INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO ESPÍRITO SANTO
DISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
CURSOS: BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO E REDES DE COMPUTADORES
PROF.: FIDELIS ZANETTI DE CASTRO
LISTA DE EXERCÍCIOS
ALUNO(A): ______________________________________________________
DATA: __________
I) Noções gerais de probabilidade
1. Uma mensagem pode seguir diferentes caminhos através de servidores colocados numa rede.
Uma mensagem enviada pode ir para um de cinco servidores em uma primeira etapa, cada um dos
quais pode enviá-la para cinco outros servidores em uma segunda etapa, e numa terceira etapa cada
um pode ainda enviá-la a um de quatro outros servidores, até chegar ao servidor encarregado de
armazenar a mensagem.
a) Quantos caminhos são possíveis?
b) Se todos os caminhos são equiprováveis, qual é a probabilidade de que uma mensagem passe
através do primeiro dos quatro servidores no terceiro estágio?
2. Discos plásticos de um fornecedor são analisados segundo resistências a choque e a
arranhamento. Os resultados para 100 discos são os seguintes:
Resistência a
choque
Resistência a arranhamento
Alta
Baixa
Alta
70
9
Baixa
16
5
a) Se o disco é selecionado aleatoriamente, qual é a probabilidade de que a resistência a
arranhamento seja alta e a choque seja alta?
b) Se o disco é selecionado aleatoriamente, qual é a probabilidade de que a resistência a
arranhamento seja alta ou a choque seja alta?
1
c) Considere o evento em que a resistência a arranhamento seja alta e o evento em que a resistência
a choque seja alta. Estes eventos são mutuamente exclusivos?
3. Uma firma de manutenção de sistemas de ar condicionado coletou as seguintes informações a
respeito do tipo de falhas:
Evidência de
vazamento de gás
Sim
Não
Evidência de Sim
55
17
falha elétrica Não
32
3
As unidades sem evidências de falhas elétricas ou de vazamento de gás apresentaram outros tipos de
falhas. Se esta amostragem é representativa, encontre a probabilidade de que:
a) a falha seja devido a vazamento de gás.
b) exista evidência de falha elétrica dado que uma falha devido a vazamento de gás tenha ocorrido.
c) exista evidência de falha devido a vazamento de gás dado que uma falha elétrica tenha ocorrido.
4. Falhas em teclado de computador são causadas por problemas em conexões elétricas (12%) ou
defeitos mecânicos (88%). Os defeitos mecânicos estão associados a teclas soltas (27%) ou a uma
montagem imprópria (73%). As falhas elétricas são causadas por fios defeituosos (35%), conexões
inadequadas (13%) ou a soldagens mal feitas (52%).
a) Encontre a probabilidade de que uma falha seja causada por teclas que se soltam.
b) Encontre a probabilidade de que uma falha seja causada por conexões inadequadas ou a fios mal
soldados.
5. O seguinte circuito funciona se e somente se existe pelo menos um caminho com todos os
dispositivos funcionando da esquerda para a direita. A probabilidade de que cada dispositivo esteja
funcionando está indicada na figura a seguir. Assuma que a probabilidade de que um dispositivo
esteja funcionando seja independente do fato de que qualquer outro dispositivo esteja funcionando
ou não. Qual a probabilidade de que o circuito funcione?
2
6. Numa caixa deveriam ser colocadas 12 bolas verdes e, em outra, 8 azuis. Por engano, uma bola
verde foi parar na caixa das azuis e uma bola azul foi parar na caixa das verdes. Desejando destrocálas, toma-se, sem ver, uma bola de cada caixa. Qual a probabilidade de se acertar a troca, no caso
de:
a) tirar-se simultaneamente uma de cada caixa e fazer a troca?
b) tirar-se primeiro uma bola da caixa das verdes e jogá-la na caixa das azuis, e, em seguida, tirar-se
uma bola da caixa das azuis e jogá-la na caixa das verdes?
7. Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma peça teatral. Chegando ao teatro,
descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim,
por exemplo, a poltrona 1 de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da mesma fila, que, por sua vez,
era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante. Suponha que as oito pessoas receberam ingressos
com numeração consecutiva de uma mesma fila e que os ingressos foram distribuídos entre elas de
forma aleatória. Qual é a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas ?
II) Probabilidade Condicional
1. Um assinante “a” de uma central A pode atingir um assinante “b” de uma central B através de 2
percursos T1 e T2. A probabilidade de congestionamento em T1 (impedindo que “a” atinja “b” por
este percurso) é 0,05. A probabilidade de congestionamento em T2 é 0,02. Além disso, sabe-se que
se T1 está congestionado a probabilidade que T2 esteja congestionado é 0,15. Determinar a
probabilidade de que “a” consiga atingir “b“.
2. Uma comissão de 3 pessoas é formada escolhendo-se ao acaso entre Antônio, Benedito, César, Denise e
Elisabete. Se Denise não pertence à comissão, qual a probabilidade de César pertencer?
3. Sabe-se que os pênaltis a favor de certa equipe de futebol são batidos pelos dois melhores
cobradores da equipe, A e B, cujos índices de aproveitamento (conversão em gols) são,
respectivamente, 80% e 90%. Sabe-se, ainda, que B cobra 60% dos pênaltis a favor da equipe.
Acaba de ser marcado um pênalti a favor dessa equipe e, nesse momento, os jogadores A e B estão
em campo.
a) Qual a probabilidade de que o pênalti seja cobrado por B e não seja convertido em gol?
b) Qual a probabilidade de o pênalti ser convertido em gol?
3
c) Qual é a probabilidade de o pênalti ter sido cobrado pelo jogador A sabendo-se que o pênalti não
foi convertido em gol?
4. O HD contendo a única cópia do seu TCC ficou corrompido, e misturou-se com três outros HDs
iguais também corrompidos. Assim, é igualmente provável que cada um dos quatro HDs seja o que
contém o seu TCC. Um colega seu, perito em computador, oferece-se para dar uma olhada, e você
sabe de experiências anteriores que a probabilidade de ele encontrar seu TCC em qualquer dos
quatro HDs é 40%, se o TCC estiver presente lá.. Sabendo-se que ele procurou no disco 1 mas não
encontrou, qual a probabilidade de que seu TCC esteja no disco i, para i=1, 2, 3, 4?
5. Uma pessoa esqueceu o ultimo dígito do número de um telefone, e resolve teclá-lo ao acaso.
Quantas vezes precisará tentar (não contando repetições do mesmo dígito) para que a probabilidade
de conseguir o número correto seja mais do que 50%?
6. Lançam-se dois dados comuns equilibrados de 6 faces.
a) Encontre a probabilidade de se obter números iguais nos dois dados.
b) Sabendo-se que a soma dos números dos dados resultou em 4 ou menos, calcule a probabilidade
de se ter obtido números iguais nos dois.
c) Determine a probabilidade de que o número 6 tenha saído em pelo menos um dado.
d) Sabendo-se que nos dois dados saíram números diferentes, determine a probabilidade de que o
número 6 tenha saído em pelo menos um dado.
III) Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
1. Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O São Paulo ganha um jogo em
um dia com chuva com probabilidade de 0,4; e em um dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se ele
ganhou um jogo em novembro, qual a probabilidade de que tenha chovido nesse dia?
2. Uma companhia multinacional tem três fábricas que produzem o mesmo tipo de produto. A
fábrica I é responsável por 30% do total produzido, a fábrica II produz 45% do total, e o restante
vem da fábrica III. Cada uma das fábricas, no entanto, produz uma proporção de produtos que não
atende aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais. Tais produtos são considerados
“defeituosos" e correspondem a 1%, 2% e 1,5%, respectivamente, dos totais produzidos por fábrica.
a) Qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspeção de qualidade?
b) Se durante a inspeção, encontramos um produto defeituoso, qual é a probabilidade que ele tenha
sido produzido na fábrica II?
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3. Um novo teste foi desenvolvido para determinar se um estudante está estressado com o estudo de
Probabilidade e Estatística. O teste é 95% acurado se o estudante NÃO está estressado, mas acerta
somente 85% se ele está de fato estressado. Sabe-se que 99.5% de todos os estudantes estão
estressados. Dado que um teste particular acusa que certo estudante não está estressado, qual a
probabilidade de que o resultado esteja correto?
4. Um caminhante de trilhas inicia tomando uma dentre n trilhas disponíveis, denotadas por 1, 2, . . ,
n. Após uma hora de percurso, cada trilha i subdivide-se em 1+i subtrilhas, e apenas uma dentre
cada grupo de subtrilhas conduz ao destino desejado. Esta disposição é sabida pelo caminhante, mas
ele não tem mapas nem sabe identificar qual o indexador i de cada trilha. Portanto, sempre faz
escolhas aleatórias das trilhas e subtrilhas. Qual a probabilidade de ele alcançar o seu destino?
5. Ana e Bia têm o total de 2n+1 moedas, cada qual com P(cara) = p. Bia lança n + 1 moedas, e Ana
lança as n restantes. Mostre que, após as moedas terem sido lançadas, se p = ½, a probabilidade de
que Bia obtenha mais caras do que Ana é 1/2.
6. Uma fita magnética com informação em dígitos binários corrompeu-se, de sorte que apenas pode
ser lida com erros nos bits. A probabilidade de que um bit “0” seja corretamente detectado (lido 0) é
0.90, e para um bit “1” (lido 1) é 0.85. Cada bit na fita é um 0 ou 1 com igual probabilidade. Dado
que você leu um bit como sendo “1”, qual a probabilidade de a leitura estar correta?
IV) Independência de eventos
1. Um provedor de acesso à internet tem dois servidores. Cada um tem a probabilidade de 50% de
estar inativo, independentemente do outro. Porém, apenas um servidor é necessário para o provedor
atender à clientela. Suponha que um cliente tente acessar a internet em quatro ocasiões diferentes,
suficientemente espaçadas no tempo, de forma que se possa considerar as quatro tentativas como
independentes. Qual a probabilidade de que o cliente seja capaz de acessar a internet em exatamente
três das quatro ocasiões?
2. Um dado peculiar (paralelepípedo) tem seis faces diferentes duas a duas. As faces mostrando 1 ou
6 têm 1” × 1.5”, as com 2 ou 5 têm 1” × 0.4”, e as com 3 ou 4 têm 0.4” × 1.5”. Assuma que a
probabilidade de sair certa face (para cima) é proporcional à sua área. Lança-se esse dado duas
vezes. Qual a probabilidade de se obter uma dupla de números iguais?
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3. Um estacionamento tem uma única fileira com n vagas (n ≥ 2). Maria (M) chega quando todas as
vagas estão livres. Antonio (A) é o próximo a chegar. Cada pessoa faz uma escolha aleatória
igualmente provável dentre as disponíveis.
a) Descreva o espaço amostral.
b) Calcule a probabilidade de que as vagas escolhidas estejam distantes uma da outra no máximo
dois espaços.
4. Têm-se três moedas. A primeira (A) é equilibrada, pintada de verde (V) na face “cara” (H) e de
laranja (L) na “coroa” (T). As outras duas moedas (B, C) são iguais e viciadas, tais que a
probabilidade de sair “cara” é p, e são pintadas de verde na face “coroa”e de roxo (R) na face
“cara”. Duas dessas três moedas são selecionadas ao acaso e lançadas. Descreva os resultados no
espaço amostral. Experimentalmente, foi determinado que a probabilidade de que as duas moedas
escolhidas e lançadas apareçam com as faces (para cima) da mesma cor é de 29/96. Nessas
circunstâncias, quais são os possíveis valores de p?
5. Uma companhia está entrevistando potenciais empregados. Suponha que cada candidato é
qualificado ou não com probabilidades q e 1 − q, respectivamente. A companhia tenta determinar a
qualificação de um candidato através de 20 perguntas falso-verdadeiro. Um candidato qualificado
tem a probabilidade p de responder uma questão corretamente, enquanto que um não-qualificado
tem a mesma probabilidade p de responder incorretamente. As respostas às diferentes questões são
assumidas como independentes. Se a companhia considera qualificado qualquer candidato que tenha
acertado pelo menos 15 das respostas, determine uma fórmula para a probabilidade de que esse
critério identifique corretamente alguém que deva ser qualificado ou não.
6. Certo júri é composto de 7 jurados. Cada jurado tem probabilidade de 0,20 de tomar a decisão
errada quanto à condenação ou absolvição do réu, independentemente de forma independente dos
demais jurados. Se o júri chega a um veredito pela regra da maioria, qual a probabilidade de que o
veredito seja errado?
7. Sejam A e B eventos tais que A ⊂ B. Podem A e B ser independentes?
Resposta: Podem, se B ≡ Ω (Ω = espaço amostral).
8. Sabe-se que os eventos A e B são independentes, e que A e C também o são. É correto afirmar que
A é independente de (B ∪C)? Prove, ou dê um contraexemplo para sustentar a sua resposta.
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9. Suponha que A, B, e C são independentes. Use a definição de independência para mostrar que A e
(B ∪C) são independentes.
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