Universidade do Algarve
Campeonato de Matemática SUB12
2005/2006
Problema 3 – Isto é que é treinar!
O João anda a treinar para uma prova de atletismo.
Em nove dias correu 117 km. Em cada dia, o João
andou mais 1 quilómetro do que no dia anterior.
Quantos quilómetros correu por dia?
RESOLUÇÃO
1. Lá está mais um problema que tem várias formas de resolução, entre as quais a das
tentativas. Fazer muitas contas e pensar menos é o que caracteriza esta forma de resolver o
problema, quando há outras mais bonitas de o fazer.
2. Há, por exemplo, quem, depois de fazer uma única tentativa, comece a raciocinar. Foi
o caso, entre outros concorrentes, da Carolina Santos e da Ana Vargues do Colégio Nossa
Senhora do Alto, Faro, ou da Ana Sofia e da Beatriz Estremores da EB23 de Monchique. Estas
últimas começaram por tentar a seguinte sequência de números:
4 5 6 7 8 9 10 11 12
«o que dá um total de 72 km, ficando a faltar 45 para os 117»
Que fizeram elas, então?
«...45km que divididos por 9 dias dá 5 km. Acrescentando (aos números de que partimos) 5 km
por dia, temos a seguinte tabela:
1º dia 2º dia 3º dia 4º dia 5º dia 6º dia 7º dia 8º dia 8º dia
4
5
6
7
8
9
10
11
12
+5
+5
+5
+5
+5
+5
+5
+5
+5
9
10
11
12
13
14
15
16
17
«O que nos dá um total de 117 km», correndo o João, em cada dia, mais um quilómetro do que
no anterior, conforme as condições do problema.
Outros alunos recorreram à ideia de média, como, por exemplo a Ana Borges Vacas da
EB23 S. João de Deus, Montemor-o Novo ou a Sofia Martins da EB23 André de Resende,
Évora. Vejamos o que fez esta última:
«117:9=13
Logo, 13 é a média do que ele correu por dia. Em 9 dias “o dia do meio” é o 5º dia. Então no 5º
dia, ele andou 13 km. Nos dias anteriores, ele correu sempre menos 1 km e nos dias seguintes
correu sempre mais 1 km. Então, ele correu:
1º dia 2º dia 3º dia 4º dia 5º dia 6º dia 7º dia 8º dia 8º dia
9km
10km 11km 12km 13km 14km 15km 16km 17km
3. Outros alunos, como o Carlos Alberto Costa da EBI das Furnas (Açores) ou o Luís
Eduardo da EB23 André Resende de Évora, fizeram cálculos muito simples. Vejamos o que
escreveu o Carlos Alberto:
«Sabemos que o João, durante 9 dias, correu no total 117 quilómetros e que em cada dia
andou mais um quilómetro do que no dia anterior.
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Número de quilómetros que o João andou a mais: 0+1+2+3+4+5+6+7+8=36
117-36 =81
Então agora dividindo 81 por 9 (81:9=9) ficamos a saber a distância fixa que ele correu por dia.
1º dia – 0 + 9 = 9
2º dia – 1 + 9 = 10
3º dia – 2 +9 = 11
4º dia – 3 + 9 = 12
.......................................................................................................................................................
4. Mas ainda há os alunos que dominam outras ferramentas matemáticas como as
equações. Notem que é um processo que tem como base o anterior. Muitos alunos utilizaram
este processo. Cito, por exemplo, o Hugo Pereira da EB23 Dr. Joaquim Magalhães, Faro e
Carolina Lúcio e Lúcia Godinho da EBI da Amareleja.
O Hugo representou por um x a distância que o João correu no primeiro dia, então x+1 é
quanto andou no segundo, x+2 no terceiro, etc.
Em nove dias correu:
x + (x + 1) + (x + 2) + (x+3) + (x+4) + (x+5) + (x + 6) + (x + 7) + (x+8) = 117
Ou seja: 9*x + 36 =117
9*x = 117-36
9*x = 81
a=9
9 km é então quanto correu o João no primeiro dia. Acrescentando os quilómetros a mais que
foi fazendo, teremos 10 no segundo, 11 no terceiro, etc.
Saudações Matemáticas!
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