª coluna
 Nossa matriz é indicada por A2x3.
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Representando elementos de uma matriz
 De maneira geral, indicamos um elemento de uma
matriz por uma letra minúscula, acompanhada de
dois índices, que definem sua posição na matriz.
 Um elemento genérico da matriz A é indicado
assim:
aij
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i indica a linha do elemento
j indica a coluna do elemento
Representando elementos de uma matriz
 Na matriz A exemplificada, temos
A=
80
75
72,5
76
82,5
78
 a11 = 80
 a12 = 75
 a13 = 72,5
 a21 = 76
 a22 = 82,5
 a23 = 78
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Definição de Matriz
 Se m e n são dois números naturais positivos,
chama-se matriz do tipo m x n todo quadro
formado por m.n números reais, dispostos de
forma ordenada em m linhas e n colunas.
 Uma matriz genérica Am x n pode ser
representada assim:
A=
a11
a12
a13
...
a1n
a21
a22
a23
...
a2n
...
...
...
...
...
am1
am2
am3
...
amn
 De forma simplificada, temos A = [aij]m x n
Prof. Jorge
Exemplo
 Na matriz A representada a seguir, cada elemento
aij indica a média, em Matemática, da turma i no
bimestre j. Identificar o tipo de matriz e obter a
média da turma 2 no 3.º bimestre e a média da
turma 3 no 4.º bimestre.
A=
 A3 x 4.
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6,2
8,3
9
7,4
8
7,3
8,7
6,5
7,2
8,1
6,9
7
 a23 = 8,7
 a34 = 7
Matriz definida por seu
termo genérico
Prof. Jorge
Matriz definida por seu termo genérico
 Uma matriz pode ser definida, indicando-se seu
tipo e uma fórmula para o cálculo de cada
elemento aij, em função de i e j.
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Exemplos
 Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j.
A=
a11
a12
a21
a22
a31
a32
A=
 aij = 3i – j
a11 = 3.1 – 1 = 2
a12 = 3.1 – 2 = 1
a21 = 3.2 – 1 = 5
a22 = 3.2 – 2 = 4
a31 = 3.3 – 1 = 8
a32 = 3.3 – 2 = 7
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2
1
5
4
8
7
Exemplos
 Construir a matriz B = (bij)2x2, tal que
bij =
2i + j, se i ≥ j
ji , se i < j
B=
b11
b12
b21
b22
b11 = 2.1 + 1 = 3
b12 = 21 = 2
b21 = 2.2 + 1 = 5
b22 = 2.2 + 2 = 6
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B=
3
2
5
6
Igualdade de matrizes
 Dizemos que duas matrizes A e B são iguais só se
eles são do mesmo tipo e cada elemento de uma
delas é igual ao elemento de mesma posição da
outra.
 Se alguma das condições anteriores falhar,
dizemos que A e B são matrizes diferentes.
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Exemplos
 Verificar se as matrizes A e B abaixo são iguais.
A=
2
1
5
4
8
7
B=
2
1
8
4
5
7
 As matrizes são do mesmo tipo (3 x 2) e têm os
mesmos elementos. Elas são diferentes pois os
elementos 5 e 8 ocupam posições diferentes.
Prof. Jorge
Exemplos
 Calcular x, y, z e t para que ocorra a igualdade.
2x
–1
y+1
3
=
4
x+z
5
t–y
2x = 4
⇒
2x = 22
y+1=5
⇒
y=4
x + z = –1
⇒
2 + z = –1 ⇒
t–y=3
⇒
t–4=3
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⇒
⇒
x=2
z = –3
t=7
Algumas matrizes
especiais
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Matriz Linha e matriz Coluna
 Uma matriz que tem apenas uma linha é chamada
de matriz linha. Uma matriz que tem somente
uma coluna é denominada de matriz coluna.
 Exemplos
–1
3
6
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2
5
É uma matriz linha 1 x 3.
É uma matriz coluna 2 x 1.
Matriz Transposta
 Veja como podemos apresentar os dados
referente à tabela da introdução de matrizes.
2006
2007
Ana
Carlos
Pedro
Ana
80
76
2006
80
75
72,5
Carlos
75
82,5
2007
76
82,5
78
Pedro
72,5
78
A=
80
75
72,5
76
82,5
78
⇒
B=
80
76
75
82,5
72,5 78
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Matriz Transposta
 Se A é uma matriz do tipo m x n, chama-se
transposta de A (simbolicamente At), a matriz do
tipo n x m, obtida de A, trocando-se de posição
linhas com colunas, de forma que
A = (aij)m x n
A=
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2
–1
1
3
0
–5
⇒
⇒
At = (aji)n x m
At
=
2
3
–1
0
1
–5
Matriz Nula
 Uma matriz que tem os seus elementos iguais a
zero é chamada matriz nula. Existe uma matriz
nula de cada tipo. A matriz nula pode ser indicada
por Om x n.
O= 0
0
0
0
0
0
O= 0
0
0
0
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É uma matriz nula 2 x 3.
É uma matriz nula 2 x 2.
Exemplo
 Encontre os valores de x e y, para que a matriz M
abaixo seja nula.
M=
x2 – 1
x2 – x – 2
x 2 – y2
x+y
x2 – 1 = 0
⇒
x = ±1
x2 – x – 2 = 0
⇒
x = –1 ou x = 2
⇒
x = –y
x2 – y2 = 0
x+y=0
⇒ x = –1 e y = 1
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Matriz Oposta
 Chama-se oposta de uma matriz A a matriz
representada por –A, cujos elementos são os
opostos dos elementos de mesma posição em A.
A oposta da matriz A =
–A =
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0
–3
2
–5
0
3
–2
5
, é a matriz
Matrizes quadradas
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Matriz quadrada
 Chama-se matriz quadrada toda matriz em que o
número de linhas é igual ao de colunas. O número
de linhas (ou colunas) é a ordem da matriz.
0
3
–2
5
3
0
–3
7
2
–5
1
4
0
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é matriz quadrada de ordem 2.
é matriz quadrada de ordem 3.
Matriz quadrada
 Numa matriz quadrada A =[aij], de ordem n,
chama-se
 Diagonal principal o conjunto dos elementos aij
em que i = j;
 Diagonal secundária o conjunto dos elementos aij
em que i + j = n + 1;
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
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Diagonal secundária (i + j = 4)
Diagonal principal (i = j)
Matriz Identidade
 Chama-se matriz identidade de ordem n a matriz
quadrada indicada In tal que.
 Os elementos da diagonal principal são todos
iguais a 1;
 Todos os outros elementos são iguais a 0;
I2 =
I3 =
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
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é matriz identidade de ordem 2.
é matriz identidade de ordem 3.
Matriz Diagonal
 Toda matriz quadrada em que todos os elementos
fora da diagonal principal são iguais a zero é
chamada matriz diagonal.
 Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma
dos elementos de sua diagonal principal.
M=
3
0
0
–5
Traço de M é –2.
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N=
½
0
0
0
0
0
0
0
2
Traço de N é 5/2.
Exemplo
 Calcule o traço da matriz quadrada A abaixo,
sabendo que ela é matriz diagonal.
A=
x – 2y
x–y+6
x + 2y
x+y
x + 2y = 0
x – y + 6 = 0 x (2)
⇒
x + 2y = 0
+
2x – 2y + 12 = 0
3x + 12 = 0
⇒ x = –4
e
y=2
O traço da matriz é: x – 2y + x + y = 2x – y = –10
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Matriz Simétrica
 Toda matriz quadrada que é igual
transposta é chamada matriz simétrica.
A é simétrica ⇔ A = At
Exemplo
N=
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1
–3
5
–3
2
–1
5
–1
6
a
sua
Exemplo
 Obtenha m, n, e p, para que seja simétrica a
matriz.
P=
m + n = –1
m – 2n = 2
⇒
3
m+n
2
–1
1
5
m – 2n
p+2
0
m + n = –1
m – 2n = 2
⇒
2m + 2n = –2
m – 2n = 2
+
3m = 0
p+2=5
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⇒ p=3
⇒ m=0
e
n = –1
Matriz Anti-Simétrica
 Toda matriz quadrada que é igual à oposta de sua
transposta é chamada matriz anti-simétrica.
A é anti-simétrica ⇔ A = –At
Exemplo
N=
Prof. Jorge
0
3
–5
–3
0
–1
5
1
0
Exemplo
 Complete a
simétrica.
matriz
para
que
0
....
2
....
5
–2
0
....
3
–5
....
–3
....
0
....
Q=
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ela
seja
anti-
Matriz triangular
 Toda matriz quadrada na qual são nulos todos os
elementos situados num mesmo lado da diagonal
principal.
Exemplos
A=
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3
1
0
–5
B=
½
7
3
0
–2
1
0
0
2
Operações elementares
com Matrizes
Prof. Jorge
Operações com Matrizes
 Em certos casos surge a necessidade de efetuar
operações com matrizes.
 Adição;
 Subtração;
 Multiplicação de uma constante real por uma
matriz;
 Multiplicação.
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Adição de Matrizes
 Uma empresa fabrica dois produtos A e B, que
podem ser acondicionados nas embalagens E1, E2 e
E3, com 12, 24 ou 30 unidades, respectivamente. Os
quadros abaixo mostram os custos de fabricação do
produto e da embalagem, em cada caso.
Custo do produto (R$)
E1
A
B
60
80
Custo da embalagem (R$)
A
B
E1
2
3
E2
100 130
E2
3
4
E3
120 160
E3
4
6
Prof. Jorge
Adição de Matrizes
 O fabricante quer vender o produto com lucro de
50% sobre o custo do produto, mas não quer obter
lucro no custo da embalagem. Qual será o preço de
venda dos produtos A e B.
P=
60
80
100
130
120
160
E=
2
3
3
4
4
6
 O preço de venda é obtido efetuando-se a
operação: 1,5 . P + E
Prof. Jorge
Adição de Matrizes
 V = 1,5 . P + E
P=
1,5 . P =
60
80
100
130
120
160
1,5.60
1,5.80
1,5.100
1,5.130
1,5.120
1,5.160
90
1,5 . P + E = 150
180
Prof. Jorge
E=
=
2
3
3
4
4
6
90
120
150
195
180
240
120
2
3
195 +
3
4
240
4
6
=
92
123
153
199
184
246
Adição de Matrizes
 Veja como seriam os preços de venda dos dois
produtos nas três possíveis embalagens.
Preço de venda (R$)
Prof. Jorge
A
B
E1
92
123
E2
153
199
E3
184
246
Adição de Matrizes
 Sendo A e B matrizes de mesmo tipo e k uma
constante
real,
definem-se
as
seguintes
operações:
 Adição de matrizes: A + B é a matriz em que
cada elemento é a soma dos elementos de
mesma posição em A e B.
 Subtração de matrizes: A – B = A + (–B), é a
soma de A com a oposta de B.
 Multiplicação de um número por uma matriz: kA
é a matriz obtida multiplicando-se, por k, cada
um dos elementos de A.
Prof. Jorge
Exemplo
 Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2.
M=
3.M =
–2.N =
Prof. Jorge
–2
1
3
2
3.–2
3.1
3.3
3.2
–2.2
–2.0
–2.3
–2.4
N=
=
=
–6
3
9
6
–4
0
–6 –8
2
0
3
4
Exemplo
 Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2.
M=
–2
1
3
2
N=
2
0
3
4
3M –2N + I2 = 3.M + (–2.N) + I2 =
=
–6
3
9
6
Prof. Jorge
+
–4
0
–6 –8
+
1
0
0
1
=
–9
3
3
–1
Equações matriciais
Prof. Jorge
Exemplo
 Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
A=
–5
0
–1
4
B=
1 –3
2
1
A matriz X deve ser do mesmo tipo de A e B.
X=
3.X – A = 2B
Prof. Jorge
⇒ 3.
x
y
z
t
x
y
z
t
–
–5
0
–1
4
= 2.
1
–3
2
1
Exemplo
3.X – A = 2B
⇒
⇒
3x
3y
5
0
3z
3t
1
–4
3x + 5
3y
3z + 1
3t – 4
3x + 5 = 2
x = –1
3y = –6
y = –2
3z + 1 = 4
3t – 4 = 2
Prof. Jorge
⇒
z=1
t=2
+
⇒
=
=
2
–6
4
2
2
–6
4
2
X=
–1
–2
1
2
Exemplo
 Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
A=
–5
0
–1
4
1 –3
B=
2
1
Equações como essa podem ser resolvidas, também, como
se fossem equações algébricas. Veja.
3.X – A = 2B
A + 2B =
Prof. Jorge
⇒
–5
0
–1
4
3.X = A + 2B
+
2
–6
4
2
⇒
=
X=
1 (A + 2B)
3
–3 –6
3
6
Exemplo
 Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
A=
–5
0
–1
4
B=
1 –3
2
1
Equações como essa podem ser resolvidas, também, como
se fossem equações algébricas. Veja.
3.X – A = 2B
1
X=
3
Prof. Jorge
⇒
–3 –6
3
6
3.X = A + 2B
=
–1 –2
1
2
⇒
X=
1
(A + 2B)
3
Propriedades da adição
de matrizes
Prof. Jorge
Propriedades da adição de matrizes
 Suponha que A, B e C sejam matrizes de mesmo tipo
e que O seja a matriz nula de mesmo tipo daquelas.
Valem, para a adição, as seguintes propriedades:
 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
 Comutativa: A + B = B + A
 Existência do elemento neutro, a matriz O, tal
que A + O = O + A = A
 Existência do elemento oposto de A, a matriz –A
tal que A + (–A) = O.
 (A + B)t = At + Bt
Prof. Jorge
Multiplicação de
matrizes
Prof. Jorge
Multiplicação de Matrizes
 O colégio Tales e o colégio Platão distribuem em
cada bimestre letivo, um total de 10 pontos por
matéria. No entanto, os pesos em cada bimestre
diferem nos dois colégios. Veja o quadro a seguir
Peso por bimestre em cada colégio
Prof. Jorge
1º B
2º B
3º B
4º B
Tales
1
2
3
4
Platão
2
2
3
3
Multiplicação de Matrizes
 Dois alunos das duas escolas, que eram amigos,
resolveram comparar a soma dos pontos obtidos em
Matemática no seu colégio com a que teriam obtido,
caso estudasse no outro colégio.
Nota de cada aluno por bimestre
Prof. Jorge
André
Pedro
1º B
6
9
2º B
5
8
3º B
7
6
4º B
8
5
Multiplicação de Matrizes
 Veja o total de pontos que cada um teria feito,
estudando no colégio Tales.
André Pedro
1º B
2º B
3º B
4º B
Tales
1
2
3
4
Platão
2
2
3
3
1º B
6
9
2º B
5
8
3º B
7
6
4º B
8
5
André: 1.6 + 2.5 + 3.7 + 4.8 = 6 + 10 + 21 + 32 = 69
Pedro: 1.9 + 2.8 + 3.6 + 4.5 = 9 + 16 + 18 + 20 = 63
Prof. Jorge
Multiplicação de Matrizes
 Veja o total de pontos que cada um teria feito,
estudando no colégio Platão.
André Pedro
1º B
2º B
3º B
4º B
Tales
1
2
3
4
Platão
2
2
3
3
1º B
6
9
2º B
5
8
3º B
7
6
4º B
8
5
André: 2.6 + 2.5 + 3.7 + 3.8 = 12 + 10 + 21 + 24 = 67
Pedro: 2.9 + 2.8 + 3.6 + 3.5 = 18 + 16 + 18 + 15 = 67
Prof. Jorge
Multiplicação de Matrizes
 O quadro a seguir sintetiza os resultados.
Pontos de cada aluno por colégio
Prof. Jorge
André
Pedro
Tales
69
63
Platão
67
67
Multiplicação de Matrizes
 Vemos escrever, agora, as matrizes A, B e C,
associadas aos três quadros anteriores.
Matriz dos pesos: A =
Matriz das notas: B =
Matriz dos pontos: C =
Prof. Jorge
1
2
3
4
2
2
3
3
6
9
5
8
7
6
8
5
69 63
67 67
c12 = 1.9 + 2.8 + 3.6 + 4.5
c12 = 9 + 16 + 18 + 20
c12 = 63
C = A.B
Multiplicação de Matrizes - Definição
 Sob certas condições, definem-se a multiplicação
de matrizes. Dadas duas matrizes A e B
 Existe o produto AB (ou A.B) se, e somente se, o
número de colunas de A (1ª matriz) é igual ao
número de linhas de B (2ª matriz);
 Existindo a matriz AB, ela tem o número de linhas
de A (1ª matriz) e o número de colunas de B (2ª
matriz).
Prof. Jorge
Multiplicação de Matrizes - Definição
 Observe o esquema.
A é matriz
m x
n
iguais
B é matriz
n
p
AB é do tipo
Prof. Jorge
x
⇒
existe AB
⇒
mxp
Exemplos
 Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é
definido e obter o produto AB.
A=
–3
2
1
0
4 –2
–1
2
3
5
–2
6
B=
A é matriz
2
x
3
iguais
B é matriz
3
x
2
AB é do tipo
AB =
Prof. Jorge
x11
x12
x21
x22
⇒
existe AB
⇒
2x2
Exemplo
 Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é
definido e obter o produto AB.
A=
–3
2
1
0
4 –2
B=
–1
2
3
5
–2
6
Cálculo de x11:
x11 = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) = 3 + 3 + 0 = 6
Cálculo de x12:
x12 = –3.2 + 1.5 + 0.6 = –6 + 5 + 0 = –1
Prof. Jorge
Exemplo
 Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é
definido e obter o produto AB.
A=
–3
2
1
0
4 –2
B=
–1
2
3
5
–2
6
Cálculo de x21:
x21 = 2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) = –2 + 12 + 4 = 14
Cálculo de x22:
x22 = 2.2 + 4.5 + –2 .6 = 4 + 20 – 12 = 12
Prof. Jorge
Exemplo
 Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é
definido e obter o produto AB.
A=
–3
2
1
0
B=
4 –2
–1
2
3
5
–2
6
6
–1
14
12
Conclusão:
AB =
Prof. Jorge
x11
x12
x21
x22
=
Observação
 Observe que no caso das matrizes A2x3 e B3x2 do
exemplo anterior, existe o produto BA que é do tipo
3 x 3.
 Ainda que, em certos casos, tanto AB como BA sejam
definidos, em geral AB ≠ BA.
 Se existirem tanto AB quanto BA e, além disso,
AB = BA, dizemos que A e B comutam.
 Se A é uma matriz quadrada, existe o produto AA,
que também pode ser indicado por A2.
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Propriedades da
multiplicação de matrizes
Prof. Jorge
Propriedades da multiplicação de matrizes
 Suponha que A, B e C sejam matrizes de mesmo tipo
e que O seja a matriz nula de mesmo tipo daquelas.
Valem, para a adição, as seguintes propriedades:
 Associativa: (AB)C = A(BC)
 Distributiva: A(B + C) = AB +AC e
(B + C)A = BA + CA
 Seja Am x n, A.In = Im.A
 (AB)t = Bt.At
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Equações que envolvem
produto de matrizes
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Exemplo
 Dado as matrizes A e B abaixo, resolver a equação
matricial AX = B.
A=
2
–1
1
1
B=
5
4
Vamos analisar primeiro de que tipo é a matriz X.
A é matriz
2
x
2
existe AX
X é matriz
m x
n
AX é do tipo
AX2 x n = B2 x 1 ⇒
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n=1
X=
⇒
x
y
m=2
⇒
2xn
Exemplo
 Dado as matrizes A e B abaixo, resolver a equação
matricial AX = B.
A=
2
–1
1
1
5
B=
4
AX = B
2
–1
1
1
.
2x – y = 5
x+y=4
Prof. Jorge
x
y
=
⇒
5
4
⇒
x=3
y=1
2x – y
x+y
⇒
X=
=
3
1
5
4
Inversa de uma
matriz quadrada
Prof. Jorge
Inversa de uma matriz quadrada
 Dadas as matrizes A e B abaixo, vamos obter os
produtos AB e BA.
A=
AB =
BA =
1
1
2
3
3
–1
–2
1
.
.
1
1
2
3
3
–1
–2
1
1
1
2
3
B=
=
=
3
–1
–2
1
3–2
–1 + 1
6–6
–2 + 3
3–2
3–3
–2 + 2 –2 + 3
=
=
1
0
0
1
1
0
0
1
 Note que AB = BA = I2, matriz identidade de ordem 2.
Prof. Jorge
Inversa de uma matriz quadrada
 AB = BA = I2, matriz identidade de ordem 2.
Dizemos que:
 A é a inversa de B (A = B–1);
 B é a inversa de A (B = A–1).
Prof. Jorge
Inversa de uma matriz quadrada
 Dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, é
invertível se, e somente se, existir uma matriz B tal
que AB = BA = In. No caso a matriz B é chamada de
inversa de A e é representada por A–1. Portanto
AA–1 = A–1A = In
Prof. Jorge
Exemplo
 Mostrar que a matriz A abaixo é invertível e obter
sua inversa.
A=
Caso exista,
AA–1
= I2 ⇒
⇒
Prof. Jorge
A–1
2
–5
1
–3
ela será de ordem 2.
2
–5
1
–3
.
a
b
c
d
2a – 5c
2b – 5d
a – 3c
b – 3d
=
=
A–1
=
1
0
0
1
1
0
0
1
a
b
c
d
Exemplo
 Mostrar que a matriz A abaixo é invertível e obter
sua inversa.
A=
⇒
2a – 5c = 1
a – 3c = 0
2
–5
1
–3
2b – 5d = 0
e
b – 3d = 1
Resolvendo os sistemas encontramos a = 3, b = –5,
c = 1 e d = –2. Logo
A–1
Prof. Jorge
=
a
b
c
d
=
3
–5
1
–2