EXERCÍCIO 20-54 (Boulos 3a Ed.): Obtenha uma Eq. Geral do
Plano que contém os pontos P = (1, 1, −1) e Q = (2, 1, 1) e dista 1 da reta
r : X = (1, 0, 2) + λ(1, 0, 2). (Considerar as coordenadas em relação a um
sistema ortogonal).
RESOLUÇÃO:
Utilizaremos feixe de planos nesta resolução.
Para tanto, note inicialmente que a reta r é paralela à reta determinada
−→
por P e Q, pois o vetor diretor da reta r e o vetor P Q são ambos iguais
a (1, 0, 2). Dessa forma, a reta r necessariamente estará contida OU será
paralela a qualquer plano que contenha P e Q.
Assim, vamos obter dois planos (distintos, não paralelos) que passem por
P e por Q:
O primeiro deles, π1 , é o plano que passa por P , por Q e por (1, 0, 2),
que é um ponto da reta r. Dessa forma, esse plano π1 contém a reta r e os
pontos P e Q. Para obter tal plano, colocamos no determinante abaixo dois
vetores diretores seus: (1, 0, 2), que também é o diretor de r e (0, −1, 3), que
é o vetor que liga P ao ponto (1, 0, 2) da reta r:
x−1 y−1 z+1 1
=0
0
2
0
−1
3 π1 : 2x − 3y − z = 0
O segundo deles, π2 , é o plano que passa por P , por Q e por (1, 1, 1),
que é um ponto qualquer NÃO PERTENCENTE a π1 . Dessa forma, esse
plano π2 NÃO contem a reta r, mas é paralelo a ela e contém os pontos P e
Q. Além disso, π2 não é paralelo a π1 (é transversal). Para obter tal plano,
colocamos no determinante abaixo dois vetores diretores seus: (1, 0, 2), que
é o diretor de r e (0, 0, 2), que é o vetor que liga o ponto P = (1, 1, −1) ao
ponto (1, 1, 1):
1
x−1 y−1 z−1
1
0
2
0
0
2
=0
π2 : y − 1 = 0
Portanto, o feixe de planos determinado por π1 e π2 é:
α(2x − 3y − z) + β(y − 1) = 0.
Distribuindo α e β:
π : 2αx + (β − 3α)y + (−α)z + (−β) = 0.
Pertencem a este feixe todos os planos π tais que:
• passam por P e por Q;
• são paralelos à reta r.
Impondo que a distância de um plano deste feixe até o ponto A =
(1, 0, 2) ∈ r seja = 1 obtemos o(s) plano(s) desejado(s).
d(A, π) =
|2α · 1 + (β − 3α) · 0 + (−α) · 2 + (−β)|
√
= 1.
(2α)2 + (β − 3α)2 + (−α)2
|β|
√
= 1.
2
4α + (β − 3α)2 + α2
Elevando ambos os membros ao quadrado pra facilitar obtemos:
β2
= 1.
14α2 + β 2 − 6αβ
β 2 = 14α2 + β 2 − 6αβ.
14α2 − 6αβ = 0.
2
α(7α − 3β) = 0.
Portanto α = 0 ou α = (3/7)β.
Substituindo cada um dos dois valores na equação do feixe de planos
obtemos:
α=0⇒y−1=0
α = (3/7)β ⇒ 6x − 2y − 3z − 7 = 0
Estas são as duas respostas apresentadas no gabarito no fim do livro.
:)
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