Perímetros e áreas
Proposta de conjunto de tarefas para o 5.º ano – 2.º ciclo
Autores:
Professores das turmas piloto do 5.º ano de escolaridade
Ano lectivo 2008/09
Novembro de 2009
Proposta planificação: Áreas e Perímetros Escola 5ºAno Geometria Propósito Principal de Ensino: Objectivos Gerais: Tópicos e Subtópicos Desenvolver nos alunos o sentido espacial, com ênfase na visualização e na compreensão das propriedades de figuras geométricas no plano e no espaço, a compreensão de grandezas geométricas e respectivos processos de medida, bem como a utilização destes conhecimentos e capacidades na resolução de problemas em contextos diversos. Compreender propriedades das figuras geométricas no plano e no espaço; Desenvolver a visualização e o raciocínio geométrico e ser capaz de o usar; Ser capaz de analisar padrões geométricos e desenvolver o conceito de simetria; Ser capaz de resolver problemas, comunicar e raciocinar matematicamente em situações que envolvam contextos geométricos. Objectivos Específicos Notas Perímetros • Polígonos regulares e irregulares (A) Determinar o perímetro de polígonos regulares e irregulares • Círculo (B) Determinar um valor aproximado de π. (C) Resolver problemas envolvendo perímetros de polígonos e do círculo. • Propor a determinação experimental de um valor aproximado de π. (D) Compreender a noção de equivalência de figuras planas e distinguir figuras equivalentes de figuras congruentes • Usar situações experimentais para encontrar a fórmula do perímetro do círculo.
• Usar a sobreposição, composição e decomposição de figuras. Áreas • Equivalência de figuras planas. • Unidades de área. (E) Relacionar a fórmula da área do triângulo com a área do rectângulo. • Áreas do quadrado, do rectângulo, do triângulo e do círculo. Relações e regularidades (F) Calcular a área de figuras planas simples, decomponíveis em rectângulos e em triângulos ou por meio de estimativas (G) Determinar valores aproximados da área de um círculo desenhado em papel quadriculado. (H) Resolver problemas que envolvam áreas do triângulo e do círculo, bem como a decomposição e composição de outras figuras planas. • Propor situações que evidenciem a distinção entre área e perímetro. Por exemplo, a separação e a reorganização das partes de uma figura que alterem o seu perímetro mas não a sua área (e reciprocamente). • Usar figuras e respectivo enquadramento em papel quadriculado. • Usar situações experimentais, para determinar a fórmula da área do círculo. (I) Identificar sequências e regularidades numéricas e não numéricas. (J) Determinar o termo seguinte (ou o anterior) a um dado termo e ampliar uma sequência numérica, conhecida a sua lei de formação. (L) Representar simbolicamente relações descritas em linguagem natural e reciprocamente. (M) Interpretar diferentes representações de uma relação e relacioná‐las. Figuras no plano • Polígonos: propriedades e classificação (N) Classificar triângulos quanto aos ângulos e quanto aos lados. (O) Compreender relações entre elementos de um triângulo e usá‐las na resolução de problemas • Sequências e regularidades
Tarefas Duração Nasceu uma nova aldeia “Amabran” (A) (C) (D) (F) 90’ Explorando quadrados sombreados… até ao infinito (A) (I) (J) (L) (M) 90’ Altura do triângulo (A) (N) (O) 60’ Do rectângulo ao triângulo (D) (E) (F) 45’ À descoberta do π e perímetro do círculo (B) (C) 45’ Círculos, rectângulos e áreas (D) (E) (F) 90’ Nasceu uma nova aldeia “Amabran”
Esta tarefa, que se enquadra no tema Geometria, tem como propósito a distinção entre área e
perímetro, a partir da resolução de um problema relacionado com a vida real.
Tema matemático: Geometria
Nível de ensino: 2.º ciclo
Tópicos matemáticos: Perímetros e áreas
Subtópicos matemáticos: Polígonos regulares e irregulares. Equivalência de figuras planas.
Capacidades transversais: Resolução de problemas
- Compreensão do problema
- Concepção, aplicação e justificação de estratégias
Raciocínio matemático
- Justificação
- Argumentação
Comunicação matemática
- Interpretação
- Representação
- Expressão
- Discussão
Conhecimentos prévios dos alunos:
- Calcular o perímetro e a área de figuras.
- Resolver problemas relacionando perímetro e área.
- Comparar e ordenar unidades de medida de comprimento e de área
Aprendizagens visadas:
- Determinar o perímetro de polígonos regulares e irregulares.
- Resolver problemas envolvendo perímetros e áreas de polígonos.
- Compreender a noção de equivalência de figuras planas e distinguir figuras equivalentes e
figuras congruentes.
- Calcular a área e o perímetro de figuras planas simples.
Áreas e Perímetros
5.º ano
- Identificar os dados, as condições e o objectivo do problema.
- Conceber e pôr em prática estratégias de resolução de problemas, verificando a
adequação dos resultados obtidos e dos processos utilizados.
- Averiguar da possibilidade de abordagens diversificadas para a resolução de um
problema.
- Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos, recorrendo a exemplos
e contra-exemplos.
- Interpretar a informação e ideias matemáticas representadas de diversas formas.
- Representar informação e ideias matemáticas de diversas formas.
- Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando a notação,
simbologia e vocabulário próprios.
- Discutir resultados, processos e ideias matemáticos.
Recursos: Retroprojector e imagens em acetato.
Duração prevista: 90 minutos
Notas para o professor:
Os alunos devem trabalhar a pares ou em grupos de 3, 4 elementos.
Nos primeiros 20 minutos os grupos realizam trabalho autónomo. Os alunos devem relembrar os
conceitos de área e perímetro trabalhados no 1.º ciclo. Pretende-se que os alunos identifiquem que
o comprimento da rede necessária para vedar um determinado terreno é o seu perímetro.
Nos 40 minutos seguintes, o professor deve promover a discussão entre os vários grupos, de modo
a que os alunos concluam que figuras com a mesma área podem ter, ou não, o mesmo perímetro.
Nesta situação a família Alves ficaria prejudicada porque o seu terreno, apesar de ter a mesma
área que o terreno do Sr. Moura, tem menor perímetro, por conseguinte, precisa de menos rede.
A divisão do terreno em diferentes partes iguais, que pode ser apresentada em acetato aquando da
discussão, permite verificar que os perímetros dos terrenos do Sr. Moura e do Sr. Alves são
diferentes. Ajuda igualmente a descobrir qual das famílias poderá dividir a despesa com o Sr.
Moura, sem que ninguém fique prejudicado. Os seguintes esquemas representam abordagens que
os alunos podem seguir:
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Aldeia Amabran
Moura
Esteves
Alves
Ilídio
Aldeia Amabran
Moura
Esteves
Alves
Ilídio
Se os alunos usarem o primeiro esquema, facilmente calculam a medida que corresponde ao lado
da quadrícula: ¼ de 1 km = 0,25 km = 250 m. Depois podem multiplicar por 16 (caso do Sr. Moura)
e por 13 (Sr. Alves) e, por fim, calcular a diferença. Outros alunos podem começar por calcular a
diferença entre perímetros.
É interessante e rico que os alunos sigam caminhos diferentes. Uns podem usar uma malha maior,
e outros, uma malha menor; uns podem calcular o perímetro usando a quadrícula como unidade e
outros podem calcular em metros (ou km), etc.
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Posteriormente, o professor deve perguntar aos alunos:
- Qual das famílias poderia dividir igualmente a despesa com o Sr. Moura de modo a que ninguém
fique prejudicado?
Relativamente a esta questão pretende-se que os alunos concluam que é a família Esteves que
poderia dividir igualmente a despesa com o Sr. Moura. Os terrenos têm áreas diferentes, mas têm
o mesmo perímetro.
O professor pode promover a discussão desta questão, sugerindo aos alunos o cálculo das áreas e
dos perímetros dos outros terrenos da aldeia e a construção de uma tabela, onde registem as
áreas e os perímetros, procedendo de seguida à sua análise.
Cada grupo deve usar as unidades de medida que estão de acordo com o seu esquema. Por
exemplo:
Área
Família
unidade
Perímetro
unidade
Alves
8
13
Moura
8
16
Esteves
9,5
16
Ilídio
6,5
12
Da análise, os alunos devem concluir que:
- figuras com a mesma área podem ter perímetros diferentes;
- figuras com o mesmo perímetro podem ter áreas diferentes.
Nos 30 minutos seguintes, o professor promove a sistematização da tarefa de acordo com as ideias
e percursos dos alunos.
Após a conclusão de que o senhor Alves ficaria prejudicado, se dividisse a despesa com o senhor
Moura, porque o seu terreno tem menor perímetro (apesar das áreas de ambos os terrenos serem
iguais), o professor introduz a noção de equivalência de figuras planas. Se houver oportunidade,
pode sugerir que os alunos desenhem uma figura congruente à sua escolha, partindo de um dos
terrenos da aldeia Amabran.
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Como trabalho suplementar o professor pode levar os alunos a explorarem a seguinte situação:
O Sr. Alves percebeu que iria ficar prejudicado e não quis dividir a despesa com o Sr. Moura.
Sabendo que o Sr. Moura pagou 10 000 euros pela sua rede, quanto é que “poupou” o senhor
Alves (que não foi na conversa do seu vizinho)?
Na resolução apresentada, parte-se do princípio que o Sr. Moura pede como pagamento ao seu
vizinho, 4000 euros, o mesmo que custa a rede do seu terreno. Com esta questão pretende-se que
os alunos percebam que antes de descobrir a diferença de preços têm que calcular o preço de
cada metro de rede. Através do perímetro do terreno do Senhor Moura, 4km = 4 000m, poderão
fazer: 10 000 : 4 000 = 2,5; sendo 2,5 euros o preço de 1 metro de rede. Seguidamente os alunos
vão achar o perímetro do terreno do senhor Alves, 3250m, e multiplicá-lo por 2,5 euros (3250 x
2,5= 8125). Posteriormente fazem a diferença entre o preço da rede do senhor Moura e Alves 10
000 – 8 125= 1 875, valor em euros que representa a “poupança” do senhor Alves.
É possível que haja alunos a calcular a diferença entre os perímetros dos terrenos da seguinte
forma: 4 000 – 3 250 = 750, multiplicando o valor obtido por 2,5 euros (750 x 2,5 = 1 875).
Caso nenhum aluno siga este raciocínio o professor pode sugerir que se aplique a propriedade
distributiva da multiplicação em relação à subtracção, através da seguinte expressão:
(4000-3250) x 2,5 =
diferença entre
preço da rede do
preço da rede do
Sr. Moura
Sr. Alves
perímetros
VALOR DA POUPANÇA
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4000 x 2,5 - 3250x2,5
VALOR DA POUPANÇA
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Explorações dos alunos:
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Tarefa 1: Nasceu a aldeia “Amabran”1
Conforme descobriste na tarefa “Terrenos nas aldeias”, as duas aldeias vizinhas passaram a
pertencer a 4 famílias como mostra a figura:
Aldeia Amabran
1 Km
Moura
Esteves
Alves
Ilídio
2 Km
¾ Lê com atenção o diálogo entre dois proprietários:
Moura: – Caro Alves, vou vedar o meu terreno para o proteger dos ventos.
Alves: - Também estou a pensar fazer o mesmo.
Moura: - Como os nossos terrenos têm a mesma área, então poderíamos comprar a rede em
conjunto e depois dividíamos a despesa a meio. O que achas?
Alves: - Deixa-me pensar! Vou falar com a minha esposa e depois dou-te uma resposta.
Moura: - Preciso que tomes uma decisão já! Pois vou comprar a rede agora mesmo!
1. Que decisão deve o senhor Alves tomar? (Justifica a tua resposta)
1
Extensão da tarefa “Terrenos nas aldeias” dos materiais de apoio ao professor Números racionais não negativos: tarefas
para o 5.º ano disponíveis em http://sitio.dgidc.min-edu.pt/matematica/Documents/npmeb/Materiais_Racionais_5ano.pdf
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Explorando quadrados sombreados… até ao infinito
Esta tarefa, que se enquadra no tema Geometria, permite estabelecer conexões entre diferentes
temas matemáticos do programa: Geometria, Álgebra, e Números e Operações. Permite ainda
rever conteúdos leccionados no primeiro ciclo, nomeadamente a área e o perímetro do quadrado,
bem como investigar relações numéricas e geométricas.
Tema matemático: Geometria e Álgebra
Nível de ensino: 2.º Ciclo
Tópicos matemáticos: Áreas e perímetros. Relações e regularidades
Subtópicos matemáticos: Áreas e perímetros, Sequências e regularidades
Capacidades transversais: Raciocínio matemático
- Formulação e teste de conjecturas
- Justificação
Comunicação matemática
- Interpretação
- Representação
- Expressão
- Discussão.
Conhecimentos prévios dos alunos:
- Determinar o perímetro de figuras.
- Compreender e utilizar a fórmula para calcular a área do quadrado.
- Investigar regularidades numéricas.
Aprendizagens visadas:
- Determinar a área e o perímetro de polígonos regulares.
- Identificar sequências e regularidades numéricas e não numéricas.
- Determinar o termo seguinte a um dado termo e ampliar uma sequência numérica,
conhecida a sua lei de formação.
- Representar simbolicamente as relações descritas em linguagem natural e
reciprocamente.
- Interpretar diferentes representações de uma relação e relacioná-las.
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Áreas e Perímetros
5.º ano
- Formular e testar conjecturas e generalizações e justificá-las fazendo deduções informais.
- Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos, recorrendo a exemplos
e contra-exemplos.
- Interpretar a informação e ideias matemáticas representadas de diversas formas.
- Representar informação e ideias matemáticas de diversas formas.
- Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando a notação,
simbologia e vocabulário próprios.
- Discutir resultados, processos e ideias matemáticos.
Duração prevista: 90 minutos
Notas para o professor:
Numa primeira fase, durante 45 minutos, os alunos realizam esta tarefa aos pares. Preenchem a
tabela, determinando a área e o perímetro dos diferentes quadrados e devem encontrar relações
entre: o comprimento do lado e o perímetro e o comprimento do lado e a área dos diferentes
quadrados, formulando conjecturas.
Nos 45 minutos seguintes o professor promove a discussão, tendo em conta as respostas e
conjecturas formuladas pelos alunos. No final da discussão procede-se à sistematização, que deve
passar pela lei de formação das diferentes relações existentes e ao registo das conclusões.
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Explorações dos alunos
PRODUÇÕES DOS ALUNOS
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Áreas e Perímetros
5.º ano
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Tarefa 2: Explorando quadrados sombreados… até ao infinito2
Observa o quadrado ABCD que tem de perímetro 128 cm.
Q3
Q2
Q1
1. Completa a tabela.
Quadrado
ABCD
Lado
Perímetro
Área
(cm)
(cm)
(cm)
128
Q1
Q2
Q3
...
2. Descobre que relações existem entre os quadrados.
Extensão da tarefa “Quadrados sombreados… até ao infinito” dos materiais de apoio ao professor Números racionais não negativos:
tarefas para o 5.º ano disponíveis em http://sitio.dgidc.min-du.pt/matematica/Documents/npmeb/Materiais_Racionais_5ano.pdf
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Alturas do Triângulo
Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos tracem alturas de
triângulos e que se apercebam que num triângulo podemos traçar três alturas.
Tema matemático: Geometria
Nível de ensino: 2.º Ciclo
Tópicos matemáticos: Figuras no plano
Subtópicos matemáticos: Polígonos: propriedades e classificação
Capacidades transversais: Raciocínio Matemático
- Justificação
Comunicação matemática
- Discussão
Conhecimentos prévios dos alunos:
- Compreender a noção de ângulo.
- Comparar e classificar ângulos (recto, agudo, obtuso e raso) e identificar ângulos em
figuras geométricas.
- Determinar o perímetro de figuras.
- Representar rectas paralelas e perpendiculares.
Aprendizagens visadas:
- Classificar triângulos quanto aos ângulos e quanto aos lados.
- Compreender relações entre elementos de um triângulo.
- Determinar o perímetro de polígonos regulares e irregulares.
- Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos, recorrendo a
Exemplos e contra-exemplos.
- Discutir resultados, processos e ideias matemáticos.
Recursos: Régua e esquadro
Duração prevista: 60 minutos
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Notas para o professor:
Nos primeiros 15 minutos os alunos realizam trabalho autónomo, resolvendo a pares as alíneas a),
b) e c). Os alunos deverão recordar aspectos relativos aos triângulos e suas características,
nomeadamente, classificar quanto aos lados, bem como classificar ângulos por comparação com o
ângulo recto.
O professor deve questionar os grupos de modo a perceber as dificuldades e dúvidas que possam
surgir. É fundamental que os alunos registem, de forma organizada, todas as conclusões a que
chegaram.
Nos 15 minutos seguintes, o professor deve fomentar a discussão entre os vários grupos
sintetizando a classificação dos triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos.
O professor propõe a resolução das alíneas d) e e), nos 15 minutos seguintes, e no restante tempo
da aula, 15 minutos, deve promover a discussão das conjecturas elaboradas pelos alunos,
levando-os a justificar que os triângulos, sejam eles quais forem, têm sempre 3 alturas. No final da
discussão deverão ser registadas as conclusões.
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Tarefa 3: Alturas do Triângulo
1. Observa os seguintes triângulos:
a) Classifica os triângulos quanto ao comprimento dos seus lados.
b) Determina o perímetro do triângulo KLM.
c) Classifica os ângulos internos de cada um dos triângulos.
• Chamamos altura de um triângulo à distância, medida na perpendicular, entre um vértice
e o lado oposto ou o seu prolongamento.
d) Traça as alturas dos triângulos acima (usa a régua e o esquadro)
e) Será que consegues traçar o mesmo número de alturas em qualquer triângulo? Porquê?
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Do rectângulo ao triângulo
Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende introduzir a área do triângulo, tendo por
base o conhecimento prévio da área do rectângulo.
Tema matemático: Geometria
Nível de ensino: 2.º Ciclo
Tópicos matemáticos: Áreas
Subtópicos matemáticos: Área do triângulo
Capacidades transversais: Raciocínio matemático
- Formulação e teste de conjecturas
- Justificação.
Comunicação matemática:
- Interpretação
- Discussão
Conhecimentos prévios dos alunos:
- Compreender e utilizar a fórmula para calcular a área do rectângulo.
Aprendizagens visadas:
- Compreender a noção de equivalência de figuras planas e distinguir figuras
equivalentes de figuras congruentes.
- Relacionar a fórmula da área do triângulo com a do rectângulo.
- Calcular a área de figuras planas simples, decomponíveis em rectângulos e em
triângulos ou por meio de estimativas.
- Formular e testar conjecturas e generalizações e justificá-las fazendo deduções
informais;
- Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos, recorrendo a
exemplos e contra-exemplos.
- Interpretar a informação e ideias matemáticas representadas de diversas formas.
- Discutir resultados, processos e ideias matemáticos.
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Recursos: Geoplanos e elásticos (na impossibilidade usar o geoplano fornecido na tarefa e
usar lápis de cor para representar os diferentes triângulos).
Duração prevista: 45 minutos
Notas para o professor:
Nos primeiros 15 minutos os alunos, a pares, realizam trabalho autónomo. Devem recordar
aspectos relativos aos rectângulos, nomeadamente, a fórmula do cálculo da área:
A = c x l (c = comprimento; l = largura) ou A = b x a (b = base; a = altura)
O professor deve questionar os grupos de modo a perceber as dificuldades e dúvidas que possam
surgir. É fundamental que os alunos registem, de forma organizada, todas as conclusões a que
chegaram.
Nos 20 minutos seguintes, o professor deve fomentar a discussão no grupo turma, fazendo um
levantamento dos diferentes rectângulos construídos, levando, caso os alunos ainda não o tenham
observado, à descoberta da relação entre a área do rectângulo e do triângulo, com a mesma base
e a mesma altura, assim como à sua justificação. É importante e rico que as diferentes construções
sejam mostradas para toda a turma e registadas no quadro.
No restante tempo da aula, 10 minutos, deve promover o registo das conclusões mais relevantes.
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Tarefa 4: Do rectângulo ao triângulo
Unidade de comprimento►
Unidade de área ►
a) Representa, no geoplano, um rectângulo de 4 x 2.
b) Dentro do rectângulo, constrói triângulos que tenham a mesma base e a mesma altura do
rectângulo e preenche a tabela.
Medida da Base
Medida da Altura
Medida da Área
Triângulo
Triângulo
Triângulo
c) Que relação existe entre a área de cada um dos triângulos e a área do rectângulo?
d) Realiza as questões anteriores para outro rectângulo com dimensões à tua escolha.
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Áreas e Perímetros
5.º ano
À descoberta do π e do perímetro do círculo
Com esta tarefa, que se enquadra no tema Geometria, pretende-se que os alunos, a partir da
medida do perímetro e do diâmetro de vários objectos em forma de cilindro de revolução, cheguem
a um valor aproximado da constante π e à fórmula que permite determinar o perímetro do círculo.
Tema matemático: Geometria
Nível de ensino: 2.º Ciclo
Tópico matemático: Perímetros
Subtópico matemático: Círculo
Capacidades transversais: Raciocínio matemático:
- Justificação
Comunicação matemática:
- Interpretação
- Expressão
- Discussão
Conhecimentos prévios dos alunos:
- Realizar medições utilizando unidades de medida convencionais.
- Distinguir círculo de circunferência e relacionar o raio e o diâmetro.
- Calcular o perímetro de polígonos e determinar, de modo experimental, o perímetro da base
circular de um objecto.
Aprendizagens visadas:
- Determinar um valor aproximado de π.
- Resolver problemas envolvendo perímetro do círculo.
- Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos, recorrendo a exemplos
e contra-exemplos.
- Interpretar a informação e ideias matemáticas representadas de diversas formas.
- Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando a notação,
simbologia e vocabulário próprios.
- Discutir resultados, processos e ideias matemáticos.
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Recursos: vários objectos em forma de cilindro de revolução, fita métrica, calculadora e
cópia da tabela.
Duração prevista: 45 minutos
Notas para o professor:
O professor deve partir dos conceitos relacionados com os elementos do círculo (raio, diâmetro e
outras cordas), recordando os conceitos abordados na tarefa Círculo, circunferência e outras
palavras… (tópico Sólidos geométricos e figuras no plano).
Nesta tarefa o professor pode sugerir aos alunos que, utilizando uma fita métrica, meçam o
perímetro e o diâmetro da base de alguns objectos cilíndricos que tenham em casa (latas, garrafas,
copos, …) e tomem nota das respectivas medidas.
Esta tarefa pode ser realizada em plenário, sugerindo-se o preenchimento de uma tabela como a
abaixo apresentada, com os valores obtidos pelos alunos nas suas medições.
Nome do
Diâmetro (d)
Raio (r)
Perímetro (P)
P÷d
objecto
Após o preenchimento da tabela os alunos devem estabelecer relações entre o perímetro e o
diâmetro, chegando ao valor da constante
π
e à fórmula que permite determinar o perímetro do
círculo.
Da observação da última coluna, os alunos verificam que, independentemente do perímetro e do
diâmetro do objecto, o quociente obtido é sempre um valor aproximado de 3. Assim, poderão
concluir, numa primeira fase, que o perímetro de um círculo é, aproximadamente, o triplo do valor
do diâmetro. No entanto, aperceber-se-ão que essa é uma aproximação por defeito e que o valor
do quociente é constante. A este quociente dá-se o nome
Dedução da fórmula do perímetro:
π.
P÷d =π
P =π ×d
O professor pode levar também alguns objectos para a aula, para que se efectuem as respectivas
medições.
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Círculos, rectângulos e áreas
Com esta tarefa, que se enquadra no tema Geometria, pretende-se introduzir o conceito da área do
círculo a partir da área do rectângulo.
Tema matemático: Geometria
Nível de ensino: 2.º Ciclo
Tópico matemático: Áreas
Subtópico matemático: Área do círculo
Capacidades transversais: Raciocínio matemático
- Formulação e teste de conjecturas
Comunicação matemática
- Interpretação
- Representação
- Expressão
- Discussão
Conhecimentos prévios dos alunos:
- Compreender e utilizar as fórmulas para calcular a área do quadrado e do rectângulo.
- Distinguir círculo de circunferência e raio de diâmetro.
- Determinar o perímetro do círculo.
Aprendizagens visadas:
- Compreender a noção de equivalência de figuras planas.
- Calcular a área de figuras planas simples decomponíveis em rectângulos e triângulos.
- Relacionar a fórmula da área do rectângulo com a do círculo.
- Formular e testar conjecturas e generalizações e justificá-las fazendo deduções informais.
- Interpretar a informação e ideias matemáticas representadas de diversas formas.
- Representar informação e ideias matemáticas de diversas formas.
- Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando a notação,
simbologia e vocabulário próprios.
- Discutir resultados, processos e ideias matemáticos.
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Recursos: Círculo grande dividido em sectores, tesoura, cola.
Duração prevista: 90 minutos
Notas para o professor:
Nos 10 minutos iniciais da aula o professor distribui o enunciado da tarefa e o círculo dividido em
sectores. Nesta altura pode aproveitar para questionar os alunos sobre alguns conceitos
relacionados com a tarefa proposta. “Como se chama esta figura?” Pretende-se que os alunos
respondam que se trata de um círculo, distinguindo-o da circunferência. “Para determinar o
perímetro do círculo, que elementos necessitamos conhecer? “Qual é o perímetro deste círculo?”
Desta forma, serão recordadas as noções de círculo, circunferência, diâmetro, raio e perímetro.
O professor poderá ainda explorar a relação parte-todo, abordada no tópico dos números racionais
não negativos. “Que parte do círculo está representada a cinzento?”
Nos 45 minutos seguintes os alunos desenvolvem trabalho a pares. O professor questiona os
alunos sobre os raciocínios efectuados e resolve impasses.
Nos últimos 25 minutos da aula realiza-se a discussão da tarefa que poderá ter como auxiliar uma
cartolina, com um círculo dividido e cortado em sectores, colado no quadro.
Como ilustração e sistematização poderá também utilizar os seguintes applets:
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/circunferencia/index.html
http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/moodle/file.php/1/vnm-v0/conteudo/Area_do_Circulo.html
A tarefa proposta baseia-se na decomposição do círculo em figuras próximas de triângulos
isósceles, que podem reagrupar-se formando uma figura aproximada de um rectângulo, cuja área
os alunos já sabem determinar.
Ao observarem o círculo e o “rectângulo” obtido, possivelmente chegam à conclusão que a altura
do “rectângulo” corresponde à medida do raio e que a base corresponde a metade do perímetro do
círculo, pelo que concluem que a área do “rectângulo” que obtiveram é igual à área do círculo
inicial.
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Dedução da fórmula para determinar a área do círculo:
base =
2×π × r
2
Altura = r
Área do círculo = Área do rectângulo
Área do rectângulo = base x altura
Área do rectângulo =
2×π × r
×r
2
Área do rectângulo =
π ×r×r
Área do rectângulo =
π × r2
Área do círculo = Área do rectângulo =
π × r2
Como alternativa ou complemento, o endereço abaixo indicado pretende ilustrar como se pode
determinar a área de um círculo, transformando-o num triângulo com a mesma área:
http://www.labvirt.fe.usp.br/simulacoes/fisica/sim_geometria_areacirculo.htm
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Áreas e Perímetros
5.º ano
Tarefa 6: Círculos, rectângulos e áreas
O círculo seguinte encontra-se dividido em 16 sectores iguais.
Recorta os sectores que compõem o círculo.
Cola os sectores encaixando-os alternadamente, como mostra o esquema:
Observa a figura obtida e compara-a com o círculo.
Em relação às áreas das duas figuras obtidas que conjecturas podes formular?
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