Cap. 1. Tensores cartesianos, cálculo tensorial
1. Quantidades físicas
1.1 Tipos das quantidades físicas
1.2 Descrição matemática dos tensores
1.3 Definição dos tensores
2. Álgebra tensorial
3. Tensores cartesianos em 2D simétricos
3.1 Derivação da lei de transformação para vectores
3.2 Lei de transformação para tensores de segunda ordem
3.3 Valores próprios
3.4 Circunferência de Mohr
3.4.1 Convenções e consequências
3.4.2 Determinação dos valores e das direcções principais
3.4.3 Determinação das componentes para uma rotação arbitrária
3.4.4 Determinação do referencial ligado a componentes especificadas
3.5 Verificações dos valores principais
3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3 direcções
4. Tensores cartesianos em 3D simétricos
4.1 Valores e vectores próprios ou valores e direcções principais
4.2 Determinação e propriedades
4.3 Casos particulares
4.4 Valores extremos fora da diagonal
4.5 O tensor de inércia
5. Análise tensorial
1
1. Quantidades físicas
1.1 Tipos das quantidades físicas
Nas aplicações das disciplinas de mecânica é importante determinar o tipo de grandeza de
cada quantidade física introduzida. Esta separação permite saber o número de dados
necessários a uma descrição completa desta quantidade, e as regras de cálculo a que está
sujeita. Todas as quantidades físicas classificam-se em grandezas escalares, vectoriais,
tensoriais de segunda ordem, tensoriais de terceira ordem, etc. Para uniformizar esta
designação, os escalares chamam-se também tensores de ordem zero e os vectores, tensores
de primeira ordem.
Uma grandeza escalar (um escalar) exige para a sua descrição apenas um único dado/número.
Os exemplos das quantidades físicas de grandeza escalar são: massa, densidade, tempo,
trabalho mecânico, energia, etc.
Uma grandeza vectorial (um vector) é plenamente determinada pela sua direcção, sentido e
intensidade, ou seja, pelos três dados, ligados à sua representação geométrica.
Consequentemente, um vector costuma-se representar por uma seta. Os exemplos das
quantidades físicas de grandeza vectorial são: força, binário, deslocamento, ângulo de rotação,
velocidade, velocidade angular, aceleração, aceleração angular, etc. Na matemática, um vector
considera-se como vector livre, ou seja, o seu ponto de aplicação não representa um dado
necessário e assim a sua representação não é única. Na figura abaixo, todas as setas
representam um único vector livre em várias representações geométricas, porque as setas
têm a mesma direcção, sentido e intensidade.
Por exemplo, a um binário pode-se associar um vector livre. No entanto, o significado físico de
alguns vectores exige uma definição mais pormenorizada. Por exemplo, o vector da força
considera-se idêntico, quando o seu efeito a um certo objecto é igual. Assim, classificam-se
além dos vectores livres, vectores deslizantes e vectores fixos (ou aplicados). Uma força nas
disciplinas de estática ou de mecânica dos corpos rígidos, corresponde a um vector deslizante,
ou seja, a um vector cujo dado adicional é a linha de acção (ou a recta de suporte) sobre a qual
o vector pode livremente deslizar. As duas representações na figura abaixo, correspondem ao
mesmo vector deslizante (fixo à sua linha de acção).
2
O vector fixo está ligado ao seu ponto de aplicação, e por isso poderá ter apenas uma única
representação geométrica. Torna-se óbvio que na mecânica dos corpos deformáveis as forças
são vectores fixos, porque o efeito sobre um corpo deformável é diferente quando o ponto de
aplicação é diferente. Na figura abaixo, a linha tracejada corresponde a uma representação
simplificada do possível efeito da força aplicada na forma de deformação.
Outros vectores mencionados, deslocamento, velocidade ou aceleração, representam uma
quantidade física directamente ligada a um certo ponto de um corpo, e podem ser assim
considerados como vectores aplicados (fixos). Mas os vectores associados aos ângulos de
rotação, à velocidade angular ou à aceleração angular, na dinâmica do corpo rígido,
correspondem aos vectores livres.
Os tensores de segunda ordem serão abordados nesta disciplina pela primeira vez e os
exemplos são: a tensão e a deformação. Existem naturalmente tensores de ordem maior que
têm significado físico. Os que serão introduzidos nesta disciplina, são o tensor de rigidez e de
flexibilidade, que são de quarta ordem.
Os tensores de segunda ordem são generalizações de vectores, e para a sua determinação
completa é preciso saber três vectores actuantes em três planos diferentes, não paralelos, que
se intersectam no ponto de aplicação destes três vectores, ou seja nove dados.
Dado que o nosso objectivo é transformar os problemas físicos em conceitos matemáticos
para os podermos resolver, é preciso estabelecer as regras de descrição matemática dos
tensores.
1.2 Descrição matemática dos tensores
A descrição matemática dos tensores baseia-se em componentes. Para poder definir as
componentes é preciso primeiro introduzir o espaço e o referencial. Nesta disciplina vamos
trabalhar apenas no espaço de Euclides, também chamado espaço cartesiano. A palavra
“cartesiano” já está ligada ao referencial introduzido. Vamos distinguir o espaço
unidimensional (1D), que corresponde à recta de números reais, plano cartesiano ou espaço
bidimensional (2D), que corresponde à lista ordenada (enupla) de 2 números reais, e espaço
3
tridimensional (3D), que corresponde à lista ordenada de 3 números reais. É possível estender
esta definição no sentido matemático para a lista ordenada de m números reais, designada
m
.
Uma fórmula simples e válida para definir o número de componentes necessárias para a
descrição completa de tensores é: m n em que m corresponde a “ordem” do espaço e n a
ordem do tensor. Por exemplo: um vector em 3 dimensões, tem 31 =3 componentes, etc.
O já mencionado referencial cartesiano, será o único referencial utilizado nesta disciplina. O
referencial cartesiano é definido pelos eixos coordenados, mutuamente perpendiculares. Cada
eixo poderá ser definido pelo seu vector base unitário. No espaço cartesiano (de Euclides), a
“unidade” tem o mesmo “comprimento” em todas as direcções dos eixos cartesianos. Nas
aplicações convém uniformizar a utilização do referencial. Nesta disciplina será somente
utilizado o referencial directo. O referencial directo é possível verificar pela regra da mão
direita (regra de Fleming). Para esta verificação em 3D, basta rodar os dedos na direcção de x
para y e o polegar indica o sentido positivo do eixo z. Em alternativa, é possível rodar os
dedos de y para z , ou de z para x e o polegar indica o sentido positivo de x ou de y ,
respectivamente. A ordem dos eixos x , y e z nesta verificação tem sempre que
corresponder a uma permutação positiva, que poderá ser obtida pela mudança cíclica de
índices.
Em 2D costumam-se introduzir eixos x e y de tal maneira que o eixo fictício z aponta contra
o observador.
Representações matemáticas e geométricas
As componentes além da descrição matemática, ajudam igualmente na representação
geométrica dos tensores. No caso de uma grandeza escalar, não faz sentido falar sobre
representação geométrica. A descrição matemática exige apenas este único dado, que
corresponde a um número real, ou seja, pertence ao conjunto
. Grandeza escalar não se
altera quando é medida por observadores em referenciais diferentes.
A representação geométrica dos vectores mostra-se na figura abaixo:
4
A representação matemática dos vectores usa as componentes e a sua forma poderá ser
vectorial ou matricial. Na forma vectorial pode-se usar a soma vectorial:
F  Fx  Fy  Fz  Fx i  Fy j  Fz k  Fx e1  Fy e2  Fz e3  Fx ex  Fy e y  Fz ez
ou a forma em componentes:
F   Fx , Fy , Fz 
A descrição matricial usa por definição as componentes na forma de uma coluna
 Fx 
T
F    Fy    Fx , Fy , Fz 
F 
 z
A representação matemática dos tensores de segunda ordem coloca as componentes na
forma matricial, em duas dimensões, por exemplo:
T
T   Txx

yx
Txy   Tx Txy  T11 T12 


Tyy  Tyx Ty  T21 T22 
e analogamente em 3D:
Txx
T   Tyx
Tzx

Txy
Tyy
Tzy
Txz   Tx Txy
 
Tyz   Tyx Ty
Tzz  Tzx Tzy
Txz  T11 T12 T13 

Tyz   T21 T22 T23 
Tz  T31 T32 T33 
A forma utilizada nesta cadeira corresponde à matriz no meio (na segunda posição). As
componentes na diagonal principail chamam-se diagonais e as outras “fora da diagonal”.
Igualmente irá ser utilizado o termo “componente normal” em vez de diagonal, e
“componente tangencial” em vez de “fora da diagonal”. Estas designações já se referem ao
significado físico, mas é possível implementá-las na parte de cálculo tensorial.
A representação geométrica dos tensores de segunda ordem usa a definição mencionada na
Secção 1.1: Cada tensor de segunda ordem é definido pelos 3 vectores referentes a (actuantes
em) 3 planos distintos (não paralelos), que se intersectam no ponto de aplicação destes
vectores, ou seja no ponto em que actua o tensor.
Esta definição em 2D envolve 2 vectores e 2 planos. As componentes colocadas na forma
matricial representam as componentes destes vectores quando os planos referidos
correspondem aos planos coordenados. Assim, em 2D, as componentes Tx , Txy
correspondem às componentes de um vector actuante no plano coordenado cuja normal
corresponde ao eixo x e as componentes Ty , Tyx correspondem às componentes de um
vector actuante no plano coordenado cuja normal corresponde ao eixo y .
5
Torna-se útil introduzir termo faceta e a normal à faceta. A faceta corresponde a uma recta
(“um corte”, uma superfície) e a normal é um vector perpendicular à faceta. Vamos usar a
designação seguinte: a faceta de
 x
será a faceta cuja normal corresponde ao eixo
coordenado x , e analogamente para as outras direcções. Por convenção a normal à faceta é
exterior, o que significa que o lado em que se representa a actuação das componentes chamase exterior e o outro interior. Estes termos serão mais claros nos capítulos seguintes, onde se
vai considerar um corpo e a faceta vai representar um corte neste corpo que o separa. O
“exterior” depois representa o vazio, e o “interior” a parte de corpo após do corte. A cada
corte correspondem duas facetas com normais exteriores opostas. Quando as facetas
correspondem aos planos coordenados e as normais às facetas aos eixos coordenados,
definem-se ainda as facetas positivas e negativas. As normais exteriores às facetas positivas
têm o mesmo sentido como o eixo coordenado. As normais exteriores às facetas negativas
têm o sentido oposto ao eixo coordenado. Mostra-se a visualização em 2D
A representação das componentes nas facetas positivas obedece às regras de visualização de
componentes de vectores. Nas facetas negativas as componentes positivas actuam nos
sentidos opostos dos eixos coordenados. Nota-se que nas componentes com 2 índices, o
primeiro corresponde à normal, o segundo à direcção. A regra de visualização pode-se
simplificar usando os significados físicos conhecidos da cadeira de estática, nomeadamente, as
componentes normais positivas actuam no sentido que induz tracção às facetas, as
componentes normais negativas induzem a compressão. As componentes tangenciais
positivas apontam para quadrantes positivos.
Designam-se por quadrantes positivos os quadrantes em que a multiplicação das coordenadas
dos pontos dá número positivo, ou seja os quadrantes positivos são os quadrantes I. e III. em
que as coordenadas dos pontos são ambas positivas ou ambas negativas.
A visualização em 3D obedece às mesmas regras e será dada no capítulo de tensões.
Dependência da posição
As componentes dos tensores são habitualmente números e assim estão relacionados a uma
dada posição. Quando as componentes dependem da posição, designamos os tensores,
campos tensoriais. Usa-se assim:
Campo escalar
6
Campo vectorial
Campo tensorial.
Em resumo, a diferença entre um tensor e um campo tensorial, é que as componentes do
tensor são números e as componentes do campo tensorial são funções de posição, ou seja,
funções de x, y, z de um dado referencial. Assim, por exemplo, um campo vectorial
F  x, y, z  tem as componentes Fx  x, y, z  , Fy  x, y, z  , Fz  x, y, z  .
1.3 Definição dos tensores
A quantidade física chama-se tensor, quando as suas componentes obedecem à lei de
transformação. Esta lei descreve o cálculo das componentes no referencial após a
transformação.
Tensores cartesianos
Os tensores cartesianos são tensores cujas componentes são definidas no referencial
cartesiano, consequentemente, a lei de transformação é especificada apenas para os
referenciais cartesianos e por isso representa apenas a rotação do referencial.
2. Álgebra tensorial
A álgebra tensorial obedece às mesmas regras como o cálculo matricial. Serão revistas apenas
as propriedades que serão utilizadas nesta cadeira.
Tensores cartesianos de segunda ordem classificam-se em tensores simétricos, anti-simétricos
e assimétricos. As componentes de um tensor simétrico verificam
Tij  Tji
As componentes de um tensor anti-simétrico verificam
Tij  Tji
o que implica que os termos diagonais são nulos, porque apenas o número 0 é igual ao seu
oposto.
As componentes de um tensor assimétrico não verificam nenhuma regra especial, no entanto
é possível separá-lo na sua parte simétrica e anti-simétrica.
T    S    A
O cálculo das componentes efectua-se de acordo com as regras seguintes:
S 
T   T 

T
2
, ou seja Sij 
Tij  T ji
2
7
 A
T   T 

T
2
, ou seja Aij 
Aij  Aji
2
Será de utilidade futura uma outra separação, que devido ao significado físico vamos aplicar
apenas aos tensores simétricos.
 S   V    D
Em que V   Tm  I  designa-se a parte volúmica e  D  a parte desviatórica. A parte volúmica
tem na diagonal principal, valores de média Tm 
Tx  Ty  Tz
3
ou Tm 
Tx  Ty
2
conforme o
tensor seja definido em três ou duas dimensões e fora da diagonal zeros. A parte desviatórica
calcula-se pela diferença
 D   S   V  ,
ou seja, de cada termo na diagonal principal
subtrai-se o valor médio. Consequentemente, o traço do desviador é nulo, como se mostra em
seguida:
Tx 
Tx  Ty  Tz
3
 Ty 
Tx  Ty  Tz
3
 Tz 
Tx  Ty  Tz
3
0
Em duas dimensões isso implica que na diagonal do desviador há números opostos.
3. Tensores cartesianos em 2D simétricos
3.1 Derivação da lei de transformação para vectores
Já foi definido que a transformação de referencial corresponderá a uma rotação. Uma rotação
de referencial em duas dimensões está plenamente determinada por um único ângulo, cujo
sentido positivo considera-se anti-horário. Com a alteração do referencial, alteram-se as
componentes do tensor. Este facto já é conhecido da disciplina de Estática, e poderá ser
facilmente visualizado no caso de um vector.
Veja a animação no slide número 11.
É fácil de deduzir o valor das componentes no referencial rodado:
 Fx   cos 
   
 Fy    sin 
sin    Fx 
   , F    R   F 
cos    Fy 
Designa-se a matriz de rotação
 cos 
 R   sin 

sin  
cos  
A matriz de rotação é uma matriz ortogonal, ou seja:

O determinante equivale a 1
8

Os produtos internos de colunas/ linhas equivalem a 1 no caso de colunas/linhas
iguais, e 0 se forem diferentes

A matriz inversa corresponde à sua transposta, ou seja  R    R 
1
T
Pode-se ainda verificar, que as linhas de matriz de rotação são formadas pelos vectores base
do referencial rodado (com as componentes relacionadas ao referencial original).
Vale a pena destacar que o determinante da matriz de rotação vale 1, quando o referencial
após a rotação é também directo. Esta condição torna-se óbvia em duas dimensões, no
entanto, em três dimensões o valor de determinante pode-se usar para confirmar que o
referencial resultante é directo. No caso de obter valor -1, basta alterar o sentido de um dos
vectores base ao contrário.
3.2 Lei de transformação para tensores de segunda ordem
A matriz de rotação usa-se também para calcular as componentes dos tensores de segunda
ordem no referencial rodado.
T    R  T    R
T
Em duas dimensões é possível apresentar as fórmulas completas
Tx  Tx cos2   Ty sin 2   2Txy sin  cos 
Ty  Tx sin 2   Ty cos2   2Txy sin  cos 

Txy   Tx  Ty  sin  cos   Txy cos2   sin 2 

ou, em alternativa, usando os ângulos duplos
Tx 
Ty 
Tx  Ty
2
Tx  Ty
2
Txy  


Tx  Ty
2
Tx  Ty
2
Tx  Ty
cos  2   Txy sin  2 
cos  2   Txy sin  2 
sin  2   Txy cos  2 
2
A igualdade de fórmulas é fácil de comprovar, mostra-se apenas a primeira:
Tx 

Tx  Ty
2
Tx  Ty
2

 cos
Tx  Ty
2
2
cos  2   Txy sin  2  
Tx  Ty
2
sin
2
  cos 2  
  sin 2    2Txy sin  cos   Tx cos2   Ty sin 2   2Txy sin  cos 
9
3.3 Valores próprios
Verifica-se que existe uma rotação do referencial original (inicial), tal que neste novo
referencial (rodado), as componentes diagonais (normais) correspondem ao máximo e ao
mínimo de todos os possíveis valores diagonais, e a componente fora da diagonal (tangencial)
anula-se. Nesta rotação os valores diagonais designam-se valores principais (próprios) (em
conformidade designados por Tmax e Tmin ) e o referencial correspondente, referencial
principal. Tomando em conta a importância dos valores e direcções principais, usa-se para
este ângulo de rotação designação diferente,  P . O ângulo de rotação  P define dois eixos do
referencial rodado, ou seja, duas direcções principais que são ortogonais. Por isso, as direcções
principais formam os eixos do referencial principal. Em resumo, as componentes do tensor no
referencial principal podem ser escritas da seguinte maneira (forma canónica):
Tmax
 0
T  princ  
0 
Tmin 
Por convecção costuma-se colocar o valor máximo na posição (1,1) ou (x,x) na matriz de
componentes, ou seja não se costuma escrever
Tmin
 0
T  princ  
0 
Tmax 
apesar de não estar errado. Trata-se puramente de uma convenção que também se vai referir
em três dimensões. De acordo com esta convenção, o primeiro eixo do referencial designa-se
por max, ou seja, há uma correspondência de índices e eixos. Repare: componente Tx está na
posição (1,1) da matriz de componentes no referencial cujo primeiro eixo designa-se por x; em
conformidade Tmax está na posição (1,1) da matriz de componentes no referencial cujo
primeiro eixo designa-se por max.
Prova:
1. Usando a nulidade da componente fora da diagonal (tangencial):
Assume-se, que a componente tangencial no referencial rodado usando o ângulo de rotação
 P , equivale a zero:
Txy  
Tx  Ty
2
sin 2 P  Txy cos 2 P  0  tan  2 P  
2Txy
Tx  Ty
Desta condição pode-se calcular o ângulo  P como se mostra acima.
2. Usando a extremidade das componentes diagonais (normais):
Assume-se que existe valor extremo da componente normal no referencial rodado. Para
determinar este extremo é necessário considerar que a componente no referencial rodado é
10
uma função de ângulo de rotação e que as componentes no referencial original (inicial)
representam parâmetros. Para encontrar o ponto estacionário de uma função, é preciso
igualar a zero a primeira derivada em ordem da variável  :
 Tx  Ty Tx  Ty

Tx
 

cos 2  Txy sin 2  /   0  

2
 2

Tx  Ty
2
 2sin 2   Txy 2 cos 2  0 
tan  2   tan  2 P  
2Txy
Tx  Ty
Resolvendo a equação acima, verifica-se que o ângulo obtido é o mesmo como determinado
da propriedade 1.
Analogamente, pode-se comprovar que o extremo na componente Ty ocorre para o mesmo
ângulo de rotação  P .
Voltando às fórmulas das componentes no referencial rodado, designado o valor médio
Tm 
Tx  Ty


x
e usando sin arctan  x  
2
1  x2

introduzir mais um valor conforme:
 2Txy
1 
 Tx  Ty

2

2
 
Tx  Ty

 Tx  Ty 
2
2
R

  Txy 
Tx  Ty
 2 
2
ou seja, introduziu-se
 Tx  Ty 
2
R 
  Txy
2


2
depois
Tx  Tm 
Tx  Ty Tx  Ty
2
2R
 Txy
Tx  Ty
2Txy
2R
Tx  Ty
para poder continuar com os cálculos, é preciso assumir dois casos:
2

1   Tx  Ty 
2


T
Tx  Ty ou seja Tx  Tm   

xy  Tm  R

R  2 


2

1   Tx  Ty 
2


T
Tx  Ty ou seja Tx  Tm   

xy  Tm  R

R  2 


11

, cos arctan  x  
1
1  x2
, pode-se
Analogamente para Ty . Isso significa que apenas tomando em conta as grandezas de valores,
pode-se decidir se a rotação pelo  P rodará o eixo coordenado x para o eixo do máximo ou
do mínimo. Nomeadamente mostrou-se que para Tx  Ty a rotação pelo  P indica o eixo do
máximo e vice-versa. O sinal da subtracção Tx  Ty pode combinar-se directamente com o
sinal da componente tangencial, porque isso influencia o sinal do ângulo  P calculado usando
a fórmula
tan  2 P  
2Txy
Tx  Ty
. A fórmula indica que
2 P   90º ,90º  ou seja
 P   45º , 45º  . Existem assim quatro casos:
1. Tx  Ty  0 , Txy  0   P  0 &  P roda para o eixo do máximo, ou seja, o eixo do
máximo corta quadrantes positivos
2. Tx  Ty  0 , Txy  0   P  0 &  P roda para o eixo do máximo, ou seja, o eixo do
máximo corta quadrantes negativos
3. Tx  Ty  0 , Txy  0   P  0 &  P roda para o eixo do mínimo, ou seja, o eixo do máximo
corta quadrantes positivos
4. Tx  Ty  0 , Txy  0   P  0 &  P roda para o eixo do mínimo, ou seja, o eixo do máximo
corta quadrantes negativos
Pode-se assim concluir, que é fácil determinar directamente os valores extremos usando as
fórmulas deduzidas acima
Tmax  Tm  R , Tmin  Tm  R
Calcular ângulo  P usando a fórmula
tg  2 P  
2Txy
Tx  Ty
e usar uma regra simples desenhada na figura abaixo.
para Txy  0
ou seja, para Txy  0 o eixo do máximo corta os quadrantes positivos e vice-versa. A regra
explicada na figura acima não está de maneira nenhuma afectada pelo sinal do ângulo  P .
12
Em quatro casos definidos em cima não se consideraram igualdades. Quando Tx  Ty ,  P
equivale a 45º e Tm  Tx  Ty , R  Txy e a regra designada na figura acima mantem-se
válida. Quando Txy  0 , as componentes no referencial original já correspondem aos valores
principais, neste caso  P  0º quando Tx  Ty , ou seja, quando o valor máximo já esta
correctamente na posição (1,1) da matriz de componentes, ou  P  90º quando Tx  Ty e
torna-se necessário (por convenção) trocar a posição de máximo e mínimo na matriz de
componentes.
3.4 Circunferência de Mohr
Considera-se um referencial original 0xy e as componentes de um tensor neste referencial.
Considera-se como variável ângulo de rotação  . Começa-se por simplificação da expressão
seguinte (usando as fórmulas de rotação com os ângulos duplos):
Tx  Tm 
 Tx  Ty
  Tx  Ty

T  
cos 2  Txy sin 2    
sin 2  Txy cos 2 
2
 2
 

2
2
2
2
xy
Tx  Ty
2
 Tx  Ty


cos 2   Txy sin 2   2
cos 2 Txy sin 2
2
 2

2
Tx  Ty
2
 Tx  Ty


sin 2   Txy cos 2   2
cos 2 Txy sin 2
2
2


2
 Tx  Ty 
2
2

  Txy  R
2


2
analogamente
T   T 
y
m
2
 Txy2  R 2
Nota-se que nas equações acima o ângulo de rotação  foi eliminado e que as equações
correspondem à equação de uma circunferência de centro Tm , 0 e raio R , chamada a
circunferência de Mohr. Pode-se assim concluir que as componentes de um tensor de
segunda ordem simétrico em duas dimensões, relacionadas a todas as possíveis rotações do
referencial original, formam uma circunferência. Cada ponto da circunferência corresponde à
componente normal e tangencial actuantes na mesma faceta.
De acordo com as equações deduzidas, as componentes normais Tx mas também Ty
desenham-se no eixo horizontal, que se pode chamar o eixo das componentes normais. Este
eixo envolve o diâmetro principal da circunferência e é formado pelo eixo dos números reais
com o sentido habitual. As componentes tangenciais representam-se no eixo vertical. Visto
que a componente tangencial Txy corresponde à componente tangencial na faceta de (x) ou
seja, está relacionada com a componente normal Tx , mas também corresponde à
13
componente tangencial na faceta de (y) ou seja, está relacionada com a componente normal
Ty , é necessário estabelecer as regras para a representação dos pontos.
Os valores principais visualizam-se no diâmetro principal,
dado que neste caso a componente fora da diagonal
(tangencial) é nula, e as componentes normais atingem o
máximo e o mínimo; este facto não está influenciado pelo
referencial original.
Tmin
R
Tmax
Tm
3.4.1 Convenções e consequências
Caso particular
Assume-se que o referencial original (inicial) corresponde ao referencial principal, ou seja
Tmax
 0
T  princ  
0 
Tmin 
Considera-se uma rotação deste referencial pelo ângulo  . Admitindo que Tm 
R
Tmax  Tmin
,
2
Tmax  Tmin
, as componentes no referencial rodado são
2
Tx  Tm  R cos  2 
Ty  Tm  R cos  2 
Txy   R sin  2 
ou seja, a componente tangencial é negativa
Nota-se que a rotação na circunferência de Mohr efectua-se pelo dobro do ângulo que foi
aplicado à rotação dos eixos coordenados.
14
Para manter a rotação do referencial no mesmo sentido, como a rotação dos pontos na
circunferência, tem que se adoptar a convenção seguinte: o ponto na faceta que corresponde
ao primeiro eixo coordenado representa-se com a componente tangencial oposta. Para
evitar a confusão dos sinais, os pontos na circunferência representam-se com a designação da
faceta, assim  x  corresponde ao ponto formado pelas componentes na faceta de  x  , ou
seja, a componente normal (coordenada horizontal do ponto na circunferência) corresponde a
Tx , e a componente tangencial (coordenada vertical do ponto na circunferência) corresponde
a Txy . Analogamente para o ponto
 y  . Relativamente à visualização dos pontos acima ou
abaixo do diâmetro principal, aplica-se a convenção seguinte
 Tx
T
 xy
Txy  x  
Ty  y  
Devido à simetria para melhor visualização
ou seja, para a componente tangencial positiva Txy > 0 , ponto  x  desenha-se abaixo e o
ponto  y  acima do diâmetro principal e vice-versa.
Ainda é possível encontrar na circunferência uma recta paralela com o eixo rodado. Para isso
usa-se a propriedade da circunferência conhecida do ensino secundário, que vamos chamar a
regra dos ângulos da circunferência. Para o mesmo segmento da circunferência o ângulo com
vértice no centro (ângulo central) é o dobro do qualquer um que tenha vértice na
circunferência (ângulo inscrito). Veja a figura abaixo e os eixos paralelos na figura anterior.
Visto que as rotações na circunferência efectuam-se pelo dobro dos ângulos, os pontos  x  e
 y
tem que estar sempre no lado oposto de um diâmetro, ou seja, a rotação entre os eixos
do referencial que é de 90º , corresponde à rotação na circunferência de 180º . Também se
pode concluir que o sentido dos eixos é indiferente, visto que para virar o sentido de um eixo é
preciso uma rotação de 180º que corresponde à volta completa na circunferência, ou seja, a
360º .
Nota: A convenção de visualização não é única, existem autores que preferem a conversão
oposta, o que implica que depois os pontos na circunferência rodam no sentido oposto dos
eixos do referencial.
15
Representam-se de seguida alguns casos concretos. Na construção, primeiro introduzem-se os
eixos horizontal e vertical com uma escala conveniente e usando a convecção, marcam-se os
dois pontos  x  e  y  . A recta que liga  x  e  y  intersecta o eixo horizontal no centro da
circunferência, o que finalmente permite completar a circunferência.
T 0 xy  6
2
6
4
2
6
4

T 0 xy  6

 4 6 
2

T 0 xy   6
16
 4 6
2 

T 0 xy  6
Existe outra regra de visualização de pontos na circunferência de Mohr que tem a vantagem de
não precisar de um referencial, porque o sentido das componentes tangenciais determina a
posição dos pontos na circunferência de Mohr indiferentemente do referencial. A regra é:
quando a componente tangencial numa dada faceta roda no sentido horário - negativo (antihorário - positivo), o ponto correspondente na circunferência de Mohr está posicionado
acima (abaixo) do diâmetro principal.
Esta regra pode-se justificar de maneira seguinte:
Na figura acima representa-se actuação real da componente tangencial para um dado caso,
por isso, o sentido das setas é igual nos quatro esboços. No entanto, o referencial é da nossa
escolha. Mostram-se os quatro possíveis referenciais para este caso. Com a escolha de
referencial muda o sinal da componente tangencial, no entanto, aplicando a regra utilizada nas
construções anteriores, verifica-se que os pontos correspondentes às componentes nas
facetas designadas com um ponto vermelho estão sempre acima do diâmetro, e os designados
com o ponto verde, abaixo, como era de esperar. No entanto, verifica-se que nas facetas
designadas com o ponto vermelho a componente tangencial roda no sentido horário (ou seja
negativo) e nas com o ponto verde, no sentido anti-horário (ou seja positivo), o que finaliza a
justificação.
17
O termo mais correcto a utilizar é o Círculo de Mohr. Isso porque a representação dos pontos
é possível fazer para tensores em 3D e os pontos que representam as componentes nas
facetas preenchem espaço entre círculos nos três planos principais. Esta construção não faz
parte da matéria desta cadeira. Como no caso de 2D os pontos na realidade formam apenas
uma circunferência, é possível usar o termo Circunferência de Mohr.
A circunferência de Mohr tem diversas aplicações, na determinação dos valores e direcções
principais, na determinação dos valores para uma rotação arbitrária, na determinação do
referencial ligado a componentes especificadas de diversas maneiras, etc.
3.4.2 Determinação dos valores e das direcções principais
Admite-se por exemplo referencial original em que as componentes do tensor são positivas e
 Tx
Tx  Ty  0 , Txy  0 ; T 0 xy  
Txy
Txy 
Ty 
A circunferência de Mohr mostra-se na figura seguinte. Como explicado anteriormente,
desenha-se a circunferência, ou seja, introduzem-se os eixos horizontal e vertical com uma
escala conveniente e marcam-se os dois pontos  x  e  y  .
Junta-se a recta que liga  x  e
 y  . Esta recta intersecta o eixo horizontal no valor Tm , ou
seja no centro da circunferência, o que permite completar a circunferência. Em seguida as
intersecções com o diâmetro principal definem os valores principais, Tmax e Tmin .
18
Confirmam-se assim as fórmulas já deduzidas: Tmax  Tm  R , Tmin  Tm  R . Para obter o
referencial principal, verifica-se que é preciso rodar o eixo original x pelo ângulo 2 p na
circunferência.
Retirando o triângulo correspondente,
confirmam-se as outras fórmulas já deduzidas:
 Tx  Ty 
2
e R 
tg  2 P  
  Txy
Tx  Ty
 2 
2Txy
2
Finalmente, para se obter paralelas com os eixos principais no esboço
dos eixos originais, usa-se a propriedade dos ângulos da
circunferência explicada anteriormente. A recta vermelha é paralela
ao eixo do máximo e a azul ao eixo do mínimo.
Complementa com a animação no slide 23.
19
Pode-se assim concluir que existe um ponto na circunferência que corresponde à origem do
referencial e pode-se assim em conformidade designar 0. O esboço do referencial pode ser
“colado” directamente à circunferência, o que permitirá uma ligação directa entre as
componentes na faceta de
 x
com o eixo x (ligação 0  x  é paralela ao eixo x , ligação
0  y  é paralela ao eixo y , ligação 0  max  é paralela ao eixo max , etc.). Este ponto é
também chamado o Pólo irradiante das direcções (das normais às facetas) ao contrário do
Pólo irradiante das facetas P, que está no lado oposto da circunferência, numa recta que
passa pelo centro da circunferência.
Em resumo, cada ponto da circunferência de Mohr representa de maneira inequívoca
componentes intrínsecas numa faceta. A inclinação da faceta e da normal à faceta podem
ser determinadas usando um dos pólos irradiantes. A posição dos pólos depende do
referencial original/inicial (que até podia ser o principal) em que foram definidas as
componentes do tensor utilizado para a construção inicial da circunferência. A componente
normal corresponde à abcissa do ponto. Quando este valor é positivo a actuação da
componente corresponde à tracção, e quando negativo à compressão. A componente
tangencial corresponde à ordenada do ponto. Esta ordenada determina-se no valor absoluto
e a actuação real define-se usando a regra acima, ou seja, se o ponto for posicionado acima
do diâmetro, a componente tangencial roda no sentido negativo, e se for abaixo do
diâmetro, a componente tangencial roda no sentido positivo.
Complementando o pólo irradiante das facetas, pode-se verificar que os pontos  x  , 0 ,  y  ,
P formam um rectângulo. Este rectângulo tem lados paralelos com o rectângulo elementar
no referencial 0xy .
Os pólos irradiantes podem coincidir com os pontos  x  e  y  usados para a construção da
circunferência, neste caso:
 x   0 , ou seja  y   P , implica  x  y  / / y
20
 y   0 , ou seja  x   P , implica  x  y  / / x
3.4.3 Determinação dos valores para uma rotação arbitrária
Veja a animação no slide 26.
Admite-se novamente referencial original em que as componentes do tensor são positivas e
 Tx
Tx  Ty  0 , Txy  0 ; T 0 xy  
Txy
Txy 
Ty 
 Tx Txy 
, definido
Ty 
Pretende se determinar componentes no referencial rodado, T 0 xy  
Txy
pelo ângulo de rotação  .
Em primeiro lugar desenha-se a circunferência de Mohr usando as componentes no referencial
original e determina-se o ponto correspondente à origem do referencial.
O eixo rodado x pode-se desenhar no esboço dos eixos e também directamente na
circunferência. A intersecção com a circunferência define as componentes na faceta de  x 
ou seja o ponto
 x  .
Verifica-se que o ângulo de rotação (com o vértice no centro da
circunferência) entre os pontos
 x  e  x 
equivale a 2 . O ponto
 y 
tem que ser
posicionado no lado oposto do diâmetro. Na figura seguinte mostra-se a utilização da regra
dos ângulos para definir a recta paralela com o eixo x .
21
Como último passo, determinam-se as componentes no referencial rodados identificando as
coordenadas dos pontos
 x 
e
 y  .
As coordenadas horizontais dos pontos definem as
componentes normais Tx e Ty . O valor tem que ser “medido” começando do zero e será
assim determinado inclusive o sinal. A coordenada vertical corresponderá a Txy . O valor tem
que ser “medido” a partir do diâmetro principal no valor absoluto. O sinal determina-se
usando a regra de visualização dos pontos, no caso representado na figura Txy  0 .
Nota: Esta construção será somente utilizada para confirmação dos valores calculados, ou para
estimativa de valores.
3.4.4 Determinação do referencial ligado a componentes especificadas
Admite-se novamente o referencial original em que as componentes do tensor são positivas e
 Tx
Tx  Ty  0 , Txy  0 ; T 0 xy  
Txy
Txy 
Ty 
22
Pretende-se, por exemplo, determinar o referencial em que a componente tangencial é
positiva e correspondem à metade da componentes tangencial no referencial original.
Primeiro traçam-se duas rectas que dividem o valor Txy em metade. Visto que no referencial
novo o valor tangencial devem ser positivo, existem duas soluções relacionadas aos pontos
 x  e  x abaixo do diâmetro principal.
Em seguida encontram-se pontos  y   e  y   no lado oposto dos diâmetros. Finalmente os
eixos coordenados definem-se usando a origem na circunferência. Ao traçar os eixos no
esboço dos eixos originais, é preciso ter o cuidado de definir referenciais direitos.
23
Veja a animação no slide 27.
3.4.5 Rotações de 45º a partir do referencial principal
Verifica-se que existem mais dois pontos da
circunferência que têm uma posição especial.
Na figura acima são designados  x  e  x  . Nota-se que estes pontos são os mais afastados
na direcção vertical, e por isso fornecem máximos ao valor tangencial. Deduz-se facilmente da
circunferência que este valor máximo corresponde ao raio da circunferência Txy ,max  R e que
pode ser positivo ou negativo. No entanto, em ambos os casos o valor diagonal equivale a Tm .
As regras de visualização dos pontos definem o sinal da componente tangencial de acordo com
o referencial escolhido. Note-se que estes referenciais estão desviados a 45º do referencial
principal.
Pode se verificar que no caso da componente tangencial
positiva (referencial 0xy  ), o eixo do máximo corta os
quadrantes positivos, e no caso da componente negativa
(referencial 0xy  ), o eixo do mínimo corta os quadrantes
positivos, como era de esperar. A representação da actuação
24
real das componentes tangenciais cujo valor equivale a R não
depende do referencial e nota-se que as setas apontam para o
eixo do máximo.
3.5 Verificações dos valores principais
Para a verificação dos valores principais utilizam-se os invariantes. Os invariantes são números
escalares cujo cálculo efectua-se usando as componentes num dado referencial. A propriedade
“invariante” indica que este número é igual em todos os referenciais. Em duas dimensões
existem dois invariantes fundamentais. Todos os outros são depois definidos usando os
fundamentais.
1º invariante fundamental: traço, ou seja I1  Tx  Ty
2º invariante fundamental: determinante, ou seja I 2  TxTy  Txy2
Outros invariantes: Tm 
R
1 2
1
I1  4 I 2 
2
2
I1
,
2
T
x
 Ty   4 TxTy  Txy2 
2
1
1

Tx2  Ty2  2TxTy  4Txy2 
2
2

T
x

 Ty 
1
Tx2  Ty2  2TxTy  4TxTy  4Txy2
2
 Tx  Ty 
2
 4T  
  Txy
 2 
2
2
2
xy
Tmax , Tmin
A verificação de cálculo dos valores principais faz-se da seguinte forma:
I1  Tx  Ty  Tmax  Tmin
I 2  TxTy  Txy2  TmaxTmin
3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3
direcções
Cada tensor de segunda ordem em duas dimensões simétrico tem 3 componentes distintas, e
por isso cada 3 valores mesmo de referenciais diferentes permitem sempre determinar as
componentes num único referencial.
O caso abaixo tem uma aplicação útil nas medições de deformações, e além disso permite uma
resolução gráfica simples
25
Assume-se que são conhecidos os valores normais nas três direcções diferentes e pretendemse calcular as componentes que pertencem a um único referencial, e em seguida por exemplo
valores principais. Neste caso, não é vantajoso escolher o eixo x horizontal. Uma vantagem no
cálculo apresenta escolha do eixo x com uma das direcções definidas. Na realidade, podem-se
introduzir 3 referenciais, 0xy , 0xy  e 0xy  . Em cada um destes referenciais é conhecido o
valor na direcção do eixo correspondente, ou seja, o primeiro valor normal, assim:
T
T 0 xy   ?a

?
Tb ?
Tc
, T 0 xy  
e T 0 xy  


?
 ? ?
?
?
?
Um destes referenciais pode ser escolhido como referencial base, por exemplo 0xy . Depois:
Ta  Tx
e falta encontrar as restantes componentes Ty e Txy . Para isso utilizam-se os restantes dados
do problema, ou seja, o valor Tb que corresponde a Tx podia ser obtido pela rotação do
referencial 0xy pelo ângulo  no sentido positivo:
Tx  Tb  Ta cos2    Ty sin 2    2Txy sin   cos  
A segunda equação cria-se de forma análoga.
Tx  Tc  Ta cos2      Ty sin 2      2Txy sin     cos    
Acima estão duas equações para duas incógnitas Ty e Txy , que é possível resolver e completar
assim as componentes no referencial 0xy . Em seguida, pode-se proceder ao cálculo dos
valores principais, que sendo invariantes, não serão afectadas pela escolha efectuada acima.
A resolução gráfica mostra-se na animação no slide 31. A resolução gráfica será utilizada
apenas para confirmação dos valores calculados ou para estimativas.
Em primeiro lugar traçam-se as três rectas verticais na escala de valores numéricos, porque os
3 valores dados representam componentes normais em referenciais diferentes. Sabe-se que a
componente normal corresponde à componente horizontal dos pontos da circunferência de
Mohr e por isso os pontos que representam as componentes nas facetas de  x  ,  x  e  x 
serão posicionados algures nestas rectas verticais.
26
De seguida, escolha-se um ponto auxiliar arbitrário em
qualquer das rectas. Muitas vezes é vantajoso escolher
este ponto na recta no meio, mas não é regra.
Pelo ponto arbitrário é necessário passar rectas
desviadas pelos ângulos relativos entre as direcções
definidas, e estas rectas inclinadas têm que se
prolongar até intersectar as rectas verticais
correspondentes. Nomeadamente para encontrar
ponto de intersecção na recta  c  tem que se fazer
pelo ponto arbitrário uma recta desviada pelo ângulo
relativo entre as direcções
a
e
c  .
Este ângulo
começa-se a medir a partir da recta vertical no mesmo
sentido como na realidade. Analogamente para a outra
intersecção.
A construção das rectas inclinadas, podia ser facilitada pelo esboço auxiliar em que a recta com
o ponto auxiliar está na posição vertical. Neste caso, as rectas inclinadas podem fazer-se
paralelamente com as direcções correspondentes neste esboço, ou seja o ponto auxiliar
(arbitrário) directamente coincide com o pólo das direcções (normais) relacionado com o
desenho auxiliar.
27
As intersecções assim definidas,  b  e  c  , correspondem
já às componentes nas facetas correspondentes  b    x 
e  c    x  . Estes 2 pontos, mais o ponto auxiliar, fazem
parte da circunferência de Mohr. Neste momento pode
aplicar-se a construção da circunferência de 3 pontos. Sabese que 3 pontos formam 3 segmentos e as mediatrizes
destes segmentos intersectam-se no centro da
circunferência.
A construção por isso continua pela utilização de 2 segmentos, já formados pelas rectas
inclinadas, traçando mediatrizes e encontrando o centro da circunferência pelo qual se pode
traçar o diâmetro principal.
Depois de completar a circunferência é necessário passar o ponto auxiliar na sua recta vertical
para o outro lado da circunferência. Este ponto depois corresponderá às componentes na
faceta de  a    x  . É possível ainda representar os valores principais.
28
A prova desta construção consiste na verificação que na circunferência construída os ângulos
entre os raios correspondem ao dobro do ângulo que rodam os eixos, ou seja, que os ângulos
correspondem aos valores representados na figura acima. A figura mais pequena no lado
esquerdo, mostra a verificação referente ao ângulo  , outras verificações fazem-se de forma
semelhante.
Na figura acima, mostra-se ainda a construção do pólo irradiante das normais (ponto
correspondente à origem). Verifica-se que o esboço dos eixos na sua posição original podia ser
29
directamente colado neste ponto, cada eixo (vermelho, verde e azul) é formado na
circunferência pela recta da mesma cor (não tracejada) que liga o pólo das normais (direcções)
0 com o ponto que representa as componentes na faceta (a), (b) e (c), respectivamente.
Na figura acima mostra-se a justificação da construção mais uma vez. Representam-se três
triângulos com lados amarelos, cada um composto pelos dois raios e um segmento da
circunferência. Começando do ponto auxiliar, nota-se que a recta verde foi traçada usando o
ângulo relativo  entre as direcções [a] e [b] com o intuito de encontrar pontos da
circunferência (a) e (b) cujos raios C  a  e C  b  rodam na circunferência pelo ângulo 2 no
mesmo sentido, tal como dita a definição da circunferência de Mohr e a regra dos ângulos.
Igualmente, nota-se que a recta azul foi traçada usando ângulo relativo 180º      entre
as direcções [a] e [c] com o intuito de encontrar pontos da circunferência (a) e (c) cujos raios
C  a  e C  c  rodam na circunferência pelo ângulo 360º 2     , tal como dita a
definição da circunferência de Mohr e a regra dos ângulos. Finalmente, nota-se que o ângulo
de rotação dos raios C  b  e C  c  , 2  , verifica a regra dos ângulos.
Problema
Sabendo que as componentes normais nas direcções definidas pelos eixos que fazem 20º ,
80º e 120º com o eixo horizontal, são -29, 31 e -5, calcule os valores e as direcções principais
e verifique a solução graficamente. Marque na circunferência de Mohr o ponto
correspondente à origem e as direcções principais.
30
Resolução:
 29 ?

 ? ?
Arbitrando como o referencial base 0xy : T 0 xy  
Tx  31  29cos 2  60º   Ty sin 2  60º   2Txy sin  60º  cos  60º 
Tx  5  29cos 2 100º   Ty sin 2 100º   2Txy sin 100º  cos 100º 
 29
T 0 xy  36,66

x
x
Resolvendo
36,66
8,67 
120º
80º
x
20º
29  8, 67
 29  8,67 
Tm 
 10,16 , R  
 36,66 2  41, 21

2
2


x
2
max
x
Tmax  10,16  41, 21  31, 05 , Tmin  10,16  41, 21  51,38
1
2  36, 66
 p  arctan
 31, 4º (corresponde ao mínimo)
2
29  8, 67
120º
80º
x
20º 31, 4º
min
40º
100º
31
Em seguida verifica-se que a solução dos valores e direcções principais não foi afectada pela
escolha do referencial base e que a solução gráfica não está afectada pela escolha do ponto
auxiliar.
31 ? 

 ? ?
Arbitrando como o referencial base 0xy  : T 0 xy  
Tx  29  31cos 2  60º   Ty sin 2  60º   2Txy sin  60º  cos  60º 
x
x
Tx  5  31cos2  40º   Ty sin 2  40º   2Txy sin  40º  cos  40º 
120º
80º
x
Resolvendo
T 0 xy
20º
2,02 
 31


2,02 51,33
x
Os valores seguintes têm que ser iguais como na resolução anterior
x
 31   51,33  
31  51,33
2
 10,16 , R  
   2,02   41, 21
2
2


1, 4º
2
Tm 
max
120º
x
80º
20º
Tmax  10,16  41, 21  31, 05 , Tmin  10,16  41, 21  51,38
2   2, 02 
1
 p  arctan
 1, 4º (corresponde ao máximo)
2
31   51,33
min
5 ?

 ? ?
Finalmente, arbitrando como o referencial base 0xy  : T 0 xy  
Tx  29  5cos2  100º   Tysin 2  100º   2Txy sin  100º  cos  100º 
Tx  31  5cos 2  40º   Tysin 2  40º   2Txy sin  40º  cos  40º 
 5
T 0 xy  40,89

x
x
Resolvendo
40,89
15,33
120º
Os valores seguintes têm que ser iguais como na resolução anterior
 5   15,33  
5  15,33
2
Tm 
 10,16 , R  
   40,89   41, 21
2
2


2
Tmax  10,16  41, 21  31, 05 , Tmin  10,16  41, 21  51,38
32
80º
x
20º
1
2
 p  arctan
2   40,89 
5   15,33
 41, 4º (corresponde ao máximo)
x
max
x
41, 4º
120º
80º
x
20º
min
40º
60º
º  aux 
33
60º
100º
º
 aux 
Verde: rectas verticais traçadas no início da resolução e a ligação  x 
 y
Vermelho: rectas que passam pelo ponto auxiliar, desviadas pelos ângulos relativos entre as
direcções
Azul: circunferência, diâmetro principal, paralelas com os eixos x e y
Azul claro: mediatrizes dos segmentos para determinação do centro da circunferência
34