Óptica 2012
Programa
- Propagação da Luz
- O caráter vetorial da luz e a polarização
- Vetor de Poyting
- Polarização linear, circular, elíptica e a esfera de
Poincaré
- Matrizes de Jones
- Reflexão e refração em interface plana
- Amplitudes das ondas refletidas e refratadas e equações
de Fresnel
- O ângulo de Brewster
- Ondas evanescentes em reflexão total
- Mudanças de fase na reflexão interna total
- Matriz de reflexão
- Birrefringência
- Equações de Maxwell para campos macroscópicos e a
equação de onda
- Propagação da luz em meios dielétricos isotrópicos e
dispersão
- Propagação da luz em cristais e birrefringência
- Dupla refração e atividade óptica
- Efeito Kerr, efeito Pockels e óptica não-linear
- A teoria clássica de coerência
- Princípio da superposição
- Experiência de Young
- Interferômetro de Michelson
- Coerência parcial
- Tempo de coerência e comprimento de coerência
- Coerência espacial e o teorema de van Cittert-Zernike
- Interferômetro de Brown and Twiss
- Interferômetro de Faby-Perot
- Difração e a Transformada de Fourier Fracional (FRFT)
- Teorema de Kirchhoff, Fórmula de FresnelKirchhoff e pricípio de Babinet
- Difração de Fresnel e difração de Kirchhoff
- Exemplos de difração de Kirchhoff: fenda simples,
abertura retangular, abertura circular, fenda
dupla e rede de difração
- Exemplos de difração de Fresnel: zonas de
Fresnel, abertura retangular e difração por uma
borda
- Aplicações da transformada de Fourier e
holografia(se houver tempo)
- A transformada de Fourier Fracional(teoria e
implementação)
- Óptica de raios com matrizes
- Teoria clássica do laser
- Emissão estimulada e radiação térmica
- Amplificação em um meio
- Métodos para obter inversão de população
- Oscilação laser
- Cavidades ópticas
- Lasers de gás, estado sólido e dye(líquido)
- Q-switching e mode-locking
- Seminários convidados
Calendário de aulas – Curso de Óptica 2012
Aula
Livre
AGOSTO
DOM
SEG
TER
QUA
QUI
SEX
SAB
1
2
3
4
5
6
7
8
9 Incio do
Curso
10
11
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Calendário de aulas – Curso de Óptica 2012
Aula
Livre
SETEMBRO
DOM
SEG
TER
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SAB
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2
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Calendário de aulas – Curso de Óptica 2012
Aula
Livre
OUTUBRO
DOM
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Calendário de aulas – Curso de Óptica 2012
Aula
Livre
NOVEMBRO
DOM
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TER
QUA
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Calendário de aulas – Curso de Óptica 2012
Aula
Livre
DEZEMBRO
DOM
SEG
TER
QUA
QUI
SEX
SAB
1
2
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5
6
7
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9
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11
12
13 Fim
do curso
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Óptica 2012
A propagação da luz
Comentários introdutórios:
-
Comportamento corpuscular – Isaac Newton – Optiks
Comportamento ondulatório – Huygens – Difração
Teoria Eletromagnética Clássica – J. C. Maxwell
Teoria Quântica – Planck, Eistein e Bohr
Velocidade da luz
Equações de Maxwell
  E   0
H
t
.E  0
  H   0
.H  0
E
t
Óptica 2012
0  4 107 H / m 
Permeabilidade do vácuo
0  8,854 1012 F / m 
Permissividade do vácuo
Equação de onda:
    E     0
H

     E   0
H
t
t


E
  H   0

t
t
t
2 E
    E   0 0
t 2
2 H
    H   0 0
t 2
Óptica 2012
Identidade trigonométrica:
        .   2
1 2E
 E 2
c t 2
1 2H
 H 2
c t 2
2
Com:
c
1
0 0
Equação de onda
descreve vários
Fenômenos físicos:
2
E usando:
.E  0
1 2
  2
c t 2
2
.H  0
Óptica 2012
Velocidade da luz
 c  299.792.456,2  1,1 m / s  3  108 m / s
Medidas da velocidade da luz
Óptica 2012
Medidas da velocidade da luz
Óptica 2012
Propagação da luz em meios isotrópicos e não condutores
2 E
    E   
t 2
Com
2H
    H   
t 2
,   permeabilidade e permissividade no meio
Índice de refração:
v
1


n
c
v
Velocidade da luz no meio
Óptica 2012
Propagação da luz em meios isotrópicos e não condutores
K

0
Km 
v c

0
1
KK m
Km  1
meios não magnéticos
n K
Óptica 2012
Velocidade de fase
Equação de onda 1D:
1 2 E
 E 2
c t 2
2
Solução:
com

2E 1 2E
 2
2
z
v t 2
U  z, t   U0 cos  kz  t  
v

k
Onda plana
 Velocidade de fase
U
U  z, t  U  z, t  t 
z
z
z  v t
Óptica 2012
Representações
U  z, t   U0 cos  kz  t 
U  r, t   U0 cos  k n.r  vt 
Função de onda complexa
U  r, t   U0 e

i k.r  t


Parte real
Onda esférica
U r, t  
U0
cos  kr  t 
r
U r, t  
U0 i k.r  t 
e
r
Óptica 2012
Velocidade de grupo
U  z, t   U0 e 
i  k+k  z    t 
i kz  t 
 U0 e 
i  k-k  z    t 
U  z, t   U0 e 
ei  z k  t    ei zk  t   


U  z, t   U0 e 
cos  z k  t  
i kz  t 
vg 


 vg 
k
k
Óptica 2012
Velocidade de grupo
n
c
v
  kv  k
c
d d  c  c ck dn
 vg 
 k    2
n
dk d  n  n n dk
Para meios com índice de refração constante vg  v
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
Impedância do vácuo
Equações de onda e solução de onda plana:
1 2U
 U 2 2
v t
2
Onda plana
U  r, t   U0 e
Derivada temporal

i k.r  t

 i k.r  t 
i k.r  t 
e
  i e
t
Derivada espacial
 i k.r  t 
i k.r  t 
e
 ik x e
x

  i
t
 e

i k.r  t
  ik

 ik e

i k.r  t

Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Impedância do vácuo
Equações de onda e solução de onda plana:
E 
H
t
k E H
E
t
.E  0
.H  0
k  H    E
k.E  0
k.H  0
  H 
H

k
E  v E
usando v   / k
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Impedância do vácuo
Equações de onda e solução de onda plana:
H

k
v  

H
n
E
Z0
Z0 
0

0
E  v E
c
1


n
n 0 0
n

0 0
0

n
0
0

n
Z0
Impedância do vácuo
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Vetor de Poynting
Teorema de Poynting: Taxa de fluxo de energia
S E H
Vetor de Poynting para ondas planas

E  E0 cos k.r  t


H  H0 cos k.r  t

S  E0  H0 cos2 k.r  t

Valor médio:
1
k
S  E0  H0  I  I n
ˆ
2
k
Irradiância:
I
1
n
2
E0H0 
E0
2
2Z0

S
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Polarização linear
Ondas planas

E  E0 exp i k.r  t


H  H0 exp i k.r  t
E0 e H0 constantes ereais 
Polarização  Campo elétrico

Polarização linear
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Polarização linear
Polarizadores
Polarizadores por birrefringência
Divisor de feixes
H
V
H
V
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Polarização linear
Polarizadores
Polarizadores por absorção ou dicroísmo
H
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Polarização linear
Polarizadores
Campo e intensidade transmitida
Et  E0 cos 
It  I0 cos2 
Luz não polarizada  It  constante
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
P
Ipol
Ipol  Iunpol

-
Polarização parcial
Grau de polarização
Intensidade
P
Imax  Imin
Imax  Imin
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Polarização por espalhamento
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Polarização circular
Representação real
Ex  E0 cos(kz  t )
Ey  E0 sin(kz  t )
E  E0 cos(kz  t )ˆ
i  sin(kz  t ) ˆ
j 
Representação complexa
 

E  E0 exp i(kz  t ) ˆ
i  exp i(kz  t  ) ˆ
j
2 



E  E0  ˆ
i i ˆ
j exp i(kz  t ) 


Direita(-i)
Esquerda(+i)
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Polarização elíptica
Representação real
Ex  Ex0 cos(kz  t )
Ey  Ey0 sin(kz  t )
Ex0  Ey0
E  Ex0 cos(kz  t ) ˆ
i  Ey0 sin(kz  t ) ˆ
j
Representação complexa
E0  ˆ
iE x0  i ˆ
jE y0
E  E0 exp i(kz  t )
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
Placa de l/4
Placas de onda
Placa de atraso   odem zero
Luz incidente
não polarizada
  n1d  n2d
Polarizador linear
Placa de l/4 – = l/4
Eixo de transmissão a 450
Luz polarizada
linearmente
Placa de l/4
Eixo
rápido – n2
E
-
Eixo
lento – n1
Luz polarizada
circular à esquerda
d
l0
4  n1  n2 
Placa de l/2 – = l/2
d
l0
2  n1  n2 
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Matrizes de Jones
Representação geral
Alguns estados de polarização
A -> amplitude do campo
E0  ˆ
iEx0  i ˆ
jEy0 com Ex0 , Ey0
complexos
Ex0  Ex0 eix , Ey0 e
iy
Vetor de Jones
i
E x0   E x0 e x 



iy
Ey0   Ey0 e 
1
A    Circular esquerda
i 
1 
A    Linear na direção x
0
0
A    Linear na direção y
1 
1
A    Linear na direção +450
1
1 
A    Circular direita
 i 
1
A    Linear na direção +450
1
Não normalizadas
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Matrizes de Jones
As matrizes representam dispositivos ópticos
Eixo de transmissão horizontal-x
Polarizador
linear
Eixo de transmissão vertical-y
Eixo de transmissão a +/-450
Eixo rápido horizontal-x
Placa l/4
Eixo rápido vertical-y
Eixo rápido a +/-450
1 0 
0 0 


0 0 
0 1 


1 1  1 
2  1 1
1
0

1
0

1 1
2   i
0
i 
0
 i 
i
1
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Matrizes de Jones
As matrizes representam dispositivos ópticos
Placa l/2
Eixo rápido na horizontal ou
vertical
Placa de fase
isotrópica de fase()
Placa de fase
geral
e ix 0 

iy 
0 e 
1 0 
0  1


ei 0 

i 
0
e


Direita
1 1 i 
2  i 1
Esquerda
1 1
2 i
Polarizador circular
 i
1 
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Matrizes de Jones
Algumas operações
Superposição coerente de campos com polarizações diferentes
1  1 1  1  2 
1 
  i    i     i  i   0   2  0 
    
  
 
Superposição de circular a
direita e circular a esquerda
Propagação através de um dispositivo óptico
a
c

b
d 
 A  A '
B   B ' 
   
Propagação através de vários dispositivos ópticos
 an

cn
bn   a2
 ... 
dn  c2
b2   a1

d2  c1
b1 

d1 
 A  A '
B   B ' 
   
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Matrizes de Jones
Algumas operações
Exemplo: Polarização linear a 450 incidente em uma placa de
l/4 e saindo polarizada circular a esquerda
1
0

0
i 
1 1
1   i 
   
Observações:
1 - Válido para ondas planas
2 – Não há representação para luz não polarizada
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
Definição:
-
Polarizações ortogonais
E1  E2  0
Em termos dos vetores de Jones
Exemplos:
1  0 
0  e 1  linear
   
1 1 
i  e  i  circular
   
2  1 
 i  e  2i  elíptica
  

Obs: Permite expansão em qualquer base
 A1   A2 
 , 
B1  B2 
 A1 A2  B1B2  0
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
Definição:
a
c

b
d 
-
Autovetores de uma matriz de Jones
 A
 A
B   l B 
 
 
Interpretação: Os autovetores correspondem aos estados de
polarização que não são alterados pelo dispositivo.
Exemplo: placa de l/4
1 0 
0 i   Auto-vetores e auto-valores


1 
0 com l  1
 
0 
1  com l  i
 
Para pol. linear x ou y, não há atenuação, mas há uma fase relativa.
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Reflexão e refração em uma
interface plana
exp i(k  r  t )
Onda incidente
exp i(k´r  t )
Onda refletida
exp i(k " r  t )
Onda refratada
Condição de contorno: k  r  k´r  k " r
na interface
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Reflexão e refração em uma
superfície plana
k sen  k´sen´ k " sen
k  k´ mesmo meio
  ´ lei da reflexão
lei de Snell
k "  / v " c / v " n2
sen n2





k
 / v c / v n1
sen n1
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Condições de contorno
 v  nˆ dS  S v
2
n
ˆ12  S v1  n
ˆ12 
S
   v dV    v V    v S h
V
lim  h   v   n
ˆ12  v2  v1 
h0
 v  dl  v
2
 tˆ l  v1  tˆ l 

   v  Nˆ d     v  Nˆ l h

lim  h   v   n
ˆ12  v2  v1 
h 0
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
lim  h   v   n
ˆ12  v2  v1 
h0
-
Condições de contorno
lim  h   v   n
ˆ12  v2  v1 
h 0
lim  h.D   lim  h0
D 

lim  h  B   lim  h0

h 0
h 0
t 

B 

lim  h  E   lim   h 
h 0
h 0
t 

lim  h.B   lim  h0
h 0
h 0
n
ˆ12   E2  E1   0
h 0
h 0
n
ˆ12   B2  B1   0
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Fórmula de Fresnel
u
ˆ1  sen1 x
ˆ  cos 1 y
ˆ
u
ˆ´1  sen1 x
ˆ  cos 1 y
ˆ
u
ˆ2  sen2 x
ˆ  cos 2 y
ˆ
exp i(1 )  exp i(n1k0 u
ˆ1  r )
exp i(´1)  exp i(n1k0 u
ˆ´1  r )
exp i(2 )  exp i(n2k0 u
ˆ2  r )
exp i(1)  exp in1k0( x sen1  y cos 1 )
exp i(´1)  exp in1k0( x sen1  y cos 1 )
exp i(2 )  exp in2k0( x sen2  y cos 2 )
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Fórmula de Fresnel


E1  A1 ei1  A´1 ei´1 z
ˆ  B1 ei1  cos 1 x
ˆ  sen1 y
ˆ 
B´1 ei´1   cos 1 x
ˆ  sen1 y
ˆ
E2  A2 ei1 z
ˆ  B2 ei1  cos 2 x
ˆ  sen2 y
ˆ
B
1
u
ˆ E
v
B1 
1
A1 ei1u
ˆ1  z
ˆ  A´1 ei´1 u
ˆ´1  z
ˆ  B1 ei1  B´1 ei´1 z
ˆ
v1
B2 
1
A2 ei2 u
ˆ2  z
ˆ  B2 ei2 z
ˆ
v2




 
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Fórmula de Fresnel
Aplicação das condições de contorno
y
ˆ  E1 |y 0  y
ˆ  E2 |y 0
n12   y
ˆ
y
ˆ  B1 |y 0  y
ˆ  B2 |y 0
Usando
ei1 |y 0  ei´1 |y 0  e i2 |y 0
exp i(1)  exp in1k0( x sen1  y cos 1 )
exp i(´1)  exp in1k0( x sen1  y cos 1 )
exp i(2 )  exp in2k0( x sen2  y cos 2 )
n1sen1  n2sen2
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Fórmula de Fresnel
Chega-se a
A1  A´1  A2
 B1  B´1  cos 1
 B2 cos 2
u
ˆ1  z
ˆ   cos 1 x
ˆ  sen1y
ˆ
u
ˆ´1  z
ˆ   cos 1 x
ˆ  sen1y
ˆ
u
ˆ2  z
ˆ   cos 2 x
ˆ  sen2y
ˆ
1
1
 B1  B´1   B2
v1
v2
1
1
A

A
´
cos


A2 cos 2
 1 1
1
v1
v2
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Fórmula de Fresnel
R 
A´1
A1
R// 
B´1
B1
T 
A2
A1
T// 
B2
B1
Amplitudes de reflexão
Amplitudes de transmissão
Resolver os sistemas
A1  A´1  A2
v1 cos 2
A1  A´1 
A
v2 cos 1 2
B1  B´1 
v1
B2
v2
B1  B´1  B2
cos 2
cos 1
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Fórmula de Fresnel
tg 1  2 
R// 
tg 1  2 
sen 1  2 
R  
sen 1  2 
Para incidência normal
R// 
1  2  0
n 1
 R
n 1