Universidade de São Paulo IME (Instituto de Matemática e Estatística) – MAE 121 – Profº. Wagner Borges São Paulo, 19 de março de 2002 Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa – Bach. Estatística Lista de Exercícios #2 in Noções de Probabilidade e Estatística (Marcos N. Magalhães et al, 4ª. edição), Capítulo 2, seção 2.3, páginas 51-56. 10. Em um bairro existem três empresas de TV a cabo e 20 mil residências. A empresa TA tem 2100 assinantes, a TB tem 1850 e a empresa TC tem 2600 assinantes, sendo que algumas residências em condomínios subscrevem aos serviços de mais de uma empresa. Assim, temos 420 residências que são assinantes de TA e TB, 120 de TA e TC, 180 de TB e TC e 30 que são assinantes das três empresas. Se uma residência desse bairro é sorteada ao acaso, qual a probabilidade de: a. Ser assinante somente da empresa TA? b. Assinar pelo menos uma delas? c. Não ter TV a cabo? n(Ω) = 20000 n(TA) = 2100 n(TB ) = 1850 n(TC ) = 2600 n(TA ∩ TB ) = 420 n(TA ∩ TC ) = 120 n(TB ∩ TC ) = 180 n(TA ∩ TB ∩ TC ) = 30 TA 1 59 0 90 TB 3 90 30 1 28 0 1 50 2 33 0 TC Ω Diagrama de Venn a. A probabilidade pedida é: P(TA ∩ (TB ∪ TC ) C ) : n(TA ∩ (TB ∪ TC ) C ) P(TA ∩ (TB ∪ TC ) C ) = = n (Ω ) n(TA) − n(TA ∩ TB ) − n(TA ∩ TC ) + n(TA ∩ TB ∩ TC ) = = n (Ω) 2100 − 420 − 120 + 30 1590 = = = 0,0765 20000 20000 b. A probabilidade pedida é: P(TA ∪ TB ∪ TC ) : n(TA ∪ TB ∪ TC ) = n (Ω) n(TA) + n(TB) + n(TC ) − n(TA ∩ TB ) − n(TA ∩ TC ) − n(TB ∩ TC ) + n(TA ∩ TB ∩ TC ) = = n (Ω) 2100 + 1850 + 2600 − 420 − 120 − 180 + 30 5860 = = = 0.2930 20000 20000 P(TA ∪ TB ∪ TC ) = c. A probabilidade pedida é: P(TA ∪ TB ∪ TC ) C : P(TA ∪ TB ∪ TC ) C = 1 − P(TA ∪ TB ∪ TC ) = 1 − 0.2930 = 0.707 12. Das pacientes de uma Clínica de Ginecologia com idade acima de 40 anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%, enquanto que para as demais essa probabilidade aumenta para 30%. Pergunta-se: a. Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter tido um distúrbio hormonal? b. Se a paciente sorteada tiver distúrbio hormonal, qual a probabilidade de ser solteiro? c. Se escolhemos duas pacientes ao acaso e com reposição, qual é a probabilidade de pelo menos uma ter o distúrbio? Sejam os eventos: C: ser ou ter sido casada CC: ser solteira D: ter tido um distúrbio hormonal no último ano. DC: não ter tido um distúrbio hormonal no último ano. Temos: P(C ) = 0.6 P(C C ) = 0.4 P( D | C ) = 0.3 P( D | C C ) = 0.1 a. Pede-se a probabilidade P(D): D = (C ∩ D) ∪ (C C ∩ D ) P( D ) = P(C ∩ D) + P (C C ∩ D) * = P(C ).P ( D | C ) + P(C C ).P( D | C C ) = 0.6 . 0.3 + 0.4 . 0.1 = 0.22 * Como os eventos são disjuntos podemos considerar a probabilidade de sua união como a soma de suas probabilidades, descartando a interseção, já que ela é vazia. b. Pede-se P(CC | D): P(C C ∩ D ) P(C C ).P( D | C C ) 0.4 . 0.1 = = = 0.18 P( D) 0.22 P (C C ) c. Pede-se P(D) + P(D) = 0.44 P(C C | D) = 16. Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem 30% e o da esquerda 40%. Em sendo eleito, a probabilidade de dar efetivamente prioridade para Educação e Saúde é de 0.4; 0.6 e 0.9 para os candidatos de direita, centro e esquerda respectivamente. a. Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo? b. Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleição? Sejam os eventos: D: candidato do partido de direita ganha as eleições C: candidato do partido de centro ganha as eleições E: candidato do partido de esquerda ganha as eleições R: é dada prioridade para Educação e Saúde. Temos: P( D ) = 0.3 P( R | D ) = 0.4 P(C ) = 0.3 P( R | C ) = 0.6 P( E ) = 0.4 P( R | E ) = 0.9 a. Pede-se P(RC): P( R C ) = 1 − P( R ) P( R) = P( D ∩ R) + P(C ∩ R) + P( D ∩ R) = P( D).P ( R | D ) + P(C ).P( R | C ) + P( D).P( R | D) = 0.3 . 0.4 + 0.3 . 0.6 + 0.4 . 0.9 = 0.66 C P( R ) = 1 − 0.66 = 0.34 b. Pede-se P(D | R): P( D | R ) = P( D ∩ R) P( D).P ( R | D ) 0.3 . 0.4 = = = 0.18 P( R) P( R) 0.66 18. Um médico desconfia que um paciente tem tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som o detectará com probabilidade 0.9. Entretanto, se ele não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem com probabilidade de 0.1. Se o exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato? Sejam os eventos: A: o paciente ter o tumor AC: o paciente não ter o tumor D: o exame ultra-som detecta o tumor DC: o exame ultra-som não detecta o tumor Temos: P( A) = 0.7 P( D | A) = 0.9 P( D | AC ) = 0.1 P ( A C ) = 0. 3 Pede-se P(A | D): P( A ∩ D) P( A).P ( D | A) 0.7 . 0.9 P( A | D) = = = = 0,95 C C P( D) P( A).P ( D | A) + P( A ).P( D | A ) 0.7 . 0.9 + 0.3 . 0.1 28. Uma família viaja ao litoral para passar um fim de semana. A probabilidade de congestionamento na estrada é de 0.6. Havendo congestionamento, a probabilidade dos seus dois filhos brigarem no carro é de 0.8 e, sem congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade 0.4. Quando há briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a paciência com os filhos é de 0.7. É claro que havendo congestionamento o pai pode perder a paciência com os filhos mesmo sem brigas o que aconteceria com probabilidade 0.5. Quando não há nem congestionamento, nem briga, o pai dirige tranqüilo e não perde a paciência. Determine a probabilidade de: a) Não ter havido congestionamento se o pai não perdeu a paciência com seus filhos. b) Ter havido briga, dado que o pai perdeu a paciência. Sejam os eventos: C: há congestionamento, CC: não há congestionamento B: filhos brigam, BC: filhos não brigam A: pai perde a paciência, AC: pai não perde a paciência Montando o Diagrama da Árvore: C (0.6) B (0.8) BC (0.2) CC (0.4) B (0.4) BC (0.6) A (0.7) AC (0.3) A (0.5) AC (0.5) A (0.7) AC (0.3) A (0) AC (1) CBA CBAC CBCA CBCAC CCBA CCBAC CCBCA CCBCAC a. AC: o pai não perde a paciência. AC= { CBAC, CBCAC, CCBAC, CCBCAC } P(AC) = 0.6 . 0.8 . 0.3 + 0.6 . 0.2 . 0.5 + 0.4 . 0.4 . 0.3 + 0.4 . 0.6 . 1 = 0.492 C C ∩ AC = { C C BAC , C C B C AC } 0.4 . 0.4 . 0.3 + 0.4 . 0.6 .1 P(C C | AC ) = = 0.58 0.492 b. A: O pai perde a paciência. A = { CBA,CBCA,CCBA,CCBCA } P(A)= 0.6 . 0.8 . 0.7 + 0.4 . 0.4 . 0.7 = 0.448 A ∩ B = { CBA, C C BA } 0.6 . 0.8 . 0.7 + 0.4 . 0.4 . 0.7 P( B | A) = = 0.8818 0.448