A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA:
CONTRIBUIÇÕES PARA A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
BRANDT, Célia Finck
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TOZETTO, Annaly Schewtschik
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CRISTIAN, Marcele
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PONTES, Helaine
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ESLOMPO, Marli Ribeiro Maia
[email protected]
MILDENBERG, Adriane
[email protected]
DIONIZIO, Fátima Aparecida Queiroz
[email protected]
KLÜPPEL, Gabriela Teixeira
[email protected]
VOLTOLINI, Lílian Thereza Christina
[email protected]
CNOSSEN, Jennifer
[email protected]
FERREIRA, Francine
[email protected]
DORADA, Rosana
[email protected]
STELLE, Gláucia
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Resumo
A importância de se fazer pesquisa em grupo está na possibilidade de se buscar
diversos temas de um fenômeno e interpretá-los sob um mesmo referencial teórico, além
da produção de conhecimento novo. O Grupo de Estudo e Pesquisa em Aprendizagem da
Matemática (GEPAM) foi constituído nesse sentido. Procuramos saber quais as diferentes
possibilidades de subsidiar o campo da Educação Matemática à luz de teorias de
conhecimento. Objetivamos interpretar e avaliar as contribuições da Teoria de Registros de
Representação Semiótica para o campo da Educação Matemática, especificamente no
processo de ensino-aprendizagem de Matemática nos diferentes graus de ensino. Para
tanto, desenvolvemos diversas pesquisas de abordagem qualitativa, incluindo o estado da
arte de pesquisas desenvolvidas sob esta teoria, que estaremos aqui apresentando.
Resultados parciais nos revelam a importância do desenvolvimento de pesquisas coletivas
392
à luz de um quadro teórico que vem ao encontro da superação de diversas dificuldades
frente à Matemática.
Palavras-chave: Pesquisas; Representações Semióticas; Educação Matemática.
Introdução
A importância de se fazer pesquisa está na possibilidade da disseminação do
conhecimento novo. Para tanto, é necessário que ela se volte para uma ação investigativa
que garanta a fidedignidade dos fatos, a coerência dos pesquisadores, a vigilância
epistemológica, o rigor e a qualidade (ANDRÉ, 2001). A isso se voltam os quatro polos de
uma pesquisa, interpretado segundo Martins e Theóphilo (2007): o polo epistemológico, no
qual se faz pela vigilância crítica necessária que garante a cientificidade da pesquisa; o
polo teórico, que norteia o trabalho e que tem como a principal função explicar por que,
como e quando os fenômenos ocorrem; o polo metodológico, que se refere ao modo pelo
qual o trabalho é conduzido, contemplando os métodos e as técnicas a serem utilizados
para se captar o fenômeno investigado. Segundo os autores, dentro de uma linha
epistemológica, considera-se que a metodologia está voltada para “os procedimentos
lógicos e epistemológicos do saber” (IBIDEM, p.37). Por fim, o polo técnico que se volta
para o delineamento, planejamento e estruturação de uma pesquisa.
O trabalho de pesquisa deve se comprometer a construir um saber, um
conhecimento pelo esforço de um pesquisador ou de um grupo de pesquisa (LUDKE e
ANDRÉ, 1986) nas mais diferentes áreas, mas com observações rigorosas por meio dos
quatro polos que garantem a sua qualidade.
A Educação Matemática é uma dessas áreas, cujo objeto de conhecimento é o
processo de ensino-aprendizagem da Matemática. Pesquisar esse processo é de suma
importância uma vez que se pode refletir sobre os diversos modos pelos quais ele é
conduzido em sala de aula
Nesse sentido, constituímos um Grupo de Estudos e Pesquisa em Educação
Matemática (GEPAM), sob a coordenação de uma professora do Programa de PósGraduação em Educação da Universidade Estadual de Ponta Grossa. O grupo é formado
por pesquisadores (doutores, mestres e mestrandos), professores do Ensino Fundamental e
Médio e licenciandos em Matemática. Fazem parte do grupo 14 componentes.
393
Os grupos de pesquisa são importantes, pois, muitas vezes, é por meio deles que
jovens pesquisadores são iniciados num processo de pesquisa e construção de
conhecimento. Também porque “Um trabalho em grupo permite que diversos focos sejam
escolhidos, diversos procedimentos sobre o mesmo foco sejam utilizados, proporcionando
uma perspectiva mais global de um fenômeno estudado.” (BORBA & ARAUJO, 2006).”
O nosso grupo tem essas características, estando seus componentes interessados em fazer
pesquisa e produzir conhecimento, buscando, para isso, diversos focos na Educação
Matemática (EM), que serão analisados à luz de uma Teoria dos Registros de
Representação Semiótica (RRS). Constituído sob esse propósito, buscamos responder:
Quais as diferentes possibilidades de subsidiar o campo da Educação Matemática à luz de
uma teoria de representações semióticas?
Na busca de resposta a esta questão, outras nos são necessárias, para tanto,
indagamos: Como os Registros de Representação Semiótica podem contribuir para a
compreensão do processo de ensino-aprendizagem em matemática? Quais são as
problemáticas enfrentadas na Educação Matemática que se utilizam os Registros de
Representação Semiótica no sentido de interpretá-las e compreendê-las?
O grupo tem por objetivo interpretar e avaliar as contribuições de uma Teoria de
Registros de Representações Semióticas para o campo da Educação Matemática,
especificamente o processo de ensino-aprendizagem de Matemática nos diferentes graus de
ensino: Educação Básica e Ensino Superior.
Sob esse referencial teórico o grupo pretende pesquisar:
- o processo de formação de professores que ensinam Matemática do Ensino Fundamental
ao Superior;
- a aprendizagem docente, no que se refere aos conteúdos e conhecimentos da Matemática;
- a aprendizagem dos alunos, seus processos de pensamento e suas dificuldades;
- a condução de um processo de ensino voltado para a compreensão dos conceitos
matemáticos;
- o discurso e a linguagem empregados na Educação Matemática.
Para tanto, o grupo se encontra uma vez por semana para estudar as pesquisas de
Raymond Duval (1988, 1993, 1995, 1996, 1999, 2003) referentes à contribuição dos
Registros de Representação Semióticos para a conceitualização de objetos matemáticos,
bem como para promover orientações, discussões e reflexões sobre as pesquisas que
desenvolvemos na EM, à luz dessa teoria.
394
Para o desenvolvimento dessas pesquisas foram organizados cinco pequenos
grupos, cada um com uma problemática dentro de uma temática de investigação. O
primeiro grupo estará promovendo uma pesquisa sob o estado da arte das pesquisas que
envolvem os RRS; o segundo grupo estará se voltando para os problemas aditivos e
multiplicativos no processo de ensino aprendizagem no Ensino Fundamental; o terceiro
grupo buscando investigar a contribuição de jogo Tangram para a compreensão do
conceito de área; o quarto grupo busca a relação entre significantes e significados e os
processos de acomodação e assimilação na produção de materiais didáticos para a
Educação a Distância; e o quinto grupo analisa a reversibilidade operatória e sua relação
com a operação cognitiva de tratamento e com registros de representação do número.
Assim, diversas pesquisas estão sendo desenvolvidas pelo grupo, a fim de serem
analisadas e interpretadas à luz da Teoria de RRS, de Raymond Duval.
Apresentamos, neste texto, os grupos e as pesquisas por eles desenvolvidas. Para
tanto, o texto foi organizado em três partes. Na primeira parte apresentamos o quadro
teórico dos RRS, na perspectiva de Raymond Duval, especificamente em relação às
contribuições para a conceitualização dos objetos matemáticos. Na segunda parte
especificamos cada uma das pesquisas desenvolvidas pelo grupo GEPAM, no que diz
respeito à problemática, aos objetivos, à metodologia e aos resultados parciais. Por fim,
concluímos o texto considerando a importância do desenvolvimento de pesquisas coletivas
à luz de um quadro teórico que vem ao encontro de diversas dificuldades frente à
Matemática.
1. A Teoria de Raymond Duval: Registros de Representação Semiótica
Duval (2003) procura descrever um funcionamento cognitivo que possibilite ao
aluno compreender, efetuar e controlar a diversidade dos processos matemáticos que a ele
são propostos em situação de ensino. Duval (2003) se reporta à especificidade da
complexidade do funcionamento cognitivo subjacente à atividade matemática e em relação
às exigências metodológicas, quando se trata de pesquisa sobre a aprendizagem da
Matemática. São essas exigências metodológicas sugeridas e as orientações necessárias
que estarão sendo levadas em conta no desenvolvimento desta investigação.
Em se tratando da atividade cognitiva requerida pela Matemática, deve-se
considerar a importância das representações semióticas pelos seguintes motivos: em
395
relação às possibilidades de tratamento (não é qualquer tipo de registro de representação
que permite um determinado tipo de tratamento), pelo fato de que os objetos matemáticos
não são diretamente observáveis, visto que eles não têm existência física e sua apreensão
só é possível por meio de registros de representação; igualmente pelo fato de que existe
uma grande variedade de representações semióticas possíveis para serem utilizadas em
Matemática (língua natural, gráficos, linguagem algébrica, figuras geométricas, entre
outras).
Para desenvolver e aprofundar a atividade cognitiva requerida pela matemática,
Duval (2003) aprofunda as análises em relação aos diferentes registros de representações
semióticas, uma vez que eles são de naturezas distintas. Tais naturezas são importantes
como objeto de análise, visto que estarão no centro do processo de conversão de registros
de representação. Segundo o autor, existem os registros multifuncionais cujos tratamentos
não são algoritmizáveis, caracterizados como uma representação discursiva, a língua
natural, ou não discursiva, as figuras geométricas. Existem os registros monofuncionais,
cujos tratamentos são algoritmizáveis e também são de natureza discursiva como no caso
dos sistemas de escrita (numéricas, algébricas ou simbólicas) ou não discursiva, como no
caso dos gráficos cartesianos.
Para contemplar as relações existentes entre significantes, significado e
significação (atribuídas pelo sujeito aprendente), tendo por referência o objeto alvo da
aprendizagem, isto é, o SND, será necessário, segundo Duval (1995), considerar as
operações cognitivas de formação, de tratamento e conversão.
De acordo com o autor, a formação de uma representação é uma operação
cognitiva realizada com utilização da língua materna, desenhos, figuras ou fórmulas, com
signos próprios de uma ciência. Há que se considerar, no entanto, que esta não acontece
independentemente do conteúdo a representar e nem deve deixar de respeitar regras.
Podemos citar, como exemplo, a formação de diferentes registros de representação do
número, palavra e numeral arábico, que deverão contemplar a estrutura do SND,
organizado em torno de base e valor posicional. O tratamento é uma operação cognitiva
que vai compreender uma transformação da representação, no interior do mesmo sistema
semiótico, mobilizando apenas um só registro de representação. Por exemplo: 8 ou 5 + 3;
23 ou 2 x 10 + 3. A conversão é uma operação cognitiva, porém, de outra natureza, e
também compreende a transformação de uma dada representação em outra, só que, agora,
pertencente a um outro sistema semiótico, de modo a conservar a totalidade ou parte da
396
representação inicial, sendo necessária ser efetuada pelo sujeito aprendente, sem
caracterizar uma tradução ou decodificação. Essa operação não é uma operação trivial e
nem cognitivamente neutra, segundo nos alerta Duval (1995). Exemplo: “um número
positivo” (língua materna) e “x > 0” (linguagem algébrica).
De acordo com Duval (1995), é na conversão das representações de um sistema
semiótico a outro que haverá uma operação cognitiva que pode ser descrita como uma
mudança de forma, que possibilitará a conceitualização dos objetos matemáticos pelos
sujeitos aprendentes.
Isso não significa relativizar a importância da forma, visto que é ela que
possibilita a diversidade (diferentes registros de representação para um mesmo objeto
matemático, pertencentes a diferentes sistemas semióticos de representação), além de
apresentar vantagens, tais como: a economia (que é dependente do tipo de registro
utilizado numa operação cognitiva de tratamento), por permitir a superação dos limites de
uma representação e a rapidez na representação das relações entre objetos;
a
complementaridade de registros, por compreender os elementos informativos ou
comunicacionais que a representação torna possível
No tocante à conceitualização, Duval (1993) apresenta uma estrutura por meio
da qual o funcionamento da representação semiótica é compreendido:
FIGURA 1 - ESTRUTURA DA REPRESENTAÇÃO EM FUNÇÃO DA CONCEITUALIZAÇÃO
Conceito, objeto cognitivo representado
Registro de representação
A
Registro de representação B
Tratamento sobre
Tratamento sobre
FONTE: DUVAL, 1993, p. 51.
Essa estrutura, segundo o autor, baseia-se na crença de que a compreensão
conceitual exige a coordenação de ao menos dois registros de representação, oportunizada
pela operação cognitiva de conversão. Nessa estrutura as flechas significam as
transformações internas oriundas da operação de tratamento e as externas, oriundas da
operação de conversão, fazendo-nos lembrar que elas não são naturais ou espontâneas.
Terão de ser provocadas, levando à distinção entre o representante e o representado, e
397
impedindo o enclausuramento de um único registro de representação.
Segundo Duval (1995), a conversão, que é necessária para a conceitualização, vai,
por sua vez, enfrentar o fenômeno de congruência ou de não-congruência entre as
representações semióticas de sistemas diferentes de um mesmo objeto que está relacionado
aos sucessos ou aos insucessos dos alunos frente às questões que implicam uma mudança
de sistema semiótico de representação.
Existem três condições a serem satisfeitas para que dois sistemas semióticos de
representação sejam congruentes: correspondência semântica entre unidades significantes
que as constituem; mesma ordem possível de apreensão destas unidades, nas duas
representações; conversão de uma unidade significante da representação de partida a uma
só unidade significante na representação de chegada.
No caso dos registros de representação do número, podemos proceder com análises,
para verificar o grau de congruência entre os dois registros que estão sendo contemplados
na nossa investigação: a palavra e o numeral arábico.
Neste caso, será necessário primeiramente identificar as unidades significantes dos
dois registros. Segundo Duval (1999), será necessário adotar os seguintes procedimento:
1. Submeter um registro de representação a todas as variações possíveis, sendo que
as representações formadas, após as variações, devem ainda ter sentido.
2. Tomar dois registros de representação associados entre si e submeter um deles às
variações que provoquem variações no outro.
As variações serão cognitivamente pertinentes quando uma variação D2 num
registro D provoque uma variação D3 no registro associado D1 tendo como referência
objetos diferentes.
É este princípio de variação que está na base da atividade de conversão. Uma
variação cognitiva sempre vai consistir numa mudança de sentido. Duval (1999) afirma
que a compreensão do sentido provoca automaticamente a compreensão do objeto.
Importante será considerar também o que nos afirma Duval (1988):
entre duas representações de informação, há duas relações independentes a
considerar: a relação de equivalência referencial e a relação de congruência
semântica. Duas expressões diferentes podem ser referencialmente equivalentes
sem que sejam semanticamente congruentes (p. 8).
Esta afirmação leva em conta a teoria de representações que relaciona os
significantes e o significado a uma conceitualização. Duval (1995) nos apresenta uma
estrutura triádica e diádica da significância de um signo, na qual essas relações podem ser
398
de representação ou de referência entre os elementos constitutivos dessa significância
(significante, significado, objeto). Elas serão de representação do objeto para signos
constituídos por uma referência instituída tais como vetores, operadores,... e não possuem
significação. Elas serão de referência ao objeto para os signos aos quais será atribuída uma
significação determinada, pelo sistema da língua, ao relacionar o significante e o
significado. A relação ao objeto, neste caso, é apenas assegurada no plano do discurso. A
figura 10 explicita essas relações e a estrutura, tanto diádica como triádica da significância.
FIGURA 10 - ESTRUTURA DIÁDICA E TRIÁDICA DA SIGNIFICÂNCIA
referência
Significado
Significação
Significante
Objeto
representação
FONTE: DUVAL, 1995, p.63
2. Apresentando as pesquisas do GEPAM
Nesta seção apresentamos as pesquisas do GEPAM, que se encontram em
andamento, no que se referem aos objetos das pesquisas, suas problemáticas, seus
objetivos, suas metodologias e seus resultados parciais.
2.1 Pesquisa do Grupo 1 – O estado da arte das pesquisas desenvolvidas à luz da Teoria
de Representações Semióticas em Educação Matemática
Compreendendo a importância de uma teoria de Registros de Representação
Semiótica para a Educação Matemática, queremos, com esta pesquisa, fazer um inventário
descritivo e analítico da produção acadêmica nessa área, que lança mão dessa teoria. Os
dados empíricos serão buscados em publicações de artigos; comunicações científicas em
encontros internacionais, nacionais e regionais; dissertações e teses; a partir do ano de
2000.
399
Buscamos responder à seguinte questão: Quais temáticas do campo da Educação
Matemática que se valem da Teoria dos Registros de Representação Semiótica para
compreender e interpretar as diversas problemáticas encontradas no processo de ensinoaprendizagem da Matemática?
Nosso objetivo é evidenciar a utilização da Teoria de Registros de Representação
Semiótica nas diversas temáticas do campo da Educação Matemática. Buscando atingir
esse objetivo, precisamos responder a outras questões: Estão sendo desenvolvidas
pesquisas em Educação Matemática que contemplem os Registros de Representação
Semiótica para compreender e interpretar o processo de ensino-aprendizagem da
Matemática? Qual é o foco dessas pesquisas?
A pesquisa que apresentamos é meta-analítica qualitativa que, segundo Rodrigues
(2002, p.26), “procura identificar, através de determinadas categorias, semelhanças e
controvérsias numa quantidade de estudos da mesma área de pesquisa”(SIC). Sendo assim,
as informações quantitativas serão interpretadas qualitativamente, a fim de se produzir um
diagnóstico das produções acadêmicas, na área da Educação Matemática, no que diz
respeito à utilização da Teoria dos Registros de Representação Semiótica nas diversas
temáticas da área pesquisada.
A pesquisa, ainda em andamento, nos mostra, com resultados parciais, que a
Teoria de Registros de Representação Semiótica vem ganhando espaço na Educação
Matemática e que diferentes temáticas estão sendo contempladas por esta teoria, bem
como, igualmente, os processos de ensino e de aprendizagem e também de formação de
professores.
O quadro a seguir contempla algumas das temáticas e possibilita vislumbrar o
alcance desta teoria para compreender as dificuldades da aprendizagem em matemática.
Pesquisa
Representação, compreensão e
problemas aditivos
Revisitando os problemas
Vergnaud, de 1976
Registros de representação
racionais
O ensino de vetores e os
representação semiótica
O conceito de probabilidade
registros de representação
Registros de representação
Autor
resolução de Regina Fleming Danm
aditivos
de João Carlos Passoni e Tânia Maria
Mendonça Campos
e números Maria Cristina S.A. Maranhão e Sonia B.
Camargo Igliori
registros de Marilena Bittar
condicional: Benedito Antonio da Silva
semiótica e Saddo Ag Almouloud
400
compreensão de conceitos geométricos
Registros de representação na produção de
provas na passagem da aritmética para a
álgebra
A translação como recurso no esboço de
curvas por meio da interpretação global de
propriedades figurais
Contribuições dos registros de representação
semiótica na conceituação do sistema de
numeração
O processo de discretização do raciocínio
matemático na tradução para o raciocínio
computacional: um estudo de caso no
ensino-aprendizagem de algoritmos
Representações semióticas no ensino:
contribuições para reflexões acerca dos
currículos de matemática escolar
Estudo das formas de negação no ensino de
matemática: ponto de encontro com os
registros de representação semiótica
José Luiz Magalhães de Freitas
Méricles Thadeu Moretti
Celia Finck Brandt
Mariângela de Oliveira Gomes Setti
Janecler Aparecida Amorin Colombo
Patrícia Lanzini Franco
Contudo, os resultados finais demandam um maior esforço ao serem
interpretados para que então possamos chegar a uma conclusão em relação às contribuições
de uma teoria de representações semióticas para a conceitualização de objetos
matemáticos.
2.2 Pesquisa do Grupo 2 – Uma formação continuada de professores dos anos iniciais
sobre problemas aditivos e multiplicativos.
A presente pesquisa é uma replicação do trabalho desenvolvido por Leonora Pilon
Quintas (QUINTAS, 2007), o qual analisa o processo de educação continuada de
professoras polivalentes de uma escola pública de Cubatão-SP.
A pesquisa também se debruça sobre a formação continuada de professores
polivalentes (dos anos iniciais), no mesmo sentido dado pela autora citada, tendo como
objeto a formação de professores polivalentes. Nesse sentido, busca saber: Como uma
formação continuada para estes professores pode contribuir para a superação das
dificuldades do ensino e da aprendizagem dos problemas aditivos e multiplicativos em sala
de aula?
Pretendemos, com essa pesquisa, explicitar a contribuição de uma formação
continuada no sentido de uma mudança da prática docente no trabalho com os problemas
aditivos e multiplicativos.
401
O universo se limita a duas escolas da rede municipal de ensino de Ponta Grossa,
Paraná, sendo proposto o trabalho para as professoras que lecionam nas turmas do 5º ano
(4ª série) do Ensino Fundamental.
Os procedimentos referentes à coleta de informações foram propostos por estes
três encaminhamentos que seguem.
I – Um Programa de Formação Continuada em Educação Matemática, organizado e
ministrado pelas pesquisadoras com encontros quinzenais, in loco, com duração total de 18
horas, ao longo de quatro meses, dirigidos a 4 (quatro) professoras e 2 (duas)
coordenadoras pedagógicas, das respectivas escolas, propostos na forma de oficinas.
II – Duas avaliações realizadas com, em média, 140 alunos dessas professoras
participantes. A primeira avaliação realizada antes do primeiro encontro do Programa de
Formação Continuada e a segunda, após o término deste.
III – Oito alunos das professoras participantes selecionados para reaplicação da avaliação
inicial com intervenção das pesquisadoras. O critério utilizado para a seleção desses alunos
foi os que apresentaram soluções errôneas na avaliação inicial.
Para a elaboração das provas foram utilizados os problemas propostos nas
pesquisas desenvolvidas por Terezinha Nunes (NUNES, MAGINA & BRYANT, 2005),
adequando-os ao objetivo da pesquisa. A coleta de dados com os alunos teve como
finalidade verificar as dificuldades destes em resolver problemas envolvendo estruturas
aditivas em cálculos relacionais, e não em cálculos numéricos, e as dificuldades de leitura
do problema.
As análises dos dados serão feitas à luz da Teoria de Registros de Representação
Semiótica, de Raymond Duval, que se mostra a mais favorável para nossos propósitos.
Alguns problemas aditivos apresentados por Vergnaud foram utilizados por
Duval para ilustrar a congruência e a não-congruência entre dois sistemas semióticos de
representação; um na língua materna e a sua conversão para um outro que utiliza a escrita
da equação aritmética.
Problema 1: Ganho 3 bombons e ganho 6. Fico com 9 bombons.
(ganha) 3 + (ganha) 6 = (ganha) 9
Nesse caso há correspondência semântica ( ganhar → +), mesma ordem de
apreensão das unidades nas duas representações (ganha 3, ganha 6, ganha 9 → 3, 6, 9) e
conversão de uma unidade significante na representação de partida em uma só unidade
significante na representação de chegada (ganha 3 → +3, ganha 6 → + 6, ganha 9 → + 9).
402
Já não é o caso do próximo problema.
Problema 2: Ganha 3 bombons e perde 6 bombons. Perde 3.
(ganha) 3 + (perde) 6 = (perde) 3
Nesse caso, os verbos portadores de informação semântica são antônimos
(ganhar/perder) e, portanto, não há mais identidade semântica terminal, o que vai significar
que as duas representações semióticas não serão congruentes, pois uma das condições não
foi verificada. Esse segundo problema é mais difícil para os alunos quando se tratar de
conversão.
Ou o caso do problema “Ganhou algumas, ganhou 3, no total ficou com 8. A
ordem tem que ser invertida: (ganhou) 8 ? (ganhou) 3 = .....
Se esse problema for resolvido por um procedimento da diferença, a ordem tem
que ser invertida e não há nenhuma informação semântica no enunciado em língua natural
que indique a subtração exigida para o mesmo.
Se o problema for resolvido pelo procedimento do complemento, a ordem
também tem que ser invertida, pois a comutatividade é uma exigência: (ganhou) 3 +
(ganhou) ... = (ganhou) 8.
Nos dois últimos exemplos não existe congruência entre os dois sistemas
semióticos de representação e, segundo resultados de pesquisas, as taxas de sucesso ou
insucesso dependem do maior ou menor grau de não-congruência.
A primeira avaliação nos mostrou as dificuldades dos alunos para resolver
problemas aditivos e multiplicativos. Nos encontros do Programa de Formação Continuada
observamos que as discussões teórico-metodológicas e os conhecimentos específicos dos
problemas possibilitaram às professoras uma reflexão sobre os processos envolvidos no
trabalho com os problemas aditivos e multiplicativos e uma postura favorável ao
desenvolvimento do trabalho. A segunda avaliação ainda será desenvolvida, mas os
resultados parciais já nos apontam para uma possível e significativa mudança no trabalho
com os problemas aditivos e multiplicativos em sala de aula.
2.3 Pesquisa do Grupo 3 - A contribuição do Jogo Tangram para aprendizagem do
conceito de área.
Essa pesquisa tem como objeto de estudo o jogo Tangram e busca responder à
questão: Quais as contribuições que o jogo Tangram oferece para a aprendizagem do
403
conceito de área? E, nesse sentido, busca evidenciar a importância desse jogo para a
construção desse conceito.
Para tanto, está sendo realizada uma pesquisa com alunos da sétima série de uma
escola da Rede Estadual de Ensino, especificamente em duas turmas que doravante serão
identificadas como Turma A e Turma B. É importante explicar que o conteúdo de área já
havia sido explicado pela professora de Matemática destas turmas e que a utilização do
jogo se propunha à pesquisa em si.
Os procedimentos metodológicos de coleta de informações qualitativas foram a
aplicação do jogo nas duas turmas e o preenchimento de um questionário após a aplicação
deste, para a verificação do aproveitamento do jogo na aprendizagem deste conceito. O
procedimento de análise das informações qualitativas (dados empíricos) será realizado
segundo a Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval.
O jogo foi desenvolvido (aplicado) em momentos distintos e com objetivos
diferentes. Na Turma A o jogo foi aplicado antes da avaliação de Matemática da turma,
sob a forma de complemento da aprendizagem. Na Turma B o mesmo jogo foi aplicado
após a avaliação de Matemática desta turma, de forma lúdica. Feito isso, aplicamos para os
alunos um questionário no qual constavam perguntas sobre a facilidade e/ou dificuldade na
realização da prova de Matemática sobre o conteúdo área, em relação ao jogo ter sido
desenvolvido antes ou depois dela, com o propósito de constatar ou não o aproveitamento
do jogo na aprendizagem do conceito de área.
Nossos resultados parciais mostram uma melhora significativa da aprendizagem
da Turma A em relação à aprendizagem da Turma B. Contudo, para chegarmos a uma
conclusão, faz-se necessário concluir as análises das informações coletadas à luz da Teoria
dos Registros de Representação Semiótica para identificar as operações cognitivas que
foram colocadas em jogo nas duas formas de encaminhamento.
2.4 Pesquisa do Grupo 4 - A relação entre significantes e significados e os processos de
acomodação e assimilação na produção de materiais didáticos para a Educação a
Distância.
A Educação a Distância é um processo de ensino-aprendizagem em que
professores e alunos estão separados espacial ou temporalmente e a não frequência de
sessões em salas de aula é a característica fundamental desta experiência de aprendizagem.
404
Por mais que isso ocorra, professor e aluno podem estar conectados, interligados por
tecnologias, principalmente as telemáticas, como a internet, e também podem ser utilizados
o rádio, o correio, o vídeo, o telefone e tecnologias semelhantes, com ou sem a orientação
de um tutor ou mentor. O ensino aberto (pode-se assim dizer) refere-se a situações em que
os alunos utilizam recursos de forma flexível para alcançarem as respectivas metas de
aprendizagem. A Educação a Distância (EAD) pode acontecer nos mesmos níveis que o
Ensino Presencial (Ensino Fundamental, Médio, Superior e Pós-Graduação). É mais
indicado para a educação de adultos, principalmente para aqueles que já possuem
experiência consolidada de aprendizagem individual e de pesquisa, como acontece no
ensino de graduação e pós-graduação. Há, nesta modalidade, uma grande preocupação em
se articular conteúdos, objetivos, e sua característica fundamental é a iniciativa do
educando. Cientes dessa constatação, há uma forte atenção ao processo de elaboração do
material didático, que deve ser bem articulado, convidativo e de fácil compreensão.
Com relação ao material didático a ser utilizado, no instante de sua elaboração o
docente
deve
estar
preocupado
em
promover
a
aprendizagem
construtivista,
proporcionando ao aluno momentos de reflexão e criação, resgatando os referenciais
teóricos citados, inserindo atividades que levem o aluno ao mundo do conhecimento de
forma mais atraente. A proposta pedagógica utilizada precisa estar bastante clara, de forma
que o processo de ensino-aprendizagem possa realmente se concretizar. A Teoria dos
Registros de Representações Semióticas, de Raymond Duval, utilizada em pesquisas
referentes à aquisição de conhecimento e à organização de situações de aprendizagem, fazse essencial na elaboração dos materiais didáticos voltados para a EAD. As atividades com
vários
tipos
de
registros
de
representações
semióticas
instigam,
provocam
questionamentos, favorecem a aprendizagem dos conceitos trabalhados e permitem
observar se esses conceitos foram absorvidos realmente pelo aluno.
Há que se considerar, igualmente que, segundo Piaget (1976), o conhecimento se
constrói na interação entre sujeito e objeto, resultante das sucessivas transformações de
esquemas (formas de pensar ou resolver problemas). Esta interação coloca em jogo a
acomodação e assimilação, que ora podem estar em desequilíbrio, tendendo para a
imitação representativa (quando o desequilíbrio for a favor da acomodação) ou para o jogo
simbólico (quando o desequilíbrio for a favor da assimilação). No entanto, em equilíbrio
elas tendem para a representação cognitiva.
405
Em virtude do exposto, a presente pesquisa se volta para a explicitação das
operações cognitivas de formação, tratamento e conversão de objetos matemáticos que
coloca em jogo os significantes ligados a um significado, tendo por referência um objeto
matemático, e relacionados ao jogo duplo de acomodações e assimilações em que a
acomodação constitui os significantes e a assimilação fornece os significados.
A questão que buscamos responder é: Quais os desafios cognoscitivos a
serem contemplados em atividades propostas em materiais didáticos para a Educação a
Distância, que favorecem o equilíbrio entre assimilação e acomodação, relacionadas aos
significantes, significados e significações, tendo por referência um objeto matemático?
Temos por objetivo associar as operações cognitivas de formação,
tratamento e conversão de registros de representação semióticos de objetos matemáticos ao
equilíbrio progressivo entre assimilação e acomodação, presentes em formas do
pensamento representativo que se manifestam.
A presente investigação volta-se para a elaboração de um mapa conceitual
que leve em conta esta associação e todas as operações cognitivas colocadas em ação e ao
pensamento operatório que, graças a reversibilidade, caracteriza o equilíbrio de uma
acomodação e uma assimilação generalizadas, ultrapassando o nível dos pré-conceitos e
das intuições primeiras.
O referido mapa conceitual partirá do seguinte esquema:
referência
Significado Fornecido pela
assimilação
Significação
Constituídos pela
acomodação
Significantes
representação
Objeto
matemático
contemplado
no material
didático para
EaD
2.5 Pesquisa do Grupo 5 – Reversibilidade e operação cognitiva de tratamento com
registros de representação do número.
406
No processo de ensino e aprendizagem da Matemática muitas vezes nos deparamos
com crianças que sabem manipular os algoritmos utilizados para a realização da adição e
subtração de números naturais, mas não atribuem significado aos empréstimos e às
reservas.
Um dado empírico curioso, obtido em situação de sala de aula, refere-se aos alunos
que separam 14 unidades ou dezenas, por exemplo, resultantes de adições que ultrapassam
10, em 9 + 5, para fazer as substituições das unidades ou dezenas excedentes a dez por
dezenas ou centenas no ábaco, respectivamente. Ao invés de uma decomposição em 10 + 4
e a substituição das 10 unidades ou dezenas por uma dezena ou centena, respectivamente,
as crianças apoiam-se na regra do nunca dez, acreditando ser necessária a retirada de 5 para
deixar 9. O que acontece, entretanto, é que as crianças não sabem como proceder, visto que
olham as 9 unidades ou dezenas restantes e sabem que não podem trocar por 10, o mesmo
acontecendo com as 5 que ficam em suas mãos.
Consideramos ser este um obstáculo pedagógico que se formou por consequência
da regra do nunca dez. Até nove pode.
Neste sentido, buscamos apoio teórico na Teoria Piagetiana e nos estudos
desenvolvidos relacionados à gênese do número. Neste estudo são investigadas as relações
entre parte e todo, isto é, segundo Piaget (1975), “a reunião aritmética das partes num
mesmo todo, no domínio das coleções numéricas, constitui uma das operações
fundamentais que engendram o próprio número: a adição.” (p. 254)
Organizamos, por este motivo, algumas atividades, a semelhança das provas
piagetianas, apresentadas nesta obra, para identificar se a criança é capaz de compreender a
identidade de um todo por meio das diferentes composições aditivas das partes: 14 = 1 +
13, 2 + 12, 3 + 11, 4, + 10, 5 + 9, 6 + 8, 7 + 7 e suas comutativas.
As diferentes composições serão precedidas de registros de representações
semióticas e, para tanto, utilizaremos o numeral arábico e o ábaco, intermediando uma
representação específica que converte a adição 10 + 4 ou 4 + 10 em 1 dezena mais quatro
unidades e no numeral arábico 14.
Acreditamos que assim procedendo estaremos investigando a mobilidade e a
fecundidade de seu pensamento, propondo um jogo de adições e subtrações combinadas,
problemas com estrutura de equalização e de repartição, que exigirão que ela estabeleça
relações entre parte e todo e permitirão verificar se os procedimentos de resolução dos
407
problemas são intuitivos ou realizados por procedimentos de correspondência e
composição operatória.
Dado o exposto nesta pesquisa, buscamos responder à seguinte questão: A
invariância do total e a reversibilidade da composição aditiva podem ser contempladas nas
operações cognitivas de formação, tratamento e conversão de registros de representação
semióticas do número para compreensão da estrutura do Sistema de Numeração Decimal?
Temos por objetivo apontar os caminhos a serem trilhados em situações de
processos de ensino nas quais obstáculos didáticos podem ser gerados. As rupturas
necessárias demandam estudo e aprofundamento teórico para sustentar as ações e analisar
as respostas dos alunos e seus procedimentos de resolução de problemas.
Conclusão
Pesquisas em grupos são desenvolvidas principalmente porque permitem abranger
diversos focos para um olhar mais amplo do fenômeno estudado. Corroboramos com essa
importância de se fazer pesquisas em grupo uma vez que buscamos contribuir com o
crescimento da ciência e com a construção do conhecimento novo.
O GEPAM vem, por meio de suas pesquisas, avaliar os modos pelos quais os RRS
contribuem para a interpretação e explicação das problemáticas encontradas no processo de
ensino-aprendizagem, uma vez que esse quadro teórico veio ao encontro das diversas
dificuldades frente à complexidade da aprendizagem de Matemática.
As pesquisas estão contemplando o processo de formação de professores, a
compreensão de conceitos matemáticos, os processos de ensino-aprendizagem da
Matemática, o discurso e a linguagem empregados na Educação Matemática. Todos os
temas puderam ser subsidiados pela Teoria de RRS, de Raymond Duval, pois, segundo
Machado (2003):
A maneira matemática de raciocinar e de visualizar está intrinsecamente ligada
à utilização das representações semióticas, e toda comunicação em matemática
se estabelece com base nessas representações.. Assim, a abordagem cognitiva
adotada por Duval, desenvolvida em estreita relação com o ‘funcionamento’
matemático, no que tem de específico, torna sua teoria operatória, por
excelência. (p. 8)
Temos convicção de que as diferentes leituras possibilitadas pela Teoria de
Representações Semióticas, desenvolvida por Raymond Duval, no campo da Educação
Matemática, contribuirão para a superação das inúmeras dificuldades que se apresentam no
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processo de ensino e aprendizagem desta disciplina nas escolas e também para a
contribuição em processos de formação de professores que ensinam Matemática.
Igualmente, que a teoria de registros de representações semióticas constitui
importante instrumento de pesquisa para ajudar a compreender a complexidade da
aprendizagem da Matemática.
Referências
ANDRÉ, M. Pesquisa em educação: buscando rigor e qualidade. In.: Cadernos de
Pesquisa,
n.113
p.51-64,
julho,
2001.
Disponível
em
http://www.scielo.br/pdf/cp/n113/a03n113.pdf . Acesso em 22 jun. 2009.
BORBA, M.C. & ARAÚJO,J.L. (org.). Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática.
2ª ed. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2006. 118p.
DUVAL, Raymond. Écarts sémantiques et chhérence mahtématique. Annales de
Didactique et de Siences Cognitivas. 1988. vol. 1, pp. 7- 25.
_________________. Registres de representation sémiotique et fonctionnement cognitif de
la pense. Annales de Didactique et de Siences Cognitivas. IREM de Starsbourg, n. 5,
37-65, 1993.
__________________. Semíósis et Pensée Humaine; registres sémiotiques et
apprentissages intellectuels. Berna: Peter Lang, 1995.
__________________. Quel cognitif retenir en didactique des mathématiques?
Recherches em didactique des mathématiques. La pensée Sauvage, 1996. v. 16/3, n. 48,
p. 349-380.
__________________. Cours PUC. São Paulo: Février, 1999. Documento datilografado.
__________________. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento
Cognitivo da Compreensão em Matemática. In.: MACHADO, S.D.A. (org.)
Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. São Paulo: Papirus,
2003.
LÜDKE, M. e ANDRÉ, M.E.D.A. Pesquisa em Educação: abordagens qualitativas. São
Paulo: EPU, 1986. 99p.
MACHADO, S. D. A. (org.) Aprendizagem em matemática: registros de representação
semiótica. São Paulo: Papirus, 2003.
409
MARTINS, G.A. e THEÓPHILO, C.R. Metodologia da investigação cientifica para
ciências sociais aplicadas. São Paulo: Editora Atlas, 2007. 225p.
NUNES, T.; CAMPOS, T.; MAGINA, S.; BRYANT, P. Introdução à Educação
Matemática: Números e Operações. São Paulo: Ed. PROEM, 2001.
PIAGET, Jean. A gênese do número na criança. Rio de Janeiro: Zahar, 1975.
____________. A formação do símbolo na criança. Rio de Janeiro: Zahar, 1976.
QUINTAS, Leonora Pilon. Formação continuada de professores e a resolução de
problemas. In.: IX Encontro Nacional de Educação Matemática. Belo Horizonte, Anais...
Belo
Horizonte:
SBEM,
2007.
Disponível
em
http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Comunicacao_Cientifica/Trabalhos/CC082361538
35T.doc. Acesso em 13 mai. 2008.
RODRIGUES, C. A abordagem processual no estudo da tradução: uma meta-análise
qualitativa. In.: Cadernos de Tradução: vol.2, n.10, Florianópolis: UFSC, 2002.
Disponível em http://www.periodicos.ufsc.br/index.php/traducao/article/view/6143/5701.
Acesso em 12 dez. 2008.
410