Probabilidade ( Breve Introdução)
Prof. Antonio Sales
O estudo da Probabilidade é o estudo estatístico do que ainda não ocorreu, do
que é possível que ocorra, mas é incerto.
Ela se fundamenta no se.
Se fizer isso então, em condições ideais, ocorrerá aquilo em x% dos casos.
Talvez se lembrem do exemplo do suposto fisioterapeuta especialista em certa
patologia que tratou 18 pessoas com xi sessões (ver tabela a seguir)
i
xi
f
fr
Fi Fri
1
25 1
0.06 1
0.06
2
3
4
5
6
7
8
9
10
26
27
28
29
30
31
32
33
35
2
0.11 3
0.17
3
0.17 6
0.33
1
0.06 7
0.39
1
0.06 8
0.44
2
0.11 10 0.56
2
0.11 12 0.67
2
0.11 14 0.78
2
0.11 16 0.89
2
0.11 18 1.00
18 1.00
Supomos que queríamos entrevistar aleatoriamente, algumas dessas pessoas. A
partir do fichário da clínica atribuímos números a elas e fazemos sorteio.
Qual a probabilidade de uma pessoa que sarou com 31 sessões ser entrevistada? E de ser
uma pessoa que sarou com menos de 31 sessões? E de ser uma pessoa que sarou com
mais de 31sessões? E de ser uma pessoa que sarou com até 28 sessões? E de ser uma
pessoa que sarou com, exatamente, 28 sessões? E de ser uma pessoa que sarou com
mais de 28 sessões?
Observem que probabilidade é uma incerteza e ao mesmo tempo uma previsão
com base em uma situação ideal. Depois que um fato acontece não faz mais sentido
falar em probabilidade. Esse fato já é certeza, já é passado, logo é 100% certo sempre.
No caso do lançamento de uma moeda, podemos prever as seguintes possibilidades
(cara (c), coroa (k)).
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Eventos
c
k
Total
Casos possíveis
1
1
2
Eventos Possíveis Probabilidade
c
50%
0,5 1/2
k
50%
0,5 1/2
100%
1,0 1
No
caso
de
(c,k
),
(c,c),
Se não levarmos em conta a ordem temos:
Eventos
(c,c)
(k,k)
(c,k)
Casos possíveis
1
1
2
Total
4
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dois
(k,k),
lançamentos
(k,c)
Eventos Possíveis
(c,c)
(k,k)
(c,k)
Probabilidade
25%
25%
50%
100%
0,25
0,25
0,50
1,00
1/4
1/4
1/2
1
Se levarmos em conta a ordem as probabilidades são outras.
E se lançarmos a moeda 3 vezes?
Quais os e eventos possíveis se levarmos em conta a ordem dos fatores? E se não
levarmos em conta os fatores?
Construa
tabelas
e
gráficos
e
discuta
as
probabilidades
Lançar uma única moeda duas vezes é o mesmo que lançar duas moedas,
simultaneamente, uma única vez? Isto é, o lançamento sucessivo de uma moeda duas
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vezes produz as mesmas previsões que o lançamento simultâneo de duas moedas uma
única vez?
(c,c,c), (c,c,k), (c,k,k), (k,k,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,c,k), (k,k,c) =23
Eventos
(c,c,c)
(k,k,k)
(c,c,k)
(c,k,k)
Casos possíveis
1
1
3
3
Total
8
Eventos Possíveis
(c,c,c)
(k,k,k)
(c,k,k)
(c,c,k)
Probabilidade
12,5%
12,5%
37,5%
37,5%
100%
0,125
0,125
0,375
0,375
1,00
1/8
1/8
3/8
3/8
1
E se uma moeda for lançada 4 vezes?
(c,c,c,c), (c,c,c,k), (c,c,k,k), (c,k,k,k), (k,k,k,k), (c,c,k,c), (c,k,c,c), (k,c,c,c),
(c,k,c,k), (k,c,c,k), (k,c,k,c), (c,k.k.c), (k,k,c,c), (k,k,k,c), (k,k,c,k), (k,c,k,k)=24
Eventos
(c,c,c,c)
(c,c,c,k)
(c,c,k,k)
(k,k,k,c)
(k,k,k,k)
Casos possíveis
1
4
6
4
1
Total
16
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Eventos Possíveis
(c,c,c,c)
(c,c,c,k)
(c,c,k,k)
(k,k,k,c)
(k,k,k,k)
Probabilidade
6,25%
25,00%
37,50%
25,00%
6,25%
100%
0,0625
0,250
0,375
0,250
0,0625
1,00
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
1
O cálculo da probabilidade nos permite encontrar um número que mostra a
chance de ocorrência do resultado desejado de um experimento aleatório.
Imaginemos que alguém deseja lançar sorte usando uma moeda. Como a moeda
tem duas faces, cara (k) e coroa(c), se ele lança essa moeda há dois resultados possíveis,
{k,c}, com 50% (0,5 ou ½ ) de chance para cada uma das faces.
Se ele lançar a moeda duas vezes, os resultados possíveis são:
{(k,k),(k,c),(c,k),(c,c)}. São 4 os resultados possíveis e cada um tem 25% (0,25 ou ¼ )
de chance. O par (k,k) significa, cara no primeiro lançamento e cara no segundo
lançamento.
Observe que para o primeiro lançamento havia um Espaço Amostral menor,
com apenas dois elementos e a chance de cada resultado era de 50%. No segundo caso o
Espaço Amostral aumentou de dois para quatro e a chance de cada resultado diminuiu,
caiu pela metade. Observe ainda que 25%=0,25 que é igual a 0,5x0,5.
Tudo isso parece confuso quando se mantém a concepção de que toda
multiplicação aumenta. Quando se multiplica dois números em que um deles é menor
do que a unidade (x<1) o resultado é sempre menor do que aquele que se tinha
inicialmente.
Para verificar essa afirmação tente efetuar os seguintes produtos:
a) 8x0,2=
b) 12x0,5=
c) 25x 0,8=
d) 50x0,1=
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e) 40x0,2=
Na realidade, multiplicar 40 por 0,2 significa dividir 40 por 10 e depois
multiplica o resultado por 2. Confira fazendo (40÷10)x2=
Se multiplicarmos dois números menores do que a unidade (x<1 e y<1) o
resultado fica ainda menor pois é o mesmo que dividir o produtos de dois números
maiores do que 1 por 100. Dessa forma, 0,8 x 0,8 significa (8x8)÷ 100=
Mas voltemos ao assunto da probabilidade. Você percebeu que o Espaço
Amostral é o conjunto de todas as possibilidades. No primeiro caso o Espaço Amostral
era S={k,c} e no segundo caso S= {(k,k),(k,c),(c,k),(c,c)}. S é de “Space”. Se a moeda
não for defeituosa, não tiver um lado mais pesado do que o outro, de tal modo que todos
as faces tenham exatamente a mesma chance de caírem voltadas para baixo (ou para
cima) diz –se que o Espaço Amostral é equiprovável .
Se quisermos fazer uma amostragem desta turma escolhendo um quinto (1/5)
dos seus elementos para uma entrevista, nosso Espaço Amostral será S={1,2,3,4,5} que
corresponde ao números dos papeizinhos que serão sorteados para iniciar o processo de
escolha. Nesse caso, cada elemento desta sala terá 1/5=0,2=20% de chance de ser
entrevistado. Isto é, se a sala estiver devidamente organizada de modo que S seja
equiprovável.
Se um casal pretende ter três filhos, não ao mesmo tempo, o Espaço Amostral,
com relação ao sexo dos filhos, é S= {(m,m,m), (m,m,f), (m,f,f),(m,f,m), (f,f,f), (f,f,m),
(f,m,m), (f,m,f)}. Há oito possibilidades, isto é, 23, onde 2 é o número de variáveis (
sexo) e 3 é o número de possibilidade de ocorrência ou “lançamentos da moeda”.
Como se pode ver, a probabilidade do casal ter três filhos homens é de 1/8 =
12,5% e a probabilidade de ter três filhas mulheres é também de 1/8=12,5%.
n( E )
Para calcular a probabilidade faz-se: P( E ) 
, O S já sabemos que é
n( S )
Espaço, mas quem é P,n e E?
P= probabilidade
E=evento
n= número de elementos
P(E) significa a probabilidade de ocorrer o evento E, e n(E) é o número de
elementos que esse evento possui, assim como n(S) é o número d e elementos que S
possui.
Evento é o conjunto de resultados possíveis com as características que se quer, e
Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis.
No exemplo dado, temos:
S= {(m,m,m), (m,m,f), (m,f,f),(m,f,m), (f,f,f), (f,f,m), (f,m,m), (f,m,f)}.
n(S)=8
Evento (E)= três filhos masculinos
n(E)= 1
P(E)=probabilidade de ocorrer o nascimento de três filhos do sexo masculino.
1. Questões:
a) Qual a probabilidade do casal ter os dois primeiros filhos do sexo feminino e
o terceiro do sexo masculino?
b) Qual a probabilidade do casal ter somente 2 filhos do mesmo sexo?
c) Qual a probabilidade do casal ter os três filhos do mesmo sexo?
d) Qual a probabilidade dos dois filhos mais novos serem masculinos?
Como se supõe que o casal não vai interferir, voluntariamente, na determinação
dos sexos diz-se que S é equiprovável e o “experimento” é aleatório.
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Quando se trabalha com os resultados em forma de número decimal todos eles
são menores do que a unidade e a maior probabilidade de ocorrência de um evento é 1,
que corresponde a 100%.
Se tivermos diante de três crianças brincando, cujos nomes iniciam por A, B e C,
e quisermos escolher, aleatoriamente, duas delas qual será o Espaço Amostral e quantos
elementos ele tem? Qual a possibilidade dos escolhidos serem A e C?
Resposta: S={(A,B),(A,C),(B,C)}, n(S)=3, 1/3 ou 33,3%.
E se tivermos diante de cinco crianças brincando, cujos nomes iniciam por A, B,
C,D e E, e quisermos escolher, aleatoriamente, duas delas qual será o Espaço Amostral
e quantos elementos ele tem? Qual a possibilidade dos escolhidos serem A e C?
Resposta: S={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},
n(S)=10 e 1/10 ou 10%
Neste caso, n(S) pode ser obtido fazendo um cálculo combinatório
120
5!
=
C 5, 2 =
 10 , onde 5! se lê 5 fatorial, sendo 5! = 5x4x3x2x1=120,
2!(5  2)! 2 x6
2!=2x1=2 e 3!=3x2x1=6, 1!=1 e 0!=1, o sinal de ! indica fatorial
n!
De forma geral: C n, p 
p!(n  p)!
Se, no grupo de 5 crianças quiséssemos escolher 3, teríamos
120
5!
n(S)= C5,3 
=
 10
3!(5  2)! 12
Por, favor, não suponha que sempre será 10. Os dois casos, acima, foram
coincidência.
Vimos até agora dois modos de determinar n(S). No caso das moedas, tínhamos
2( nº de faces) elevado ao número de lançamentos. Da mesma forma que no caso das
três crianças do casal, onde n(S)= 23, sendo 2 o número das variáveis (sexo) possíveis e
3 é o número de filho que o casal pretende ter.
2. Questões
a) Pegar um livro de estatística numa estante com 50 livros é um experimento
aleatório?
b) Mandar uma carta para um programa e ser sorteado é um experimento
aleatório?
c) Pegar um livro de estatística, com olhos vendados, numa estante com 50
livros diferentes é um experimento aleatório?
d) Qual o espaço amostral se você for sortear uma cartela entre uma coleção
numerada 1 a15? Qual a chance de sair o nº 13?
e) Nessa coleção de cartelas numeradas de 1 a 15, qual a chance de ser sorteado
o nº 12 ou o nº 15?
f)Qual o n(S) se você for sortear uma pessoa entre 9?
g)Qual o S se você lançar um dado,uma única vez, observar o número da face
voltada para cima?
h) Qual o S se você lançar um dado, duas vezes seguidas, observar o número
das faces voltadas para cima?
i) Observe que palavra ou no item (e) está grafada em maiúscula. Será que foi
erro de digitação?
j) Se tomarmos cartelas numeradas de 1 a 20 e formos sortear uma delas, qual a
probabilidade de sair um múltiplo de 5?
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l) Se tomarmos cartelas numeradas de 1 a 20 e formos sortear uma delas, qual a
probabilidade de sair um múltiplo de 5 OU múltiplo de 8?
m) Se tomarmos cartelas numeradas de 1 a 20 e formos sortear uma delas, qual
a probabilidade de sair um múltiplo de 5 E múltiplo de 10?
n) Será que o e maiúsculo no meio da frase, da questão k, foi erro de digitação?
o) Qual o n(S) se formos escolher 4 pessoas dentre 10 disponíveis?
p) Se jogarmos um dado, duas vezes consecutivas, qual a probabilidade de sair
o par (5,5)?
q) Se jogarmos um dado, duas vezes consecutivas, qual a probabilidade de sair
o par (5,5) OU o par (1,2)?
r) Qual a probabilidade de você ganhar um relógio numa rifa de 500 números se
você comprou 10 números?
s) Por que você está estudando probabilidade? O que isso tem a ver com
estatística?
t) No conjunto S={ 1,2,3,4,..., 30} se sortearmos um número qual a
probabilidade dele ser múltiplo de 6? Qual a probabilidade de não ser múltiplo de 6?
Você deve ter observado que quando aparece o conectivo ou a probabilidade
aumenta e quando aparece o conectivo e a probabilidade diminui e pode até chegar a
zero. Um exemplo: Se tomarmos cartelas numeradas de 1 a 20 e formos sortear uma
delas, qual a probabilidade de sair um múltiplo de 5 E múltiplo de 8? É zero, porque não
há, nesse intervalo numérico, um número que seja múltiplo de 5 e múltiplo de 8 ao
mesmo tempo.
Mas não suponha que, no caso do conectivo E, o resultado é sempre zero. O que
se pode garantir é que diminui a probabilidade de ocorrência. No caso acima deu zero
porque a intersecção (a parte comum) entre os dois conjuntos é um conjunto vazio.
P(M5M8)=
M5
M8
20
5
10
8
16
Veja esses casos abaixo, para comparação.
Considerando ainda o Espaço Amostral com sendo S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,17, 18, 19, 20}
Se sortearmos um número ao acaso qual a probabilidade de ele ser:
a)
Um múltiplo de 5? Resposta: Temos 4 múltiplos de 5 no conjunto, logo a
probabilidade P(M5) é de 4/20=2/10=20%=0,2.
b)
Um múltiplo de 8? Resposta: Temos 2 múltiplos de 8, logo a
probabilidade P(M8) é de 2/20=1/10=10%=0,1
c)
Um múltiplo de 5 ou um múltiplo de 8? Resposta: Temos 4 múltiplos
de 5 e 2 múltiplos de 8, logo temos 6 elementos e a probabilidade é de
6/20=3/10=0,3=30%. Ou ainda é P(M5M8) = P(M5)+ P(M8)= 0,2+0,1=0,3.
De forma geral, porém, é P(AB)=P(A)+P(B) - P(A  B)
d)
Um múltiplo de 5 e um múltiplo de 8? Resposta: Como P(M5  M8) é
um conjunto vazio a probabilidade é nula.
e)Um múltiplo de 5 ou múltiplo de 10? Resposta: Como os múltiplos de 10
também são múltiplos de 5 a probabilidade é a mesma do item (a).
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f) Um múltiplo de 5 e múltiplo de 10? Resposta: A probabilidade cai para
2/20=1/10=0,1, pois, há apenas dois múltiplos de 10 que também são
múltiplos de 5, como se vê no diagrama abaixo.
M5
5
15
M10
10
20
g)
Um múltiplo de 5 ou múltiplo de 3?Resposta:
Como há quatro múltiplos de 5, seis múltiplos de 3 e um deles é múltiplo de 5 e
3 ao mesmo tempo, isto é, M5M3={15}, a probabilidade é de 4/20 +6/201/20=0,2+0,3-0,05=0,495=49,5%
M5
M3
3
5
10 15
20
12
6
9
18
h)
Um múltiplo de 5 e múltiplo de 3 ? Resposta: 1/20=0,05=5%
O conectivo e indica que devemos trabalhar com a intersecção dos conjuntos e o
conectivo ou indica o uso da união dos conjuntos.
Você já viu que no estudo de probabilidades há três palavras-chave: evento,
espaço amostral e probabilidade. È muito interessante também que saibamos o que
significa evento complementar. Veja o exemplo:
Se lançarmos uma moeda a probabilidade da face cara (k) cair voltada para
cima é de 50% ou 0,5, então, a probabilidade dela não cair voltada para cima é também
de 50%, isto é, 1-0,5=0,5. Essa probabilidade de ela não cair é o evento complementar
_
e se escreve como P( E )=1-p onde p é a probabilidade de acontecer o que se espera.
Outro exemplo: Se a moeda for lançada duas vezes o espaço amostral será
S={(k,k),(k,c),(c,k),(c,c)} e a probabilidade de sair k nas duas jogadas (k,k) é de
¼=25%=0,25, então a probabilidade de não sair (k,k) é de ¾=75%=0,75. Observe que
se chamarmos de p a probabilidade de ser (k,k) temos p=0,25 e 1-p= 1-0,25=0,75,
logo,1-p é a probabilidade de ocorrer o evento complementar, isto é, não ocorrer (k,k).
Mais um exemplo: No conjunto S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,
15, 16,17, 18, 19, 20}, a probabilidade de , num sorteio, sair um número não múltiplo de
5 é 16/20=8/10=0,8=80% e a probabilidade de sair um múltiplo de 5 é
4/20=2/10/0,2=20%
Observe que 0,8= 1-0,2, isto é, se P(M5)=0,2 então a probabilidade do evento
___
complementar P(M 5)  1-P(M5)
Todo esse conhecimento se torna importante quando entendemos que se o
Espaço Amostral for muito grande, tiver 1000 elementos, por exemplo, a chance de um
certo número ser sorteado se torna muito pequena (1/1000=0,1%). Se eu sair na rua, e
ficar numa esquina bem movimentada, para entrevistar 15 pessoas aleatoriamente a
chance de entrevistar a mesma pessoa duas vezes é muito pequena. Se formos à rua à
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procura de um homem (adulto) que queira para trabalhar, a chance de encontrarmos
um dele com menos de 1,5 metros de altura é muito pequena., enquanto a de
encontramos um entre 1,65 m a 1,80m a chance talvez seja mais de 90%.
Você sabia que se procuramos uma pessoa com altura situada no intervalo entre
a média menos o desvio padrão e a média e mais desvio padrão é de pouco mais de
68%, isto é, de cada 100 pessoas 68 estão nessa faixa de altura? Logo a probabilidade
de você encontrar alguém com esse perfil é de 0,68 e o evento complementar é de 10,68=0,32
_
Sabia que 95,4% está na faixa de altura situada ente x  2s ? O evento
_
complementar, nesse caso, seria 1-( x  2s )
Outro termo que você deve ser familiarizar é o Intervalo de Confiança (IC).
Quando se fala em intervalo de confiança está se falando em probabilidade de
acontecer (ou não acontecer) algo, isto é, de que os resultados estejam no intervalo
previsto?
Veja a curva abaixo, também chamada curva normal, onde  é a média e  é
o desvio padrão.
Bibliografia
SOUZA, Maria H.S;SPINELLI, Walter. Matemática, 2º grau: livro do
professor. São Paulo: Scipione, 1996.
LEVIN, Jack; FOX, James Alan. Estatística para ciências humanas. 9.ed. São
Paulo: Prentice=Hall, 2004.
Respostas:
1. a) 1/8 b) 6/8=3/4 c)1/4 d)1/4
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2) a)não b) sim c) sim d) os números de 1 a 15, 1/15
e) 2/15 f)9 g) S={1,2,3,4,5,6} h) n(S)=36 ou 62 e S= {(1,1),(1,2),..., (6,5),(6,6)} i) não j) 4/20=20% l)
10!
7/20 m) 2/20=10% n)não o)
=210 p) 1/36 q) 1/18 r) 10/500=1/50=2% s) continue estudando o
C10, 4 
4!(10  4)!
texto que você encontrará a reposta t)16,6% e 83,3%
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