Programação linear
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Exercícios 2.4
5. Encontre a solução ótima do seguinte problema de programação linear pelo método simplex tabular:
M a x Z = 5x,+4X2+3X3
tipo de combustível resulta no total de litros daquele •
combustível. A proporção d a mistura está descrita n a
tabela a seguir:
s.r.
Combustível Combustível Combustível
A
B
' c
2x^4-3X2+X3S5
4 X , + 2 X 2 + 2 X 3 < 11
3X^+ 2X2+ 2X3 < 8
X,,X2,X3>0
6. U m a firma faz três produtos e tem três máquinas disponíveis para produção. Para resolver s u a e s c a l a de produção, modela o seguinte P P L .
M a x Z = 4x^+4X2+7X3
s.r.
x^4- 7X2+ 4X3 < 100 (horas n a máquina 1)
5 litros
4 litros
Solvente
5 litros
4 litros
, 2 litros
S u p o n h a que a Óleos Unidos tenha disponíveis 120 litros de extrato mineral e 2 0 0 litros de solvente, e que
os lucros líquidos esperados para o s três combustíveis
sejam de R $ 2 0 , 0 0 , R $ 2 2 , 0 0 e R $ 18,00, respectivamente. R e s p o n d a a o que s e pede.
a) Estabeleça um modelo de programação linear que
determine a quantidade de cada combustível a ser
fabricada, dadas a s restrições de matéria-prima.
8x, + Ax^+ Xg < 100 (horas n a máquina 3)
b) Quanto de c a d a produto deve ser manufaturado para
Resolva o problema pelo método simplex tabular e responda à s questões:
a) Qual é a solução ótima encontrada?
b) Quando a solução final é encontrada, existe algum
tempo disponível em qualquer u m a d a s três m á q u i n a s ? Quanto?
maximizar o lucro da companhia? De quanto é e s s e
lucro? (Resolva pelo método simplex tabular.)
c) Na condição de otimalidade, existe alguma matériaprima com folga? Qual? De quanto é e s s a sobra?
9. U m pequeno entregador pode transportar madeira ou
frutas em seu carrinho de mão, mas cobra R $ 20,00 para
c a d a fardo de madeira e R $ 35,00 por saco de frutas. O s
fardos pesam 1 kg e ocupam 2 dm^ de espaço. O s s a c o s
U m navio tem um compartimento de carga com capaci-
de fruta pesam 1 kg e ocupam 3 dm^ de espaço. O car-
dade de peso de 160.000 kg e capacidade de volume de
rinho tem capacidade para transportar 12 kg e 10 dm^, e
70.000 m^. O dono do navio foi contratado para levar car-
o entregador pode levar quantos s a c o s e fardos desejar.
gas de carne de boi empacotada e grão. O peso total d a
carne de boi disponível é 85.000 kg; o peso total do grão
disponível é 100.000 kg. O volume por m a s s a d a carne
de boi é 0,2 m^ por quilo, e o volume por m a s s a do grão
é 0,4 m^ por quilo. O lucro para transportar carne de boi
é de R $ 0,35 por quilo, e o lucro para transportar grão é
de R $ 0,12 por quilo. O dopo do navio é livre para aceitar
toda ou parte da carga disponível; ele quer saber quan;
8 litros
2x^-F X2-H 7X3 < 100 (horas na máquina 2)
x,,X2,X3>0
7.
Extrato
mineral
a) Formule um problema de programação linear para
determinar quantos s a c o s de fruta e quantos fardos
de madeira devem ser transportados para que o entregador ganhe o máximo possível.
b) Resolva o problema pelo método simplex tabular e
determine qual s e r á o lucro do entregador e como ele
deve encher o s e u carrinho.
tos quilos de carne e quantos quilos de grãos devem ser
c) O carrinho será totalmente utilizado? Sobrará capaci-
transportados para maximizar s e u lucro. Resolva pelo
dade de carga ou capacidade de volume? Quanto?
método simplex tabular.
10. Uma indústria vende dois produtos, P1 e P2, ao preço por
8. A Óleos Unidos S . A . e uma empresa do ramo de de-
tonelada de R $ 70,00 e R $ 60,00, respectivamente. A fabri-
rivados de petróleo que manufatura três combustíveis
cação dos produtos é feita em toneladas e consome recur-
e s p e c i a i s com b a s ^ na mistura de dois insumos: um
sos que chamaremos de R1 e R 2 . E s s e s recursos estão
extrato mineral e um solvente. No processo de produ-
disponíveis nas quantidades de 10 e 16 unidades, respecti-
ção não existe perda de material, de forma que a quan-
vamente. A produção de 1 tonelada de P I consome 5 unida-
tidade de litros de extrato mineral s o m a d a à quantidade
des de R1 e 2 unidades de R 2 , e a produção de 1 tonelada
de litros de solvente utilizada para a fabricação de um
de P 2 consome 4 unidades de R I e 5 unidades de R 2 .
42
I Pesquisa operacional na tomada dé decisões
Formule um problema de programação linear para de-
b) Quanto de c a d a produto deve ser fabricado?
j
terminar quantas toneladas de c a d a produto devem ser
fabricadas para s e obter o maior faturamento possível.
c) Como os recursos estão sendo utilizados? Estão :
sendo subutilizados ou s ã o insuficientes?
a) Qual s e r á o faturamento máximo?
i
=============== Fazer somente até aqui ==============
Problemas de forma não-padrão
c o m o a diferença entre o RHS (lado direito da restrição) e
N e m t o d o s os p r o b l e m a s d e p r o g r a m a ç ã o linear estão
variável criada maior ou igual a zero, essa não correspon-
na f o r m a p a d r ã o , isto é, são p r o b l e m a s d e m a x i m i z a ç ã o
deria ao desejado. O RHS, nesse caso, é m e n o r q u e o LHS
2.5
o LHS (lado e s q u e r d o da restrição) e a considerássemos a
c o m todas as restrições do t i p o m e n o r o u igual. Q u a n d o
por definição da restrição, logo a diferença seria negativa.
o f o r m a t o não for o p a d r ã o , d e v e m o s utilizar diversos m é -
C o m o , para o m é t o d o s i m p l e x funcionar, todas as variáveis
t o d o s a n t e s d e e m p r e g a r o s i m p l e x . Por e x e m p l o : q u a n d o
d e v e m ser maiores o u iguais a zero, isso não resolveria nos-
t i v e r m o s u m p r o b l e m a e m q u e t o d a s as restrições são d o
so p r o b l e m a .
t i p o m e n o r o u igual e a f u n ç ã o - o b j e t i v o for d e m i n i m i -
Poderíamos, então, toda vez q u e o sinal da restrição
z a ç ã o , d e v e m o s alterar o p r o b l e m a c o m o m o s t r a d o na
fosse do tipo maior ou igual, definir u m a variável que, em
Figura 2.22.
vez de representar a folga entre o RHS e o LHS (que seria
Lembre q u e a igualdade Min Z = Max ( - Z ) é sempre
válida (quando a solução ótima existir). Mas n e m sempre as
negativa), representaria o excesso entre o LHS e o RHS. No
nosso caso:
modificações são tão simples.
Xj = 3 x , - I - 2 X 2 - 18
Considere o problema a seguir de maximização simples
e m que u m a das restrições é do tipo maior o u igual.
MaxZ
O valor de x^ seria, portanto, obrigatoriamente não negativo. Isso resolveria a q u e s t ã o de q u e todas as variáveis
= 3x, -
d e u m p r o b l e m a a ser solucionado pelo método simplex
s.r.
d e v e m ser não negativas. C o n t u d o , outro problema apa-
X, < 4
receria: o de achar a solução inicial. O dicionário inicial e a
2x^<^2
solução (óbvia) associada a ele seriam dados por-
3x,-(-2Xj>18
X3 = 4 -
X, > O e X j > 0
x^=12
A primeira providência a ser t o m a d a seria a introdução
Z=3x,
trições não teríamos p r o b l e m a e obteríamos as seguintes
equações:
x^= 1 2 -
X,
2x^
X3 = 3x, + 2 X j - 18
das variáveis de folga. Nesse caso, nas duas primeiras res-
X3 = 4 -
3x,-1-2Xj - Xj = 18
Solução associada
(0,0,4,12,-18)
5x,
Note q u e o valor de Xj nessa solução fere a restrição do
p r o b l e m a , q u e obriga Xj a ser maior o u igual a zero. Portan-
X,
to, a solução associada é u m a solução do p r o b l e m a , porém
2Xj
não é v i á v e l .
A terceira restrição seria diferente das duas primeiras
A maneira d e se resolver esse e outros problemas em
por causa do sinal da restrição (>). Se utilizássemos o mes-
q u e achar a solução inicial viável não é obvia envolve a utili-
m o artifício de antes, isto é, se definíssemos u m a variável
zação de m é t o d o s c o m o o 'M g r a n d e ' ou 'função-objetivo
Figura 2.22
Transformação de uma PL de minimização para maximização
Min Z = 3x, -
Max
5Xj
s.r.
W=
- Z=
s.r.
x,<4
^
X, < 4
2X2 < 12
2Xj<12
3x,-í-2Xj<18
3x,-l-2x2<18
X, > O e
X, > O e Xj > O
>O
-3x,-h5Xj