MÉTODOS DE
VOTAÇÃO
Método da Pluralidade
Simples
Vence o candidato (ou os candidatos, se
forem mais do que um) com maior número
de votos em primeiro lugar.
Método da Pluralidade
EXEMPLO
N.º
de
votos
18000 12000 10000
9000
4000
2000
1º
opção
F
J
C
R
S
S
2º
opção
R
S
J
C
J
C
Método da
Pluralidade
O
Francisco
3º
opção
S
R
S
S
R
R
4º
opção
C
C
R
J
C
J
5º
opção
J
F
F
F
F
F
é que será
expulso da
casa.
Método da Pluralidade
CRITÉRIO DA MAIORIA
Se numa eleição existe uma opção que tem a
maioria dos votos em primeiro lugar, então essa
opção deverá ser considerada a vencedora da
eleição.
Lacunas do Método da Pluralidade
EXEMPLO
N.º de votos
72
70
8
1º opção
Benidorm
Torremolinos
Lorett del
Mar
2º opção
Torremolinos
Algarve
Torremolinos
3º opção
Lorett del
Mar
Madeira
Algarve
4º opção
Madeira
Lorett del
Mar
Madeira
5º opção
Algarve
Benidorm
Benidorm
Lacunas do Método da Pluralidade
Torremolinos Algarve
150
Torremolinos Benidorm
78
Torremolinos
142
0
72
Lorett del
Mar
Torremolinos Madeira
150
8
0
Pelo
Método
da
Pluralidade o destino
da viagem de finalistas
seria Benidorm, com
72 votos em primeiro
lugar.
Lacunas do Método da Pluralidade
CRITÉRIO DE CONDORCET
Se houver uma opção, a qual quando
comparada par a par é sempre preferida pelos
eleitores, então essa opção deverá ser
considerada a vencedora da eleição.
Lacunas do Método da
Pluralidade
Viola o Critério de Condorcet
Pode levar a uma Votação Estratégica
Método de Contagem de Borda
Cada posição no boletim de voto é dotada de pontuação. Numa eleição
com N candidatos atribuímos:
1 ponto ao último lugar
2 pontos ao penúltimo lugar
.
.
.
N pontos ao primeiro lugar
Os pontos são somados para cada candidato separadamente, e o candidato
com a pontuação mais elevada é o vencedor.
Método de Contagem de Borda
EXEMPLO
N.º de
votos
18000
12000
10000
9000
4000
2000
1º opção
F
J
C
5 pontos 5x18000 5x12000 5x10000
R
5x9000
S
5x4000
S
5x2000
2º opção
R
S
J
4 pontos 4x18000 4x12000 4x10000
C
4x9000
J
4x4000
C
4x2000
3º opção
S
R
S
3 pontos 3x18000 3x12000 3x10000
S
3x9000
R
3x4000
R
3x2000
4º opção
C
C
R
2 pontos 2x18000 2x12000 2x10000
J
2x9000
C
2x4000
J
2x2000
5º opção
J
F
F
1 ponto 1x18000 1x12000 1x10000
F
1x9000
F
1x4000
F
1x2000
Método de Contagem de Borda
Concorrentes
Pontuação Total
F
127000
J
156000
C
162000
R
191000
S
189000
O Ricky é que
terá de abandonar
a
casa
mais
vigiada
de
Portugal.
Lacunas do Método de Contagem de Borda
EXEMPLO
N.º de
votos
20
15
4
1º opção
Ana
Nuno
Luís
2º opção
Nuno
Luís
Teresa
3º opção
Luís
Teresa
Nuno
4º opção
Teresa
Ana
Ana
Lacunas do Método de Contagem de Borda
Concorrentes
Pontuação Total
Ana
99
Luís
101
Nuno
128
Teresa
62
Pelo
Método
de
Contagem de Borda o
Nuno é que ficará com
o cargo de assistente.
Mas pelo critério da
maioria a Ana é que
devia ganhar o lugar.
Lacunas do Método de
Contagem de Borda
Viola o Critério da Maioria
Viola o Critério de Condorcet
Método da Pluralidade com
Eliminação
A ideia básica é fazer continuamente a eliminação dos candidatos
inaptos, um por um, até restar um vencedor.
1º Passo: Contam-se os votos em primeiro lugar de cada candidato, tal
como fazemos no método da pluralidade.
Se um candidato tem a maioria dos votos em primeiro lugar, ele é
automaticamente declarado o vencedor.
Caso contrário, elimina-se o candidato com menor número de votos em
primeiro lugar.
Método da Pluralidade com Eliminação
2º Passo: Excluem-se da lista de preferências os candidatos eliminados
e recontam-se os votos em primeiro lugar.
Se um candidato tiver a maioria dos votos em primeiro lugar é declarado
vencedor.
Caso contrário, elimina-se o candidato que tiver menor número de votos
em primeiro lugar.
3º, 4º, etc. Passo: Repete-se o processo, eliminando de cada vez um ou
mais candidatos, até haver um candidato com a maioria dos votos em
primeiro lugar, o qual é declarado vencedor.
Método da Pluralidade com Eliminação
EXEMPLO
1º Passo:
N.º de
votos
18000
12000
10000
9000
4000
2000
1º
opção
F
J
C
R
S
S
2º
opção
R
S
J
C
J
C
3º
opção
S
R
S
S
R
R
4º
opção
C
C
R
J
C
J
5º
opção
J
F
F
F
F
F
Método da Pluralidade com Eliminação
2º Passo:
N.º de
votos
18000
16000
10000
9000
2000
1º
opção
F
J
C
R
C
2º
opção
R
R
J
C
R
3º
opção
C
C
R
J
J
4º
opção
J
F
F
F
F
Método da Pluralidade com Eliminação
3º Passo:
N.º de
votos
18000
16000
21000
1º opção
F
J
C
2º opção
C
C
J
3º opção
J
F
F
Método da Pluralidade com Eliminação
4º Passo:
N.º de
votos
18000
37000
1º opção
F
C
2º opção
C
F
Pelo
Método
da
Pluralidade
com
Eliminação o Carlos
é que abandonará a
casa do Big Brother.
Lacunas do Método da Pluralidade com Eliminação
EXEMPLO
Concorrentes: Beijing (B); Manchester (M); Sydney (S)
Eleição Teste
N.º
de
votos
7
8
10
1º
opção
M
S
2º
opção
S
3º
opção
B
Eleição
4
N.º
de
votos
7
8
14
B
M
1º
opção
M
S
B
B
M
B
2º
opção
S
B
M
M
S
S
3º
opção
B
M
S
Lacunas do Método da Pluralidade com Eliminação
Na Eleição Teste a
cidade vencedora foi
Beijing.
Na realidade a cidade
que venceu a Eleição
foi Sydney.
Lacunas do Método da Pluralidade com Eliminação
CRITÉRIO DA MONOTONIA:
Se a opção X vence uma eleição e numa
reeleição as únicas alterações, nas preferências
dos eleitores, são a favor de X, então X deve
permanecer o vencedor da eleição.
Lacunas do Método da
Pluralidade com Eliminação
Viola o Critério da Monotonia
Viola o Critério de Condorcet
Método da Comparação
Par a Par
Neste método todos os candidatos são comparados
dois a dois.
Cada uma destas comparações dois a dois é designada por
comparação par a par.
O vencedor de uma comparação par a par, que é
aquele que se encontra em melhor posição num maior
número de boletins de preferência, ganha 1 ponto.
Em caso de empate, a cada candidato é atribuído
meio ponto.
Método da Comparação Par a Par
O vencedor da eleição é o candidato que
obtém maior número de pontos após todas as
comparações par a par terem sido realizadas.
No caso de empate, que é comum neste
método, ou se aceita a existência de mais do que
um vencedor ou
se usa um método, prédeterminado, de desempate, caso não sejam
permitidos múltiplos vencedores.
Método da Comparação Par a Par
EXEMPLO
Nº de
18000 12000 10000 9000
votos
1ª opção
F
J
C
R
4000
2000
S
S
2ª opção
R
S
J
C
J
C
3ª opção
S
R
S
S
R
R
4ª opção
5ª opção
C
J
C
F
R
F
J
F
C
F
J
F
O Francisco tem 18000 votos para 37000 do João
O vencedor desta comparação par a par é o
João que ganha 1 ponto.
Método da Comparação Par a Par
Após todas as comparações, os resultados são:
Francisco
0 pontos
João
1 ponto
Carlos
2 pontos
Ricky
3 pontos
Sónia
4 pontos
Método da Comparação Par a Par
O vencedor da
eleição é o
candidato S.
Quem vai sair da
casa
é a Sónia!
Método da Comparação Par a Par
Verifica-se facilmente que este método satisfaz:
Critério de Condorcet
Critério da Maioria
Critério da Monotonia
No entanto, não está livre de lacunas!!!
Lacunas do Método da Comparação
Par a Par
Exemplo:
Os membros de uma
turma de 22 alunos
pretendem
eleger
o
delegado de turma. Há 5
candidatos : a Ana (A), o
Bruno (B), a Carolina (C),
o Daniel (D) e o Ernesto
(E). A professora acordou
com os alunos que o
método de eleição a ser
usado seria o método da
comparação par a par.
Lacunas do Método da Comparação
Par a Par
Tabela com a lista de preferências:
Nº de
votos
2
6
4
1
1
4
4
1ª opção
A
B
B
C
C
D
E
2ª opção
D
A
A
B
D
A
C
3ª opção
C
C
D
A
A
E
D
4ª opção
B
D
E
D
B
C
B
5ª opção
E
E
C
E
E
B
A
Lacunas do Método da Comparação Par a
Par
Resultados Finais
Ana
3 pontos
Bruno
2 + 1/2 pontos
Carolina
2 pontos
Daniel
1+1/2 pontos
Ernesto
1 ponto
Admitamos que a Carolina desiste da sua candidatura porque
vai mudar de escola.
Será que este facto afectará o resultado da
eleição?
Lacunas do Método da Comparação Par a
Par
Tabela com a nova lista de preferências:
Nº de
Votos
1ª opção
2
6
4
1
1
4
4
A
B
B
B
D
D
E
2ª opção
3ª opção
4ª opção
D
B
E
A
D
E
A
D
E
A
D
E
A
B
E
A
E
B
D
B
A
Lacunas do Método da Comparação
Par a Par
Resultados Finais
Ana
2 pontos
Bruno
2+1/2 pontos
Daniel
1+1/2 pontos
Ernesto
0 pontos
O vencedor é o Bruno e não a Ana!!!!!
Lacunas do Método da Comparação
Par a Par
Critério da Independência de Alternativas
Irrelevantes
Se um candidato X é o vencedor de uma
eleição e um ou mais dos outros candidatos é
removido da eleição e os boletins de voto são
contados de novo, então X deve continuar a ser o
vencedor.
Lacunas do Método da Comparação Par a Par
Empates
Outra falha deste método é o facto de conduzir
frequentemente a resultados em que há empates
generalizados.
Como é óbvio, em muitos casos não é possível
nem razoável considerar mais do que um candidato
como vencedor.
Não existe um procedimento fixo para o
desempate, mas na prática convém preestabelecer
regras para desempatar, caso seja necessário.
Método da Comparação Par a Par
Quantas comparações par a par têm de ser
feitas numa eleição?
Analisemos o caso geral em que existem N
candidatos. É necessário contar o número de
comparações sistematicamente, tendo o cuidado
de não repetir nenhuma.
 O 1º candidato deve ser comparado com
todos os outros N-1.Efectuam-se (N-1)
comparações par a par
Método da Comparação Par a Par
 O 2º candidato deve ser comparado com cada um dos
outros, excepto
comparações.
...
com
o
1º.
Efectuam-se
N-2
 O (N-1)-ésimo candidato deve ser comparado com
todos os outros excepto com os N-2 primeiros. Efectuase uma comparação par a par.
Método da Comparação Par a Par
Conclui-se facilmente por indução que o
número total de comparações par a par é :
1+2+3+ ... +(N-2)+(N-1)
Ou seja, numa eleição com N
candidatos, o número total de comparações
par a par é:
( N  1) N
2
Comparação dos resultados
obtidos nos diferentes métodos
Vencedor
Método de Votação
F
Método da Pluralidade
R
Método da Contagem de Borda
C
Método da Pluralidade com
Eliminação
S
Método da Comparação Par a Par
A aplicação de cada método origina
vencedores distintos !!!
Rankings
Em muitos casos é importante não só
saber quem é o vencedor de uma eleição
mas também quem fica em 2º lugar, 3º
lugar, ...
Ou seja, é importante conhecer a ordem
de classificação dos candidatos.
Rankings
Existem dois tipos de Métodos de
Ranking:
Métodos de Ranking Alargados
Métodos de Ranking Recursivos
Métodos de Ranking Alargados
Cada um dos métodos de eleição analisados
anteriormente tem uma extensão natural que nos
permite obter a classificação geral dos candidatos.
Método da Pluralidade Alargado
Como já se viu, segundo este método o vencedor
é aquele em que mais eleitores votaram em 1º lugar
na ordem de preferência do boletim de voto.
Analogamente o segundo classificado é aquele que,
excepto o vencedor, teve mais votos em 1º lugar.
Método da Pluralidade Alargado
EXEMPLO
Nº de
18000 12000 10000
Votos
1ª opção
F
J
C
2ª opção
3ª opção
4ª opção
R
S
C
S
R
C
J
S
R
5ª opção
J
F
F
9000
4000
2000
R
C
S
J
F
S
J
R
C
F
S
C
R
J
F
Método da Pluralidade Alargado
Resultados
Lugar
Candidato
Votos em 1º lugar
1º
F
18000
2º
J
12000
3º
C
10000
4º
R
9000
5º
S
6000
Métodos de Ranking Alargados
Método de Contagem de Borda Alargado
Este método é também bastante simples.
Os candidatos são ordenados segundo o número de
pontos que ganharam, ficando em 1º lugar aquele que teve o
maior número de pontos, em segundo lugar aquele que teve
o segundo maior número de pontos, ...
Métodos de Ranking Alargados
Método da Pluralidade com Eliminação
Alargado
Os candidatos são ordenados por ordem inversa à
de eliminação: o 1º candidato eliminado é colocado na
última posição, o 2º candidato eliminado é colocado na
penúltima posição, e assim sucessivamente, até que
finalmente o último candidato a ser eliminado é
colocado em 1º lugar.
Métodos de Ranking Alargados
Método da Comparação Par a Par
Alargado
Neste método os candidatos são classificados de
acordo com o número de comparações par a par que
ganharam, isto é, com o número de pontos que
ganharam.
Métodos de Ranking Alargados
Ordens de classificação geral
Método de Ranking
Alargado
Pluralidade
Contagem de Borda
Pluralidade com Eliminação
Comparação Par a Par
Ordens de
Classificação Geral
1º 2º 3º 4º 5º
F
J
C
R
S
R
C
S
S
F
R
C
J
C
J
R
J
F
S
F
Métodos de Ranking Recursivos
Outra estratégia de ordenar os candidatos é
designada por aproximação recursiva.
Admitamos que vamos usar um determinado
método de eleição X e a aproximação recursiva
para estabelecer a ordem de classificação geral dos
candidatos numa eleição.
Inicialmente usamos o método X para
encontrar o vencedor da eleição.
Métodos de Ranking Recursivo
Depois removemos o nome do vencedor da
lista de preferências e obtemos uma nova e
modificada lista com um candidato a menos.
Mais uma vez aplicamos o método X para
determinar o candidato vencedor. Esse
candidato é classificado em 2º lugar.
Procedemos sucessivamente de modo análogo
até estarem ordenados todos os candidatos.
Métodos de Ranking Recursivo
Método da Pluralidade Recursivo
1º Passo:
Nº de
18000 12000 10000
Votos
1ª opção
F
J
C
2ª opção
R
S
J
3ª opção
S
R
S
4ª opção
5ª opção
C
J
C
F
R
F
9000
4000
2000
R
C
S
S
J
R
S
C
R
J
F
C
F
J
F
Método da Pluralidade Recursivo
2º Passo:
Nº de
Votos
1ª opção
2ª opção
3ª opção
4ª opção
18000 12000 10000 9000
R
S
C
J
J
S
R
C
C
J
S
R
R
C
S
J
4000
2000
S
J
R
C
S
C
R
J
Método da Pluralidade Recursivo
3º Passo:
Nº de
votos
1ª opção
2ª
opção
3ª
opção
18000 12000 10000 9000
4000 2000
S
J
C
C
S
S
C
S
J
S
J
C
J
C
S
J
C
J
Método da Pluralidade Recursivo
4º Passo:
Nº de
votos
18000 12000 10000 9000
4000 2000
1ª opção
C
J
C
C
J
C
2ª
opção
J
C
J
J
C
J
Métodos de Ranking Recursivo
Classificação Geral segundo o Método da Pluralidade
Recursivo
Lugar
1º
2º
3º
4º
5º
Candidato
F
R
S
C
J
Note-se que este resultado é diferente do obtido
com a aplicação do Método da Pluralidade
Alargado!
Conclusão
Introduzimos 4 critérios de justiça:
Critério da Maioria
Critério de Condorcet
Critério da Monotonia
Critério da Independência de Alternativas
Irrelevantes
Surpreendentemente nenhum dos métodos
apresentados satisfaz todos estes critérios.
Quando é que um método é justo?
Existirá um método de eleição perfeito?
O Teorema da Impossibilidade de Arrow
garante-nos que não, para eleições com 3 ou
mais candidatos.