Avaliação de modelos polinomiais de potências inteiras e fracionárias para
descrever a variação longitudinal do diâmetro de árvores de eucalipto clonal
Samuel de Pádua Chaves e Carvalho¹
Ayuni Larissa Mendes Sena²
Adriano Ribeiro de Mendonça³
Juliana Carneiro Gonçalves4
Cristiane Coutinho Meneguzzi5
Luiz Carlos Estraviz Rodriguez6
Natalino Calegario7
1 – Introdução
Para Couto & Vetorazzo (1999) um dos principais produtos relacionados a
atividade de inventário florestal é a quantificação do estoque de madeira expresso em
volume. Variável esta modelada pela relação funcional V = f (DAP, HT) ou ainda V –
f(DAP). O volume comercial é determinado em função de um diâmetro e um
comprimento mínimo de uso.
No caso do volume total pode-se dispor de equações de simples ou dupla entrada
para estimar o volume individual de árvores ou ainda de funções que possam descrever
a variação longitudinal do afilamento das árvores, em que o volume de cada árvore é
então obtido por técnicas de integração de sólidos de revolução.
Na literatura floresta o uso de técnicas de integração para obter o volume de
árvore bem como os modelos para descrever esta relação são bem conhecidos. No Brasil
alguns autores como Fischer (1997), Ferreira (1999), Assis (2000), Mendonça et al
(2007), Carvalho et al (2010) trabalharam estas técnicas com os mais diversos modelos
já divulgados como o polinômio de 5º grau relativizado de Schöepfer (1966), modelo
não linear de Kozak et al (1969), o polinômio de potências inteiras e fracionárias
relativizado de Hradetzky (1976).
Diante do contexto da aplicação de modelos polinomiais para descrever a
variação longitudinal do diâmetro de árvores, este trabalho tem como objetivo avaliar a
eficiência preditiva do polinômio de 5º grau de Schöepfer comparado ao polinômio de
potências inteiras e fracionárias conforme proposto por Hradetzky.
____________________
¹PPGRF-ESALQ/USP. Email: [email protected]; ²Engenheira Florestal. Email: [email protected]; ³DEF-CCA/UFES. Email:
[email protected]; 4PPGEF-UFLA. Email: [email protected]; 5Engenheira Florestal. Email: [email protected];
6
LCF-ESALQ/USP. Email: [email protected]; 7LCF-UFLA. Email: [email protected]
2 – Materiais e métodos
Os dados são originados de plantios homogêneos de eucalipto pertencentes à
empresa Fibria Celulose S/A, localizados no estado do Espírito Santo. Tratam-se de
plantios clonais com idade de 7 anos e densidade de plantio com aproximadamente
1100 plantas por hectare, o que caracteriza plantas espaçadas em 3,0 x 3,0 m, na linha e
entre linha respectivamente.
Foram derrubadas 28 árvores distribuídas por classe de diâmetro com diâmetro
mínimo de 5,4 e máximo de 22,2 cm
2.1 Modelos avaliados
2.1.1 Polinômio de grau 5 de Schöepfer
 hij
= β 0 + β 1 + 
Di
 Hi
d ij

h
 + β 2 +  ij

 Hi
2

h
 + β 3 +  ij

 Hi
3

h
 + β 4 +  ij

 Hi
4

h
 + β 5 +  ij

 Hi
5

 + ε ij

2.1.2 Polinômio de potências inteiras e fracionárias
 hij
= β 0 + β 1 
Di
 Hi
d ij



p1
 hij
+ β 2 
 Hi



p2
 hij
+ ... + β n 
 Hi



pn
+ ε ij
Em que
dij = diâmetro da i-ésima árvore na j-ésima posição (cm)
Di = diâmetro medido a 1,3 m do solo da i-ésima árvore (cm)
Hij = altura da i-ésima árvore na j-ésima posição (m)
Hi = altura total da i-ésima árvore (m)
βi = parâmetros da regressão
pn = potências polinomiais que variam de 0.01 a 1 na etapa fracionária e de 1 a 100 na
etapa inteira.
Eij = erro aleatório de estimativa do diâmetro da i-ésima árvore na j-ésima posição
Para selecionar as potências que melhores representam a variação longitudinal
do diâmetro ao longo do fuste das árvores foi utilizada a técnica stepwise com direções
forward e backward, ou seja, a seleção das variáveis independentes se dá em ambas
direções e o critério de seleção das mesmas é dado pelo AIC. Para desenvolvimento
deste trabalho foi utilizado o software R, versão 2.12.0.
2.2 Seleção dos modelos avaliados
2.2.1 Critério de Informação de Akaike
‫ = ܥܫܣ‬−2݈݊ሺ݉‫ݒ‬ሻ + 2‫݌‬
2.2.2 Critério de Informação Bayesiano
‫ = ܥܫܤ‬−2 ln ݉‫ ݒ‬+ ‫݈݊݌‬ሺ݊ሻ
Quanto menores os valores de AIC e BIC melhor o modelo ajustado. As
estatísticas AIC e BIC são de grande importância na análise de regressão, pois
penalizam modelos com número excessivos de parâmetros, selecionando modelos mais
parcimoniosos. O AIC dá um peso maior no número de parâmetros do modelo e o BIC
na amostra utilizada na construção dos modelos.
Além dos critérios estatísticos citados anteriormente foi adicionado ainda o valor
do erro padrão residual e a análise gráfica dos resíduos padronizados e dos valores
preditos versus os observados como análise complementar.
Foi avaliado também o quão os modelos avaliados estimam valores negativos
para a variação do diâmetro ao longo do perfil das árvores amostradas.
3 – Resultados e discussões
Os resultados das avaliações estatísticas para seleção do modelo que melhor
represente o afilamente das árvores de eucalipto são descritas na tabela 1.
Tabela 1: Resultados estatísticos de avaliação e seleção dos modelos propostos.
Verifica-se pelos critérios AIC e BIC que o modelo de potências inteiras e
fracionárias é preferível na estimativa do diâmetro no perfil de árvores de eucalipto e se
adéqua melhor a distribuição amostral dos dados, mesmo que possua um número maior
de parâmetros pois o AIC penaliza este tipo de situação.
Houve uma redução de 3,5% no valor do erro padrão residual para o polinômio
de potências inteiras e fracionárias.
Figura 1: Gráfico dos valores preditos versus observados
Pela análise gráfica não é possível verificar grandes discrepâncias no caráter
preditivo do modelo e que os resíduos são não tendenciosos após adicionada a linha de
tendência. Porém ao avaliar o quão cada modelo estima valores negativos, o modelo
polinomial de 5º grau estima 28 valores negativos de diâmetro quando comparado ao
modelo polinomial de potências inteiras e fracionárias que não estimou valores
negativos para esta situação, portanto é preferível.
4 – Conclusões
Ambos modelos se mostraram eficientes e adequados na predição e estimativa
dos diâmetros ao longo do fustes de árvores de eucalipto sem grandes impactos de
caráter preditivo e estatísticos ao se optar por um ou outro.
Porém ao considerar a limitação de polinômios à base de dados que os gerou o
polinômio de potências inteiras e fracionárias é preferível pois para a situação proposta,
o mesmo não estima valores negativos para variáveis que assumem apenas valores
positivos nas observações de campo.
5 – Bibliografia
ASSIS, A. L. de. Avaliação de modelos polinomiais segmentados e não segmentados
na estimativa de diâmetros e volumes comerciais de Pinus taeda. 2000. 189p.
Dissertação (Mestrado em Engenharia Florestal) Universidade Federal de Lavras,
Lavras.
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(Vell.) Brenan. Cerne, v.16, n.3, p. 399-406, 2010.
COUTO, H. T. Z. do; VETTORAZZO, S. S. Seleção de equações de volume e peso
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FERREIRA, S. O. Estudo da forma de Eucalyptus grandis e Eucalyptus cloeziana.
1999. 132p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Florestal) – Universidade Federal de
Lavras, Lavras.
FISCHER, F. Eficiência dos modelos polinomiais e das razões de volume na
estimativa volumétrica dos sortimentos e do perfil do fuste de Pinus taeda. 1997.
167p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Florestal) – Universidade Federal de
Lavras, Lavras.
HRADETZKY, J. Analyse und interpretation statistisher abränger keiten.
(Biometrische Beiträge zu aktuellen forschungs projekten). Baden, 1976. 146p (Abt.
Biometric und Informatik, 21).
KOZAK, A.; MUNRO, D. D.; SMITH, J. H. G. Taper functions and their application in
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MENDONÇA, A. R. de; SILVA, G. F. da; OLIVEIRA, J. T. da S.; NOGUEIRA, G. S..
Avaliação de funções de afilamento visando a otimização de fustes de Eucalyptus sp.
para multiprodutos. Cerne, v.13, n.1, p.71-82, 2007.
SCHÖEPFER, W. Automatisierung des Massen, Sorten und Wertberechnung
stenender Waldbestande Schriftenreihe Bad. [S.l.]: Wurtt-Forstl., 1966. n.p.