INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Departamento Matemática
Curso
Disciplina Análise Matemática II
Engenharia do
Ambiente
Ano
1º
Semestre
2º
Ano
Lectivo
2004/2005
Ficha nº10: Integrais curvilíneos. Teorema de Green.
1. Calcule os integrais curvilíneos
∫C f (x , y )ds , ∫C f (x , y )dx
e
∫C f (x , y )dy , onde C tem a seguinte
parametrização:
3
1.1. f(x,y) = x +y , x = 3t, y = t ; 0 ≤ t ≤ 1;
3
1.2. f(x,y) = x
2
5
y
5
1
, x = t, y = t 2 ; 0 ≤ t ≤ 1.
2
2. Calcule o integral curvilíneo ao longo da curva C:
2.1.
∫C 6 x
2.2.
∫C (x − y )dx + xdy ;
3. Calcule
2
ydx + xydy ; C é o gráfico de y = x3 + 1 de (–1,0) a (1,2) ;
C é o gráfico de y2= x de (4, –2) a (4,2).
∫C xydx + (x + y )dy , onde a curva C é dada:
3.1. pelos segmentos de (0, 0) a (1, 0) e de (1, 0) a (1, 3);
3.2. pela parte da parábola y = 3x2 de (0, 0) a (1, 3).
4. Calcule
∫C (x
2
)
+ y 2 ydx + 2 xdy , onde a curva C é dada:
4.1. pelos segmentos de (1, 2) a (1, 8) e de (1, 8) a (–2, 8);
4.2. pelos segmentos de (1, 2) a (–2, 8);
π
z = sen2t ; 0 ≤ t ≤ .
2
5. Calcule
∫C ydx + zdy + xdz , sendo C o gráfico de x = sent , y = 2sent,
6. Calcule
∫C (x + y + z )dx + (x − 2 y + 3z )dy + (2 x + y − z )dz , onde C é a curva de (0,0,0) a
(2, 3, 4),
se
6.1. C consiste em três segmentos de recta, o primeiro paralelo ao eixo Ox, o segundo paralelo
ao eixo Oy e o terceiro paralelo ao eixo Oz;
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ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Disciplina Análise Matemática II
Ano
1º
Semestre
2º
Ano
Lectivo
2004/2005
6.2. C consiste em três segmentos de recta, o primeiro paralelo ao eixo Oz, o segundo paralelo
ao eixo Ox e o terceiro paralelo ao eixo Oy;
6.3. C é um segmento rectilíneo.
7. Calcule
∫C xyz ds , sendo C o segmento rectilíneo de (0, 0, 0) a (1, 2, 3).
8. Se F(x, y) = xy2i + x2yj, calcule
∫ F .dr ao longo da curva:
C
8.1. C dada pelos segmentos de (0, 0) a (1, 0) e de (1, 0) a (1, 3);
8.2. C dada pela parte da parábola y = 3x2 de (0, 0) a (1, 3).
9. Se F(x,y) = (2x + y)i + (x + 2y)j, calcule
∫ F .dr ao longo da curva:
C
9.1. C dada pelos segmentos de (1, 2) a (–2, 2) e de (–2, 2) a (–2, 8);
9.2. C dada pelos segmentos de (1, 2) a (–2, 8).
10. A força aplicada num ponto (x,y), de um plano Oxy, é dada por F(x,y) = (x2 + y2)i + xyj.
Determine o trabalho realizado por F, ao longo do gráfico de y = x2 de (0, 0) a (2, 4).
11. A força aplicada num ponto (x, y, z), de um espaço tridimensional, é F(x,y,z) = exi + eyj + ezk.
Determine o trabalho realizado por F, ao longo da curva x = t, y = t2, z = t3, de (0,0,0) a (2, 4, 8).
12. Verifique se
∫ F .dr é independente do caminho ou não. Em caso afirmativo, determine uma
C
função potencial f de F.
12.1. F(x,y) = (3x2y + 2)i + (x3 + 4y3)j ;
12.2. F(x,y) = (6x2 – 2xy2)i + (2x2y + 5)j ;
12.3. F(x,y,z) = (ysec2x – zex)i + tgxj – exk ;
12.4. F(x,y,z) = 8xzi + (1 – 6yz3)j + (4x– 9y2z2)k.
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Disciplina Análise Matemática II
1º
Ano
2º
Semestre
Ano
Lectivo
2004/2005
13. Mostre que o integral curvilíneo é independente do caminho e determine o seu valor.
(3,1)
13.1.
∫
(−1,2 )
(y
2
) (
)
+ 2 xy dx + x + 2 xy dy ;
2
(−1,1,2 )
13.2.
∫ ( yz + 1)dx + (xz + 1)dy + (xy + 1)dz
(4 ,0 ,2 )
14. Seja F(x,y,z) uma força orientada a partir da origem e com módulo directamente proporcional à
distância da origem. Prove que F é uma função conservativa e determine uma função potencial para
F.
15. Aplique o Teorema de Green no cálculo do integral curvilíneo:
15.1.
∫ (x
2
)
∫
y dx + x dy , onde C é o triângulo de vértices (1, 1), (3, 1) e (2, 2);
+ y dx + xy 2 dy , onde C é a curva fechada definida por y = x e y = – x, de (0, 0) a
2
C
(1, –1);
15.2.
C
15.3.
∫ xydx + ( y + x )dy , onde C é a circunferência de centro (0, 0);
C
15.4.
∫ tg
−1
xdx + 3 xdy , onde C é o rectângulo de vértices (1, 0), (0, 1), (2, 3) e (3, 2).
C
16. Determine a área da região limitada pela curva C, de as equações paramétricas dadas por
x = acost, y = asent; 0 ≤ t ≤ 2 π .
17. Determine a área da região limitada pelos gráficos de equações y = x3 , y2 = x .
B
18. Se F(x,y) é um campo vectorial bidimensional e
∫ F .dr
é independente do caminho, numa
A
região D, use o Teorema de Green para provar que
∫ F .dr
C
parcialmente suave em D.
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= 0, para toda a curva fechada simples