Edézio
Cálculo II 1
Cálculo II - Aplicações da Integral Dupla
Área de uma região plana
A área de uma região plana D fechada e limitada é:
Z Z
dA
A=
D
Aplicações Fı́sicas usando as Integrais Duplas
Muitas estruturas e sistemas mecânicos se comportam como se sua massa estivesse concentrada
em um único ponto, chamado centro de massa. É importante saber como localizar esse ponto.
Os primeiros momentos (Mx e My ) de um corpo nos informam sobre o equilı́brio e sobre o
torque que o corpo exerce em torno de diferentes eixos em um campo gravitacional. Se, entretanto,
o corpo for uma haste que gira, estaremos mais interessados na quantidade de energia que estará
armazenada na haste ou na quantidade de energia que será necessária para acelerar a haste até uma
determinada velocidade angular. É aqui que entra o segundo momento ou momento de inércia.
O raio de rotação Rx nos diz a que distância do eixo x a massa total da placa pode estar
concentrada pra resultar no mesmo Ix .
Quando ρ é constante, a localiza’ ao do centro de massa se torna uma caracterı́stica da forma do
objeto e não mais do material do qual o objeto é feito. Em tais casos o centro de massa é chamado
de centróide.
Considere uma lâmina não homogênea, com a forma de uma região D e com densidade de área
em um ponto (x, y) de D dada pela função contı́nua ρ = ρ(x, y).
• A massa total da lâmina M é dada pela integral
Z Z
M=
ρ(x, y)dA
D
• O momento de massa em relação ao eixo x é dado por:
Z Z
Mx =
yρ(x, y)dA
D
• O momento de massa em relação ao eixo y é dado por:
Z Z
My =
xρ(x, y)dA
D
• O centro de massa, denotado por (x, y) é definido por:
x=
My
M
e
y=
Mx
M
• O momento de inércia em relação ao eixo x
Z Z
Ix =
y 2 ρ(x, y)dA
D
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• O momento de inércia em relação ao eixo y
Z Z
Iy =
x2 ρ(x, y)dA
D
• O momento de inércia polar
Z Z
(x2 + y 2 )ρ(x, y)dA
Io =
D
Z Z
r2 (x, y)δ(x, y)dA onde r(x, y) =distância
• O momento de inércia em relação a uma reta L: IL =
D
de (x, y) até L.
• Raios de Rotação:
p
Em relação ao eixo x: Rx = Ix /M
p
Em relação ao eixo y: Ry = Iy /M
p
Em relação à origem: Ro = Io /M
Área por integração dupla: Esboce a região limitada pelas retas e curvas dadas. Depois
expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral.
(1) a parábola x = −y 2 e a reta y = x + 2.
(2) a parábola x = y − y 2 e a reta y = −x.
(3) a curva y = ex e as retas y = 0, x = 0 e x = ln 2.
(4) as curvas y = ln x e y = 2 ln x e a reta x = e, no primeiro quadrante.
(5) as parábolas x = y 2 e x = 2y − y 2 .
(6) as parábolas x = y 2 − 1 e x = 2y 2 − 2.
Densidade Constante:
(7) Encontre o centro de massa de uma placa fina de densidade δ = 3 limitada pelas retas x =
0, y = x e pela parábola y = 2 − x2 no primeiro quadrante.
(8) Encontre os momentos de inércia e os raios de rotação em relação aos eixos coordenados de uma
placa retangular fina de densidade constante δ limitada pelas retas x = 3 e y = 3 no primeiro
quadrante.
(9) Encontre o centróide da região no primeiro quadrante limitada pelo eixo x, pela parábola y 2 = 2x
e pela reta x + y = 4.
(10) Encontre o centróide da região triangular cortada do primeiro quadrante pela reta x + y = 3.
√
(11) Encontre o centróide da região semi-circular limitada pelo eixo x e pela curva y = 1 − x2 .
(12) A área da região no primeiro quadrante limitada pela parábola y = 6x − x2 e pela reta y = x
é 125/6 unidades quadradas. Encontre o centróide.
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(13) Encontre o centróide da região cortada do primeiro quadrante pela circunferência x2 + y 2 = a2 .
(14) Encontre o centróide da região entre o eixo x e o arco y = sen x, 0 ≤ x ≤ π.
Densidade Variável:
(15) Encontre o momento de inércia e o raio de rotação em relação ao eixo x de uma placa fina
limitada pela parábola x = y − y 2 e pela reta x + y = 0 se delta(x, y) = x + y.
(16) Encontre a massa de uma placa fina que ocupa a região menor cortada da elipse x2 + 4y 2 = 12
pela parábola x = 4y 2 se δ(x, y) = 5x.
(17) Encontre o centro de massa de uma placa triangular fina limitada pelo eixo y e pelas retas
y = x e y = 2 se δ(x, y) = 6x + 3y + 3.
(18) Encontre o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo x de uma placa fina
limitada pelas curvas x = y 2 e x = 2y − y 2 se a densidade no ponto (x,y) for δ(x, y) = y + 1.
(19) Encontre o centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação em relação ao eixo y
de uma placa fina retangular cortada do primeiro quadrante pelas retas x = 6 e y = 1 se
δ(x, y) = x + y + 1.
(20) Encontre o centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação em relação ao eixo y de
uma placa fina limitada pela reta y = 1 e pela parábola y = x2 se a densidade for δ(x, y) = y+1.
(21) Encontre o centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação em relação ao eixo y de
uma placa fina limitada pelo eixo x, pelas retas x = ±1 e pela parábola y = x2 se a densidade
for δ(x, y) = 7y + 1.
(22) Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade
ρ.
(a) D = {(x, y)/ − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}; ρ(x, y) = x2 ;
(b) D é uma região triangular com vértices (0, 0), (1, 1), (4, 0) : ρ(x, y) = x;
(c) D é uma região no primeiro quadrante limitada pela parábola y = x2 e pela reta y =
1; ρ(x, y) = xy;
(d) D é limitada pela parábola x = y 2 e pela reta y = x − 2; ρ(x, y) = 3.
(23) Determine os momentos de inércia Ix , Iy , Io para a lâmina do exercı́cio (22)(c);
(24) Determine os momentos de inércia Ix , Iy , Io para a lâmina do exercı́cio (22)(d).
Volume sob uma superfı́cie z = f (x, y)
(25) Encontre o volume da região limitada pelo parabolóide z = x2 +y 2 e inferiormente pelo triângulo
delimitado pelas retas y = x, x = 0 e x + y = 2 no plano xy.
(26) Encontre o volume do sólido que é limitado superiormente pelo cilindro z = x2 e inferiormente
pela região delimitada pela parábola y = 2 − x2 e pela reta y = x no plano xy.
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(27) Encontre o volume do sólido cuja base é a região no plano xy que é limitada pela parábola
y = 4 − x2 e pela reta y = 3x, enquanto o topo do sólido é limitado pelo plano z = x + 4.
(28) Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano
x = 3 e pelo cilindro parabólico z = 4 − y 2 .
(29) Encontre o volume do sólido cortado do primeiro octante pela superfı́cie z = 4 − x2 − y.
(30) Encontre o volume da cunha cortada do primeiro octante pelo cilindro z = 12 − 3y 2 e pelo
plano x + y = 2.
Invertendo a Ordem de Integração:
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração
invertida. Depois calcule ambas as integrais.
Z 1 Z 4−2y
dydx
(31)
0
Z
2
4Z
(32)
√
− 4−y
0
Z
(y−4)/2
1
x2
Z
(33)
0
Z
√
x dydx
x
Z √9−y2
3/2
(34)
−
0
Z
dxdy
1
Z
√
y dydx
9−y 2
4−2y
dydx
(35)
0
2