2º Exame de Electrotecnia e Máquinas Eléctricas 2010/2011 (Tempo 2 horas)
1. O dispositivo representado na Figura é
constituído por duas peças de permeabilidade
magnética muito elevada. O circuito magnético
apresenta dois entreferros variáveis com o ângulo
e de comprimento
. As duas peças têm
uma dimensão
na vertical do papel. O
ângulo
tem um valor entre 0 e , e no
enrolamento de N espiras circula uma corrente i.
a. Mostre que a expressão que descreve o
binário electromagnético sobre a peça central
é igual a
. (4 valores)
3. A Figura representa a curva de magnetização obtida com
uma velocidade constante de 1200 rpm para uma máquina
de corrente contínua de 25 kW, 250 V. A máquina apresenta
excitação independente e tem uma resistência do induzido
de
. Esta máquina de corrente contínua irá funcionar
como gerador e tendo como máquina motriz uma máquina
assíncrona.
a. Qual o valor nominal da corrente do induzido desta
máquina? (2,5 valores)
b. Com a velocidade do gerador em 1200 rpm e se a
corrente no induzido é limitada pelo seu valor
nominal, determine a potência de saída máxima do
gerador e a respectiva tensão do induzido para os
seguintes valores de corrente de excitação: 1,0 A, 2,0
A e 2,5 A. (2,5 valores)
c. Resolva o item b) caso a velocidade seja agora de
900 rpm. (2 valores)
Força electromotriz gerada [V]
2. Um motor de indução trifásico com rotor em gaiola de esquilo apresenta os seguintes dados de placa:
400/230 V – 50 Hz – 10 kW – 1455 rpm – cos  = 0.82 – rendimento  = 0.88. Em condições nominais de
funcionamento, pede-se:
a) Número de pares de pólos do motor, velocidade de sincronismo, escorregamento do motor,
e a frequência das correntes no estator. (2 valores)
b) A potência activa e reactiva consumida pelo motor, a corrente absorvida pelo motor, e o
binário nominal do motor. (2,5 valores)
c) Velocidade do motor caso o binário de carga de valor constante seja reduzido a 1/3 do
binário nominal. (2,5 valores)
d) Nas condições da alínea c), determine a nova velocidade do motor caso a frequência de
alimentação seja reduzida para 40 Hz. (2 valores)
Corrente de excitação (if) [A]
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O dispositivo representado na Figura é constituído por
duas peças de permeabilidade magnética muito elevada.
O circuito magnético apresenta dois entreferros
variáveis com o ângulo e de comprimento
. As
duas peças têm uma dimensão
na vertical do
papel. O ângulo
tem um valor entre 0 e , e no
enrolamento de N espiras circula uma corrente i.
a. Mostre que a expressão que descreve o
binário electromagnético na peça central é
igual a
.
________________________________________________________________________________________________________
Resolução
a)
O circuito magnético apresenta duas relutâncias magnéticas em série, localizadas nos dois entreferros e
variáveis com o ângulo de rotação . Devido à simetria apresentada pela peça central, as duas relutâncias serão
iguais e terão o seu valor dado pela expressão (a).
(a)
O fluxo magnético por espira
a circular no circuito magnético é dado por
(b)
O fluxo ligado
com a bobina resulta de (b) como
(c)
O binário electromagnético sobre a peça central pode ser obtido pela relação
. Para isto,
tem-se que calcular a energia magnética armazenada no sistema usando
. Assim,
tem-se a partir de (c) a corrente i dada pela relação (d). Substituindo (d) na expressão da energia magnética,
resulta na integral dada por (e).
(d)
(e)
O binário pode então ser calculado como
(f)
Usando a expressão (c) do fluxo ligado em (f), obtém-se a equação final para o binário electromagnético:
(g)
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O binário electromagnético pode também ser obtido pela relação
calcular a co-energia magnética usando
magnética, resulta na integral dada por (h).
. Para isto, tem-se que
. Substituindo (c) na expressão da co-energia
(e)
O binário pode então ser calculado como
(f)
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Um motor de indução trifásico com rotor em gaiola de esquilo apresenta os seguintes dados de placa: 400/230 V
– 50 Hz – 10 kW – 1455 rpm – cos  = 0.82 – rendimento  = 0.88. Em condições nominais de funcionamento,
pede-se:
a) Número de pares de pólos do motor, velocidade de sincronismo, escorregamento do motor,
e a frequência das correntes no estator. (2 valores)
b) A potência activa e reactiva consumida pelo motor, a corrente absorvida pelo motor, e o
binário nominal do motor. (2,5 valores)
c) Velocidade do motor caso o binário de carga de valor constante seja reduzido a 1/3 do
binário nominal. (2,5 valores)
d) Nas condições da alínea c), determine a nova velocidade do motor caso a frequência de
alimentação seja reduzida para 40 Hz. (2 valores)
________________________________________________________________________________________________________
Resolução
a)
A relação entre a velocidade de sincronismo da máquina de indução
alimentação
, e o número de pares de pólos da máquina é:
, a frequência eléctrica de
.
(a)
Como os dados de placa da máquina não especificam a sua velocidade de sincronismo, toma-se como
aproximação o valor da velocidade nominal fornecida já que esta não diferencia de forma significativa da
velocidade de sincronismo da máquina. Veja que nas máquinas de indução o valor do seu escorregamento será
no máximo 10%, o que faz com que a sua velocidade nominal não tenha uma diferença significativa da
velocidade de sincronismo. Desta forma, toma-se
. Como a frequência é de
,
a equação (a) permite o cálculo de :
.
A velocidade de sincronismo pode agora ser obtida usando o valor de
e de
(b)
em (a):
.
(c)
Na sua condição nominal a máquina apresenta um escorregamento igual a
.
A frequência das correntes no estator será de
(d)
já que esta é a frequência de alimentação da máquina.
b)
Os dados de placa da máquina fornecem a potência mecânica útil ao veio da máquina de 10 kW quando na
condição nominal, e fornecem também o rendimento nominal da máquina de 88%. Por definição, o rendimento
de uma máquina eléctrica é a razão entre a potência útil fornecida
e a potência consumida
, como se
explicita pela relação (e). No caso motor, a potência consumida é igual à potência eléctrica activa consumida pelo
motor e a potência útil a potência mecânica fornecida.
.
(e)
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De (e) determina-se a potência eléctrica consumida pelo motor como
,
(f)
a qual é igual à potência activa consumida.
A potência total consumida pelo motor é igual a
,
onde
é o valor eficaz da tensão na fase e
dados de placa, tem-se que
e
(g) como:
(g)
é o valor eficaz da corrente na fase do motor. Pelos
, o que permite obter a corrente na fase a partir de
(h)
A potência reactiva consumida é dada por
.
(i)
O binário nominal é obtido da seguinte relação:
= 65.8 N.m.
(j)
c)
A região de funcionamento normal do motor de indução pode ser aproximada por uma recta determinada
por dois pontos na sua característica electromecânica: o ponto relativo à sua condição nominal
onde
é a velocidade nominal da máquina e
o seu binário nominal; enquanto o segundo ponto da recta é
estabelecido pelas coordenadas
onde
é a velocidade de sincronismo da máquina onde o seu binário
disponível se anula. Sendo uma característica electromecânica linear (Figura 1.2.1), a 1/3 do binário nominal
corresponde a uma velocidade angular dada por:
(k)
d)
Variando a frequência de alimentação mantendo a tensão constante, faz com que a característica
electromecânica do motor seja deslocada de forma paralela até à nova velocidade de sincronismo. A Figura 1.2.2
mostra este deslocamento dos 50 Hz até aos 40 Hz, onde a nova
velocidade de sincronismo é dada por
. Como o
TN
binário nominal se mantém constante durante o deslocamento da
característica de 50 para 40 Hz, o escorregamento na condição
nominal mantém-se, o que determina a nova velocidade nominal
TN
como
. Assim, como o binário de carga mantém
3
constante o seu valor, a nova velocidade do conjunto motor-carga
pode ser determinado de modo similar à questão c), resultando em
NN N
Ns
.
Fig. 1.2.1
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TN
40 Hz
TN
3
50 Hz
N N 40 Hz  1163 rpm
N s 40 Hz  1200 rpm
N 40 Hz  1187.7 rpm
Fig. 1.2.2
A Figura representa a curva de magnetização obtida com uma velocidade
constante de 1200 rpm para uma máquina de corrente contínua de 25 kW,
250 V. A máquina apresenta excitação independente e tem uma resistência
do induzido de
. Esta máquina de corrente contínua irá funcionar
como gerador e tendo como máquina motriz uma máquina assíncrona.
a. Qual o valor nominal da corrente do induzido desta máquina?
(1 valor)
b. Com a velocidade do gerador em 1200 rpm e se a corrente no
induzido é limitada pelo seu valor nominal, determine a
potência de saída máxima do gerador e a respectiva tensão do
induzido para os seguintes valores de corrente de excitação: 1,0
A, 2,0 A e 2,5 A. (1 valor)
Força electromotriz gerada [V]
2º Exame de Electrotecnia e Máquinas Eléctricas 2010/2011 (Tempo 2 horas)
Corrente de excitação (if) [A]
c. Resolva o item b) caso a velocidade seja agora de 900 rpm. (1 valor)
________________________________________________________________________________________________________
Resolução
a)
A relação entre a potência nominal, a tensão nominal, e a corrente nominal é dada pela relação
Neste motor de corrente contínua tem-se
induzido será igual a
e
. Assim, o valor nominal da corrente do
=100 A
b)
Em regime permanente e no modo gerador tem-se
onde
é a tensão à saída do gerador,
é a força electromotriz do gerador sendo determinada directamente da
curva de magnetização aos 1200 rpm e função da corrente de excitação ,
é a resistência eléctrica do
induzido, e a corrente à saída do gerador.
Como a corrente no induzido é limitada ao seu valor nominal, então
então estabelecida pela seguinte relação
A potência de saída máxima fica estabelecida por
. A tensão no induzido fica
=100
Pode-se então agora determinar os valores da força electromotriz, tensão de saída do gerador e a potência de
saída do gerador para as três correntes de excitação 1,0 A, 2,0 A e 2,5 A:
1.0
2.0
150
240
136
226
13.6
22.6
2º Exame de Electrotecnia e Máquinas Eléctricas 2010/2011 (Tempo 2 horas)
2.5
270
256
25.6
c)
Para uma velocidade de 1200 rpm tem-se a seguinte relação para a curva de magnetização:
Agora, para uma nova velocidade de rotação igual a 900 rpm, a relação anterior fica dada por:
Dividindo uma expressão pela outra, encontra-se a relação da força electromotriz em 1200 rpm para agora o seu
novo valor em 900 rpm:
1.0
2.0
2.5
112.5
180
202.5
98.5
166
242
9.85
16.6
24.2