Anotações
Potência
Potência
n
n
Potência é a taxa de transferência de energia entre duas
regiões do espaço. Essa transferência pode ser feita de
várias maneiras. Como exemplos podem ser citados a
troca de calor, conjugado mecânico acelerador, etc.
Se a troca de energia for feita através de um circuito
elétrico tém-se a potência elétrica, cuja medição será
estudada.
Potência
Potência Instantânea
Instantânea
n
Considere-se, então, duas regiões A e B, interconectadas
por um par de fios.
I(t)
A
v(t)
B
A potência elétrica transmitida neste caso é :
p(t) = v(t) * i(t)
n
onde,
n
v(t) é a tensão entre os fios e,
i(t) é a corrente que circula nos fios.
Como p(t) fornece a potência em cada instante ela é
denominada potência instantânea.
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
1
1
Anotações
FORMAS
FORMAS DE
DE ONDA
ONDA
n
n
Se v(t) e i(t) forem periódicos e de mesma frequência,
então, p(t) é também periódico. Porém de
períodicidade diferente dos sinais de tensão e corrente.
p(t) pode ser obtido por simples manipulação de
identidades trigonômetricas:
v ( t ) = Vm * sen(ωt)
i (t ) = Im* sen(ωt − θ )
p(t) = v (t) * i ( t) = Vm * Im* sen(ωt) * sen(ωt − θ )





Vm * Im 
∴ p(t ) =
θ
− cos( 2ωt − θ )
 cos
{
14243
2
 componente componente 
 constante
de frequencia 


2ω
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
2
2
Anotações
n
n
n
n
n
n
Nesse caso, foram obtidos uma componente de
frequência ω=0 e outra de frequência 2ω .
Para sinais não senoidais, o produto v*i, também
resulta num sinal com frequência diferente das dos
sinais originais de tensão e corrente. (Isso pode ser
verificado desenvolvendo os sinais em séries de
Fourier).
Na equação de p(t) acima observa-se que a potência
varia com o tempo, podendo inclusive trocar de sinal
em cada ciclo;
A energia ora está fluindo em um sentido ora em outro,
oscilando entre as regiões A e B.
Se a região A é, por exemplo, um motor elétrico ou
uma antena transmissora e o sistema B sua fonte de
alimentação. O trabalho realizado pelo motor ou o
alcance da informação transmitida pela antena são
proporcionais à energia efetivamente transmitida de A
para B, isto é, à componente constante de p(t), que flui
e não reflui.
As componentes oscilatórias (energia transmitida ao
motor e posteriormente devolvida à fonte de
alimentação) não realizam trabalho util.
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
3
3
Anotações
Potência
Potência Ativa
Ativa
n
n
É, portanto, de interesse medir o valor médio da
potência. Isto é, da componente constante que
corresponde precisamente à parte “utilizavel” da
energia que flui entre os sistemas A e B;
Define-se, então, a potência ativa como sendo igual ao
valor médio da potência instântanea.
P = p (τ ) =
n
1
T
T
∫0
p (τ ) d τ
Essa definição não é restrita à sinais senoidais.
Potência
Potência Aparente,
Aparente, Potência
Potência Reativa
Reativa ee
Fator
Fator de
de Potência
Potência
n
n
Enquanto as duas regiões estiverem interconectadas
uma parte da energia vai de A para B e, posteriormente,
retorna integralmente executando um movimento
cíclico.
Reescrevendo as equações para tensão e corrente
senoidais, obtem-se:
p ( t ) = V * I * cos ϕ * (1 − cos 2 ω t ) − V * I * sen ϕ * sen 2 ω t
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
4
4
Anotações
Potência
Potência Aparente
Aparente
n
n
O produto dos valores eficazes da tensão e da corrente
é comum nos dois termos da equação acima.
Esse produto é denominado de potência aparente e é
dado por:
S=V*I
Potência
Potência Reativa
Reativa
n
O segundo termo da equação da potência instantânea
acima, tem valor médio igual a zero, visto seguir uma
variação senoidal. O valor máximo desse termo é
denominado de potência reativa (Q), que é, portanto,
dada por:
Q=V*I*senφ
n
Essa definição se aplica apenas a sinais senoidais.
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
5
5
Anotações
Fator
Fator de
de potência
potência
n
Em face das definições acima, existe uma relação
matemática entre as potências aparente, ativa e reativa.
Essa relação pode ser visualizada pelo triângulo das
potências :
Q
n
S
φ
P
S2=P 2+Q2
O cosseno do ângulo φ no triângulo das potências
(defasagem entre V(t) e I(t)) é denominado fator de
potência.
FP=cosφ
SINAIS
SINAIS NÃO-SENOIDAIS
NÃO-SENOIDAIS
n
n
n
n
O aumento do número de equipamentos eletrônicos na
indústria, edifícios comerciais e mesmo nas residências
tem provocado um aumento crescente dos problemas
nas redes elétricas devido à inserção de cargas nãolineares no sistema;
Em razão disso constata-se a geração de tensões nãosenoidais, transitórios e outros disturbios.
Sinais elétricos não-senoidais podem ser decompostos
em componentes harmônicos;
A figura no próximo slide mostra um gráfico de um
sinal de corrente com forte distorção harmônica.
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
6
6
Anotações
FORMA
FORMA DE
DE ONDA
ONDA DE
DE CORRENTE
CORRENTE
n
O terceiro, quinto e
sétimo harmônicos
estão todos em
sincronismo em 90° e
270° e se somam para
formar a onda
completa.
POTÊNCIA
POTÊNCIA ATIVA
ATIVA DE
DE SINAIS
SINAIS
NÃO-SENOIDAIS
NÃO-SENOIDAIS
n
n
Potência ativa só é gerada por tensões e correntes de
mesmas freqüências;
Assim, para sinais periódicos, a potência ativa total é a
soma da potência ativa gerada pelas harmônicas:
∞
P = IoUo + ∑ UkIk cos ϕk
k =1
n
Os instrumentos utilizados nessas medições são apenas
aqueles capazes de medir esse somatório
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
7
7
Anotações
POTÊNCIA
POTÊNCIA REATIVA
REATIVA DE
DE SINAIS
SINAIS
NÃO-SENOIDAIS
NÃO-SENOIDAIS
n
O cálculo e mesmo a própria definição da potência
reativa harmônica é controversa.
n
Uma das expressões utilizadas para calcular essa
grandeza é:
∞
Q = ∑ UkIk sen ϕk
k =1
POTÊNCIA
POTÊNCIA APARENTE
APARENTE DE
DE
SINAIS
SINAIS NÃO-SENOIDAIS
NÃO-SENOIDAIS
n
A potência aparente é dada por:
S = UI =
∞
∑U ∑U
k =0
n
∞
2
k
2
k
k =0
Com base nas definições dadas até aqui, pode se
concluir que a potência aparente para sinais com
harmônicos pode ser calculada por:
S = UI = P 2 + Q 2 + D 2
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
8
8
Anotações
POTÊNCIA
POTÊNCIA DE
DE AUDIO
AUDIO
n
n
O valor da potência de saída de amplificadores de audio tem,
muitas vezes, sido expresso de maneira ambígua
Dentre as unidades para expressar essa gradeza são usadas:
u
u
u
u
u
n
Watts rms com 1% de DHT
Watts rms com 5% de DHT
Watts de pico (máximo)
Watts de pico-a-pico
Potência musical
A capacidade do amplificador de mover o cone do autofalante,
rigorosamente, pode ser expressa somente pelos Watts-rms
u
considere um amplificador conectado a uma carga de 8W que com uma
DHT de 1% ele apresenta uma tensão de saída de 14V ac
4 Watts rms a 1% é P=(Erms)2/R=24,5 W
4 Watts de pico-a-pico P=(2*√2* Erms)2/R=196 W
Instrumentos
Instrumentos para
para Medição
Medição
n
Instrumentos Eletromecânicos;
n
Instrumentos eletrônicos
u Wattímetro
com multiplicador analógico;
u Wattímetro
com multiplicador de divisão de tempo;
u Wattímetro
digital
n
Wattímetro com dispositivo de efeito Hall;
n
Wattímetro a termopar
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
9
9
Anotações
Instrumentos
Instrumentos Eletromecânicos
Eletromecânicos
n
Inst. eletrodinâmico sem núcleo de ferro (maior exatidão );
n
Inst. eletrodinâmico com núcleo de ferro (para paineis);
Ri
B
Ug
1 - bobina de campo fixa (corrente);
2 - bobina móvel (de potencial);
Ri - Resistência da bobina de corrente;
Rv - Resistência da bobina de tensão;
I - corrente na bobina de corrente;
I v - corrente na bobina de tensão. I v=U/Rv;
Iz
1
2
Rv
Iv
I
A
U
T
θ medio = k 1∗ 1 ∫0 I ∗Iv ∗ d t ⇒
T
Z
θ medio = k 2∗ U ef ∗ I ef ∗ cos ϕ
Nota: O erro da medição varia com a tangente do ângulo φ.
MEDIDORES
MEDIDORES ELETRÔNICOS
ELETRÔNICOS
n
n
Nos medidores eletrônicos o produto da tensão pela
corrente e o valor médio são obtidos através de meios
eletrônicos;
Existem trés tipos de multiplicadores:
u Analógico;
u Híbrido;
u Digital;
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
10
10
Anotações
Instrumento
Instrumento com
com
Múltiplicador
Múltiplicador Analógico
Analógico
n
n
Os sinais são multiplicados em formato analógico (por meio de
um circuito baseado ou em amplificadores logarítimicos ou de
transcondutância );
No esquema abaixo o multiplicador analógico ( xK) faz o
produto da tensão Ux(t), através da impedância Z, pela tensão
Uy (t)=R* i(t), obtendo a tensão uk (t):
uk ( t ) = k ∗ U x ( t )∗ U y ( t ) = k ∗ R ∗ U x ( t)∗ i( t )
n
A tensão uk (t) é aplicada na entrada do filtro PB, resultando:
T
Us = K∗ R ∗ 1 ∗ ∫ Ux ( t ) ∗ i( t) ∗ dt = cP
T 0
Circuitos
Circuitos -- Wattímetro
Wattímetro com
com
multiplicador
multiplicador analógico
analógico
Ux (t)
Z
i(t)
x
K
Uk
Us =cP
y
Uy (t)
V
R
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
11
11
Anotações
Instrumento
Instrumento com
com multiplicador
multiplicador por
por
divisão
divisão de
de tempo
tempo
n
n
n
n
Esse é um outro tipo de multiplicador analógico. O
multiplicador é implementado através do multiplicador por
divisão de tempo, mostrado na figura seguinte;
Nesse método, uma onda quadrada de período constante
Tg=t1 +t2 e amplitude e ciclo de trabalho determinado pelas
tensões de entrada ux (t) e uy (t);
A tensão ug(t) do gerador de sinais tem forma triangular;
Se Tg é muito menor do que o período do sinal a ser medido, as
tensões ux (t) e uy (t) podem ser consideradas constantes durante
o tempo Tg.
Diagrama
Diagrama do
do Instrumento
Instrumento
R
u x(t)
-1
R
us
u m (t)
u y (t)
u g(t)
C
u s(t)
Gerador
u y (t)
t1
u g(t) t
t2
u m (t)
Faixa de frequência de operação:
200 Hz - 20 kHz
Erro típico: 0,1% - 0,2%
us
t
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
12
12
Anotações
Equações
Equações do
do Wattímetro
Wattímetro
ug ( t) =
4 U go
t
Tg
0≤t ≤
para
Tg
4
Nesse caso
T g uyT g 
t 2 = 2∗  −
4 4 U go 
Consequentemente
Tg
t 1 − t 2 = Ugo u y
T
 t1
1
Us =
ux ( t ) ∗ dt = k ∗  ∫ u x ( t )∗ dt +
T g ∫0
0

t1 + t 2
∫ ( − u ( t ) )∗ d t
x
= k ∗ u x∗ ( t 1 − t 2)
t1
U s = k ∗ u x∗ u y
A tensão de saída é:
Instrumento
Instrumento Digital
Digital
n
n
Nesse tipo de instrumento os sinais de tensão e
corrente são amostrados a uma freqüência fs ;
O valor médio é obtido pela soma ponto a ponto do
produto das duas grandezas de acordo com a equação
abaixo:
N
P=
PLL
1
uk∗ i k
N∑
k= 1
u(t)
ADC
µP
Display
i(t)
ADC
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
13
13
Anotações
Condições
Condições de
de Operação
Operação
n
n
Pode ser mostrado que um mínimo de 3 amostras de
cada uma das grandezas é necessário para que o valor
calculado da potência represente adequadamente o
sinal de saída;
Para esse tipo de instrumento o componente mais
importante são os conversores A/D, especialmente o do
sinal de corrente
ua
tensão proporcional à corrente a ser medida é de baixa
amplitude, requerendo assim um conversor A/D de elevado
número de bits
CONVERSOR
CONVERSOR A/D
A/D ∆−Σ
∆−Σ
n
A figura ao lado
mostra um exemplo de
um conversor A/D de
dois canais usado em
instrumentos digitais
para medição de
potência e grandezas
associadas em
circuitos trifásicos
n
É preciso notar que
estes conversores são
precedidos de
dispositivos
condicionadores de
sinais.
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
14
14
Anotações
Instrumento
Instrumento com
com dispositivo
dispositivo
de
de efeito
efeito Hall
Hall
O dispositivo Hall é constituido de uma fina pastilha
semicondutora;
A tensão de saída no dispositivo uH(t) é proporcional ao produto
de duas grandezas variaveis no tempo:
n
n
Dispositivo Hall
i(t)
V
B(t)
B
UH
I
Ug
R
Z
U H ( t) = C H ∗ i( t )∗ B (t )
CH - coeficiente de Hall;
B - indução magnética;
i(t) - corrente através do elemento;
ix(t)
n
A deflexão do instrumento é proporcional à potência criada pela
fonte de tensão Ux (t)=a* i(t) e pela corrente ix (t) =b* B(t), onde a e
b são fatores de proporcionalidade:
1 T
1 T
P = ∫ u x ( t ) ∗ ix ( t ) ∗ dt =a ∗ b ∫ i ( t ) ∗ B ( t ) ∗ dt
T 0
T 0
n
Substituindo o produto i(t)*B(t) pelo valor dado na primeira equação em
função de u H(t), na equação acima, obtém-se:
P=
u
a∗ b
UH
CH
onde UH é o valor médio de u H(t)
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
15
15
Anotações
Instrumento
Instrumento aa Termopar
Termopar
n
Toda vez que a energia elétrica é dissipada em uma resistência,
ocorre a geração de calor.
u Isso
pode ser usado para a construção de um instrumento para medição
de potência a partir da determinação da elevação de temperatura.
n
A potência dissipada é proporcional ao valor eficaz da tensão
aplicada de acordo com a seguinte equação:
i(t)
Rs
iA(t)
A
u(t)
iB(t)
ai(t)
bu(t)
B
bu(t)
UB
UA
Z
V
V=UA-UB
Rv
Instrumento
Instrumento aa Termopar
Termopar
n
Na figura A e B são dois termopares com características identicas: U=kI2
iA e iB são as correntes instantâneas pelo termopar e i(t) e u(t), respectivamente a
corrente e a tensão na carga
n
A potência ativa é o valor médio da potência instantânea. Assim,
n
T
p ( t ) = u ( t ) i( t ) ⇒ P =
1
p (t )
T ∫0
n
As correntes do termopar são dadas por
iA ( t ) = ai ( t ) + bu ( t ) e i B ( t ) = ai ( t ) − bu ( t )
n
Conseqüêntemente, a corrente e tensão na carga será:
i( t ) =
n
iA ( t ) + iB ( t )
iA( t ) − iB( t )
e u( t ) =
2a
2b
Substituindo o resultado na primeira equação acima, tem-se:
P=
T

1 1  T 2
1 2 2
∗  ∫ i A (t )dt − ∫ i 2B (t)dt  =
I A − IB
4ab T  0
0
 4ab
(
)
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
16
16
Anotações
Instrumento
Instrumento aa Termopar
Termopar
n
n
n
n
IA e IB na equação acima são respectivamente o valor eficaz da
corrente que passa pelo termopar A e pelo termopar B.
Devido às correntes IA e IB, aparece na outra extremidade dos
termopares as tensões contínuas UA e UB.
Considerando as propriedades dos termopares:
UA = kI 2A e UB = kI 2B
Substituindo este resultado na equação anterior, resulta:
1
P=
U 2A − U 2B
4ab
As perdas nas resistências Rv e Rs produzem um efeito
sistemático que pode ser corrigido.
Esses instrumentos podem ser usados em freqüências na faixa dos
MHz e com incertezas de 1%.
(
n
n
)
Medidas Elétricas, Aula-1: Conceitos Básicos de Medições - Erros
17
17