INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
1o Semestre
Ficha de Exercícios - Teoria das Probabilidades
2009/2010
Instruções:
A Teoria das Probabilidades, tendo sido abordada no Ensino Secundário, é apresentada a título de revisão
através do conjunto de exercícios que se segue.
Questões:
1. Lançam-se dois dados, um branco e outro vermelho e representa-se o resultado por um par ordenado
(B, V ). Qual a probabilidade da soma B + V ser:
(a) Ímpar.
(b) Divisível por cinco.
(c) Ímpar ou divisível por 5.
(d) Ímpar e divisível por 5.
2. Uma cidade de 20000 habitantes tem à sua disposição dois hipermercados: ”O Desbarato” e o ”O Pão
Mole”. Um inquérito revelou os seguintes dados:
- 5000 pessoas vão diariamente a ”O Desbarato”;
- 4000 pessoas vão diariamente a ”O Pão Mole”;
- 500 pessoas vão diariamente a ambos.
Qual a probabilidade de ao escolhermos ao acaso um habitante desta cidade, este seja cliente:
(a) De pelo menos um dos hipermercados.
(b) De nenhum desses hipermercados.
(c) Exclusivamente do hipermercado ”O Desbarato”.
3. Numa população 20% das famílias têm máquina de lavar louça, 30% têm máquina de lavar roupa e 10%
têm ambos os tipos de máquinas. Calcule a probabilidade de uma família escolhida ao acaso:
(a) Ter pelo menos um dos tipos de máquina.
2
(b) Não ter nenhum dos tipos de máquina.
(c) Ter um só tipo de máquina.
4. Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que:
P (A) = P (B) = P (C) =
1
;
4
P (A ∩ B) = P (B ∩ C) = 0; P (A ∩ C) =
1
.
8
Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos acontecimentos A, B ou C ocorra.
5. Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que:
A ∪ B ∪ C = Ω; A ∩ B = ∅; B ∩ C = ∅;
Calcule P (A ∩ C) e P (A ∪ C).
¡ ¢
P (A) = 0.3; P B = 0.7; P (C) = 0.5.
3
6. Sabe-se que em relação a um dado programa de televisão se tem para um casal, a seguinte situação: a
probabilidade de o homem ver um programa é 0.4; a probabilidade da mulher ver o mesmo programa é
0.5; a probabilidade do homem ver o programa porque a mulher o vê é 0.7. Determine a probabilidade de:
(a) Um casal ver o programa.
(b) A mulher ver o programa porque o homem o vê.
(c) Pelo menos um elemento do casal ver o programa.
7. Após alguns testes efectuados à personalidade de um indivíduo concluiu-se que, este é louco com uma
probabilidade igual a 0.6, ladrão com uma probabilidade igual a 0.7 e não é louco nem ladrão com uma
probabilidade de 0.25.
(a) Determine a probabilidade do indivíduo ser louco e ladrão.
4
(b) Determine a probabilidade do indivíduo ser apenas louco ou apenas ladrão.
(c) Determine a probabilidade do indivíduo ser ladrão, sabendo que o mesmo não é louco.
8. Considere dois acontecimentos A e B tais que:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − 0.2
P (B/A) = 0.4.
Determine:
(a) P (A).
¢
¡
(b) P B/A .
5
9. Dados dois acontecimentos A e B, tais que
P (A) = 0.3, P (B) = 0.4 e P (A ∪ B) = 0.5.
Determine:
(a) Se A e B são mutuamente exclusivos.
(b) Se A e B são independentes.
(c) P (A/B), P (A/B), P (B/A), P (A/B).
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10. Considere os acontecimentos A, B e C de probabilidade não nula. Sabe-se que:
- A é incompatível com B e com C.
- Dois dos acontecimentos são independentes entre si.
- P (A) = 0.3, P (C) = 0.25 e P (B ∩ C) = 0.05.
Calcule P (A ∪ B ∪ C).
11. Numa amostra de 100 peças seleccionadas ao acaso dos fornecimentos de duas fábricas A e B, verificou-se
que algumas eram defeituosas. No quadro seguinte apresenta-se um resumo dos resultados obtidos:
Fábrica A
Fábrica B
Sem Defeito
30
40
Com Defeito
10
20
(a) Diga, justificando, se os acontecimentos “ser fornecido pela fábrica A” e “ter defeito” são independentes.
(b) Calcule a probabilidade de uma peça fornecida pela fábrica B não ter defeito.
12. Numa fábrica verificou-se que um certo artigo pode apresentar defeitos de dois tipos. A probabilidade de
ocorrer o defeito do tipo A é 0.1 e a probabilidade de ocorrer o defeito do tipo B é 0.05. Sabendo que os
defeitos ocorrem independentemente um do outro, calcule a probabilidade de:
(a) Um artigo não ter qualquer defeito.
7
(b) Um artigo ter defeito.
(c) Um artigo com defeito ter um e um só tipo de defeito.
13. Supondo que se tem
- a probabilidade do
- a probabilidade do
- a probabilidade do
conhecimento da seguinte informação:
acontecimento “ver o anúncio do produto A” é 0.35;
acontecimento “comprar o produto A” é 0.23
acontecimento “comprar o produto A, tendo visto o anúncio do produto A” é 0.43.
(a) Calcule a probabilidade de ver o anúncio e comprar o produto A.
(b) Calcule a probabilidade de ver o anúncio ou comprar o produto A.
(c) Calcule a probabilidade de ver o anúncio do produto A se comprou esse produto.
(d) Os acontecimentos “ver o anúncio do produto A” e ”comprar o produto A” são independentes?
Justifique.
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14. Numa turma, 50% dos alunos falam bem Inglês, 20% falam bem Francês e 15% dominam as duas línguas.
(a) Averigúe se falar Francês e falar Inglês são acontecimentos independentes.
(b) Calcule a probabilidade de:
i. Um aluno escolhido ao acaso falar pelo menos uma das línguas.
ii. Um aluno não falar nenhuma das línguas.
iii. Um aluno falar uma e uma só das duas línguas.
iv. Sabendo que um aluno não fala Inglês, qual a probabilidade do mesmo falar Francês?
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15. Um comerciante recebe 100 toneladas de batata de três regiões diferentes. Ao chegar cada lote é classificado
em duas classes, A e B, de acordo com a qualidade do produto. Sabendo que um lote acabado de chegar
foi classificado na categoria A, qual a proveniência mais provável deste lote, tendo em atenção que a
distribuição dos lotes recebidos até à data é a seguinte:
Regiões Toneladas Qualidade A Qualidade B
I
20
4
16
II
40
28
12
III
40
20
20
16. Uma empresa possui 3 meios de transporte, T 1, T 2 e T 3, para colocar os seus produtos no mercado. Sabese que as probabilidades destes transportes atrasarem são, respectivamente, 0.05, 0.1 e 0.25. Sabe-se ainda
que estes meios de transporte são empregues com frequências inversamente proporcionais aos respectivos
custos por remessas: 90, 70 e 40 unidades monetárias respectivamente.
(a) Calcule as percentagens de utilização de cada um dos meios de transporte.
(b) Determine a probabilidade de haver atraso.
(c) Considerando as remessas chegadas com atraso, qual a probabilidade das mesmas terem sido transportadas por T 3?
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17. De registos efectuados conclui-se que os condutores que circulam em determinada estrada podem cometer
um e um só dos dois tipos de transgressões: tipo I, tipo II, e nunca ambas. De 500 condutores multados 100
cometeram transgressões do tipo I. 10% dos que cometeram transgressões do tipo I são multados. 1%dos
condutores cometem transgressões do tipo I e 2% do tipo II. Calcule a probabilidade de ser multado quem
cometer uma transgressão do tipo II.
18. Considere 3 urnas com a seguinte composição: a urna 1 contém 10 bolas vermelhas e duas verdes, a urna 2
contém 4 bolas vermelhas e 6 verdes e a urna 3 contém 2 bolas vermelhas e 7 verdes. Uma bola é extraída
de uma das urnas, sendo a escolha da urna feita do seguinte modo:
um dado é lançado uma vez,
- se sair a face 1, escolhe-se a urna 1;
- se sairem as faces 2 ou 3, escolhe-se a urna 2;
- se sairem as faces 4, 5 ou 6, escolhe-se a urna 3.
(a) Qual a probabilidade da bola extraída ser verde?
(b) Qual a probabilidade de se ter escolhido a urna 1, dado que a bola extraída é vermelha?
11
Soluções
7
7
; 1.c: 12
; 1.d: 19
1.a: 12 ; 1.b: 36
17
23
9
2.a: 40 ; 2.b: 40 ; 2.c: 40
3.a: 0.4; 3.b: 0.6. 3.c: 0.3.
4: 58
5: P (A ∩ C) = 0.1; P (A ∪ C) = 0.7.
6.a: 0.35; 6.b: 0.875; 6.c: 0.55.
7.a: 0.55. 7.b: 0.2.¡ 7.c: ¢0.375.
8: P (A) = 0.5; P B/A = 0.6.
9.a: Não. 9.b: Não. 9.c: P (A/B) = 12 , P (A/B) = 12 , P (B/A) = 13 , P (A/B) = 56 .
10: 0.7.
11.a: Não são independentes. 11.b: 23
12.a: 0.855. 12.b: 0.145. 12.c: 0.14.
13.a: 0.151. 13.b: 0.43. 13.c: 0.654. 13.d: Não.
14.a: Não. 14.b.i: 0.55. 14.b.ii: 0.45. 14.b.iii: 0.4. 14.b.iv: 0.3.
15: Região II.
16.a: T1 é 20%, T2 é 35%, T3 é 45%. 16.b: 0.1575. 16.c: 57 .
17: 0.2.
18.a: 0.617.18.b: 0.362.
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